RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 8 Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3

Class 8 Maths Exercise 6.3 Solutions In Hindi प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने में .इकाई अंक की क्या संभावना है
(i) 9801
(ii) 99856
(iii) 998001
(iv) 657666025
हल:
संख्याओं के वर्गमूल में इकाई अंक की संभावना
(i) 9801 के वर्गमूल में इकाई का अंक 1 या 9 होगा।
(ii) 99856 के वर्गमूल में इकाई का अंक 4 या 6 होगा।
(iii) 998001 के वर्गमूल में इकाई का अंक 1 या 9 होगा।
(iv) 657666025 के वर्गमूल में इकाई का अंक 5 होगा।

Class 8 Maths Chapter 6 Exercise 6.3 Hindi Medium प्रश्न 2.
बिना गणना किए वह संख्या बताएं जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं है।
(i) 153
(ii) 257
(iii) 408
(iv) 441
हल:
हम जानते हैं कि 2, 3, 7 या 8 से समाप्त होने वाली संख्याएँ कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं होती हैं। अतः
(i) 153 पूर्ण वर्ग नहीं है।
(ii) 257 पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iii) 408 पूर्ण वर्ग नहीं है।
(iv) 441 पूर्ण वर्ग हो सकती है।
अतः 153, 257 और 408 वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

प्रश्नावली 6.3 कक्षा 8 गणित प्रश्न 3.
बार-बार घटाने की विधि से 100 और 169 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए-
हल:
(a) 100 में से हम 1 से प्रारम्भ करके क्रमशः विषम संख्याएँ घटाएंगे-
100 - 1 = 99
99 - 3 = 96
96 - 5 = 91
91 - 7 = 84
84 - 9 = 75
75 - 11 = 64
64 - 13 = 51
51 - 15 = 36
36 - 17 = 19
19 - 19 = 0
यहाँ 10वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
∴ √100 = 10

(b) 169 में हम 1 से प्रारम्भ करके क्रमशः विषम संख्याएँ घटाएँगे
169 - 1 = 168
168 - 3 = 165
165 - 5 = 160
160 - 7 = 153
153 - 9= 144
144 - 11 = 133
133 - 13 = 120
120 - 15 = 105
105 - 17= 88
88 - 19 = 69
69 - 21 = 48
48 - 23 = 25
25 - 25 = 0
यहाँ 13वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
∴ √169 = 13

Class 8 Maths Chapter 6.3 In Hindi प्रश्न 4.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्न संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(i) 729
(ii) 400
(ii) 1764
(iv) 4096
(v) 7744
(vi) 9604
(vii) 5929
(viii) 9216
(ix) 529
(x) 8100
हल:
(i) 729-अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
∴ √729 = 3 × 3 × 3
= 27 उत्तर

(ii) 400-अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
∴ √400 = 2 × 2 × 5
= 20 उत्तर

(iii) 1764-अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
∴ √1764 = 2 × 3 × 7
= 42 उत्तर

(iv) 4096-अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2×2×2× 2×2 × 2
∴ √4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 64 उत्तर

(v) 7744-अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
7744 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11
∴ √7744 = 2 × 2 × 2 × 11
= 88 उत्तर

(vi) 9604-अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
9604 = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7
∴ √9604 = 2 × 7 × 7
= 98 उत्तर

(vii) 5929-अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
5929 = 7 × 7 × 11 × 11
∴ √5929 = 7 × 11.
= 77 उत्तर

(viii) 9216-अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
9216 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
∴ √9216 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 96 उत्तर

(ix) 529-अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
529 = 23 × 23
∴ √529 = 23 उत्तर

(x) 8100-अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
8100 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
∴ √8100 = 2 × 3 × 3 × 5
= 90 उत्तर

Class 8 Maths 6.3 In Hindi प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(i) 252
हल:
अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग के लिए एक 7 और वांछित है।
अतः दी गई संख्या को 7 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
∴ 252 × 7 = 1764 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
अतः 1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
∴ √1764 = 2 × 3 × 7 = 42

(ii) 180
हल:
अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग के लिए एक 5 और चाहिए।
अतः दी गई संख्या को 5 से गुणा करने पर 5 प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर |
∴ 180 × 5 = 900 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
अतः 900 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
∴ √900 = 2 × 3 × 5 = 30

(iii) 1008
हल:
अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा .
1008 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3×3 ×7
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए एक 7 और चाहिए।
अतः दी गई संख्या को 7 से गुणा करने पर भी प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
∴ 1008 × 7 = 7056 एक पूर्ण वर्ग है।
अतः 7056 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
∴ √7056 = 2 × 2 × 3 × 7 = 84

(iv) 2028
हल:
अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग के लिए एक और चाहिए।
अतः दी गई संख्या को 3 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
∴ 2028 × 3 = 6084
अतः 6084 = 2 × 2 × 3 × 3 × 13 × 13
∴ √6084 = 2 × 3 × 13 = 78

(v) 1458
हल:
अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा
1458 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए एक 2 और चाहिए।
अतः दी गई संख्या को 2 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
∴ 1458 × 2 = 2916
अतः 2916 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
∴ √2916 = 2 × 3 × 3 × 3 = 54

(vi) 768
हल:
अभाज्य गुणनखंड द्वारा
768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
यह स्पष्ट है कि पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए एक 3 और चाहिए।
अतः दी गई संख्या को 3 से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल पूर्ण वर्ग संख्या होगी। उत्तर
∴ 768 × 3 = 2304
अतः, 2304 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
∴ 2304 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48

Class 8 Maths Chapter 6 Exercise 6.3 Solutions In Hindi प्रश्न 6.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर वह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस तरह ज्ञात की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(i) 252
हल:
अभाज्य गुणनखंड द्वारा
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
क्योंकि अभाज्य गुणनखंड 7 का युग्म नहीं है।
∴ दी गई संख्या को 7 से भाग दिया जाएगा।
∴ \(\frac{252}{7}\) = \(\frac{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7}{7}\)
= 2 × 2 × 3 × 3
= 36 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और √36 = \(\sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3}\) = 2 × 3 = 6

(ii) 2925
हल:
अभाज्य गुणनखंड द्वारा .
2925 = 3 × 3 × 5 × 5 × 13
क्योंकि अभाज्य गुणनखंड 13 का युग्म नहीं है।
∴ दी गई संख्या को 13 से भाग दिया जाएगा। 5 65
∴ \(\frac{2925}{13}\) = \(\frac{3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 13}{13}\)
= 3 × 3 × 5 × 5
= 225 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और √225 = \(\sqrt{3 \times 3 \times 5 \times 5}\) = 3 - 5 = 15

(iii) 396
हल:
अभाज्य गुणनखंड द्वारा
396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11
क्योंकि अभाज्य गुणनखंड 11 का युग्म नहीं है।
∴ दी गई संख्या को 11 से भाग दिया जाएगा।
∴ \(\frac{396}{11}\) = \(\frac{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11}{11}\)
= 2 × 2 × 3 × 3
= 36 एक पूर्ण वर्ग संख्या है
और √136 = \(\sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3}\) = 2 × 3 = 6

(iv) 2645
हल:
अभाज्य गुणनखंड द्वारा
2645 = 5 × 23 × 23
क्योंकि अभाज्य गुणनखंड 5 का युग्म नहीं है।
∴ दी गई संख्या को 5 से भाग दिया जाएगा। उत्तर
∴ \(\frac{2645}{5}\) = \(\frac{5 \times 23 \times 23}{5}\)
= 23 × 23 = 529 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और √529 = \(\sqrt{23 \times 23}\) = 23 उत्तर

(v) 2800
हल:
अभाज्य गुणनखंड द्वारा
2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
क्योंकि अभाज्य गुणनखंड 7 का युग्म नहीं है।
∴ दी गई संख्या को 7 से भाग दिया जाएगा।
∴ \(\frac{2800}{7}\) = \(\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7}{7}\)
= 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 400 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और √400 = \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5}\)
= 2 × 2 × 5 = 20

(vi) 1620
हल:
अभाज्य गुणनखंड द्वारा
1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5
क्योंकि अभाज्य गुणनखंड 7 का युग्म नहीं है।
∴ दी गई संख्या को 7 से भाग दिया जाएगा।
∴ \(\frac{1620}{5}\) = \(\frac{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5}{5}\)
= 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 324 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और √324 = \(\sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}\)
= 2 × 3 × 3 = 18

Class 8 Maths Chapter 6 Exercise 6.3 In Hindi प्रश्न 7.
एक राष्ट्रीय विद्यालय में कक्षा VIII के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमंत्री राहत कोष में 2401 रुपए दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपए दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कक्षा में कुल विद्यार्थी x हैं । अतः विद्यार्थियों द्वारा दान की गई कुल राशि = (x × x) रुपए = x² रुपए। वास्तविक दान दी गई राशि = 2401 रुपए
x² = 2401
या x = √2401
= \(\sqrt{7 \times 7 \times 7 \times 7}\)
= 7 × 7 = 49
अतः कक्षा में छात्रों की संख्या 49 है। उत्तर

प्रश्न 8.
एक बाग में 2025 पौधे इस प्रकार लगाए जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों की संख्या हो। पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना x पंक्तियाँ हैं और प्रत्येक पंक्ति में x पौधे हैं।
∴ कुल पौधों की संख्या = x × x = x²
∵ पौधों की वास्तविक संख्या = 2025
∴ x² = 2025
= 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
या x = √2025
= 3 × 3 × 5 = 45
अतः, पंक्तियों की संख्या 45 और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या 45 होगी।

Class 8 Maths Chapter 6.3 Hindi Medium प्रश्न 9.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए।
हल:
वह सबसे छोटी संख्या जो 4, 9 और 10 से विभाजित हो, वह इनका ल.स. होगा। जो (2 × 2 × 9 × 5), अर्थात् 180 है।
अब, 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
इसको पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इसे से गुणा किया जाएगा।
∴ वांछित संख्या = 180 × 5 = 900

प्रश्नावली 6.3 कक्षा 8 प्रश्न 10.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक 8, 15 और 20 से विभाजित हो जाए।
हल:
वह सबसे छोटी संख्या जो 8, 15 और 20 से पूर्ण विभाजित हो वह इनका ल.स. होगा। जो (2 × 2 × 5 × 2 × 3) अर्थात् 120 है।
अब 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हम 2 × 3 × 5 अर्थात् 30 से गुणा करेंगे।
∴ वांछित संख्या = 120 × 30 = 3600