RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 1 समुच्चय Ex 1.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 1 समुच्चय Ex 1.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.4

प्रश्न 1. 
निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए
(i) X = {1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3}
(ii) A = {a, e, i, o, u}, B = {a, b, c}
(iii) A {x:x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है } 
B = {x: x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है } 
(iv) A = {xx एक प्राकृत संख्या है और 1 < x ≤ 6
B = {xx एक प्राकृत संख्या है और 6 < x < 10}
(v) A = {1, 2, 3}, B = Φ
हल:
(i) X = {1, 3, 5} तथा Y = {1, 2, 3}
X ∪ Y = {1, 3, 5} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5}

(ii) A = {a, e, i, o, u}
∴ A ∪ B = {a, e, i, o, u} ∪ {a, b, c}
= {a, b, c, e, i, o, u}

(iii) प्रश्नानुसार A = {3, 6, 9, ......}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ A ∪ B = {3, 6, 9 .......} ∪ {1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12 ...........}
= {x: x 1, 2, 3, 4, 5 या संख्या 3 का गुणज}

(iv) प्रश्नानुसार A = {2, 3, 4, 5, 6}
B = {7, 8, 9}
∴ A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9} 
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A ∪ B = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 1 < x < 10}

(v) A = {1, 2, 3}, तथा B = Φ
∴ A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ Φ
= {1, 2, 3}

 

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि A = {a, b} B = {a, b, c}. क्या A ⊂ B ? A ∪ B ज्ञात कीजिए।
हल:
हाँ, क्योंकि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव समुच्चय B का अवयव है । अत: A, B का एक उपसमुच्चय है ।
A ∪ B = {a, b} ∪ {a, b, c}
= {a, b, c)} = B

प्रश्न 3.
यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि A ⊂ B, तो A ∪ B क्या है?
हल:
यदि समुच्चय A, B का उपसमुच्चय है तो समुच्चय A का प्रत्येक अवयव B में होगा । अतः
A ∪ B = B

प्रश्न 4.
यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8} और D = {7, 8, 9, 10}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए
(i) A ∪ B
(ii) A ∪ C
(iii) B ∪ C
(iv) B ∪ D
(v) A ∪ B ∪ C
(vi) A ∪ B ∪ D
(vii) B ∪ C ∪ D
हल:
(i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(ii) A ∪ C = {1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6, 7, 8} 
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

(iii) B ∪ C = {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

(iv) B ∪ D = {3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(v) A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

(vi) A ∪ B ∪ D = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10} 
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 

(vii) B ∪ C ∪ D = {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8} ∪ {7, 8, 9, 10} 
= {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ { 7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

प्रश्न 5.
प्रश्न 1 में दिए प्रत्येक समुच्वय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्वय ज्ञात कीजिए ।
हल:
(i) X ∩ Y = {1, 3, 5} ∩ {1, 2, 3}
= {1, 3}

(ii) A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {a, b, c}
= {a}

(iii) A ∩ B = {3, 6, 12, ......} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {3}

(iv) A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6} ∩ (7, 8, 9} = { }
= Φ

(v) A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ Φ = Φ

प्रश्न 6. 
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11 }, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए
(i) A ∩ B
(ii) B ∩ C
(iii) A ∩ C ∩ D
(iv) A ∩ C
(vi) A ∩ (BUC)
(v) B ∩ D
(vii) A ∩ D
(viii) A ∩ (B ∪ D)
(ix) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C)
(x) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
हल:
(i) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13}
= {7, 9, 11}

(ii) B ∩ C = {7, 9, 11, 13} ∩ {11, 13, 15}
= {11, 13}

(iii) A ∩ C ∩ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15} ∩ {15, 17}
= {11} ∩ {15, 17} = { }
= Φ

(iv) A ∩ C = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15} 
= {11}

(v) B ∩ D = {7, 9, 11, 13} ∩ {15, 17} = { }
= Φ

(vi) A ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ [{7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}]
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11}

(vii) A ∩ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {15, 17}
= { }
= Φ

(viii) A ∩ (B ∪ D) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ [{7, 9, 11, 13} ∪ {15, 17}]
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15, 17}
= {7, 9, 11}

(ix) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C) = [{3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13}] ∩ [{7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}]
= {7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11}

(x) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C) = [{3, 5, 7, 9, 11} ∪ {15, 17}] ∩ [{7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}]
= {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 15}

प्रश्न 7.
यदि A = {x:x एक प्राकृत संख्या है }, B = {x: x एक सम प्राकृत संख्या है}
C = {x:x एक विषम प्राकृत संख्या है} D = {x : x एक अभाज्य संख्या है }, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए-
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ C
(iii) A ∩ D
(iv) B ∩ C
(v) B ∩ D
(vi) C ∩ D
हल:
प्रश्नानुसार हल करने पर
A = {1, 2, 3, 4, 5, ......................}
B = {2, 4, 6, 8, ................}
C = {1, 3, 5, 7, 9, ................}
D = {2, 3, 5, 7, 11, 13 ...............}
(i) A ∩ B = {1, 2, 3, 4,5 ..........} ∩ {2, 4, 6, 8..........}
= {2, 4, 6, 8 .......} = B As B ⊂ A

(ii) A ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5 ....} ∩ {1, 3, 5, 7, 9 .....}
= {1, 3, 5, 7, ...........} = C As C ⊂ A

(iii) A ∩ D= {1, 2, 3, 4, 5 .... } ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13 ...}
= {2, 3, 5, 7, 11 ......} = D As D ⊂ A 

(iv) B ∩ C= {2, 4, 6, 8 ...} ∩ {1, 3, 5, 7 ...} = { }
= Φ

(v) B ∩ D = {2, 4, 6, 8 ....} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13 ....}
= {2}

(vi) C ∩ D = {1, 3, 5, 7 ...} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13 ...} 
= {3, 5, 7, 11 ......}
= {x : x अभाज्य विषम संख्या है }
= {x: x एक अभाज्य प्राकृत संख्या, 2 के अतिरिक्त }
= D - {2}

प्रश्न 8. 
निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौनसे युग्म असंयुक्त हैं ?
(i) {1, 2, 3, 4} तथा {xx एक प्राकृत संख्या है और 4 ≤ x ≤ 6}
(ii) { a, e, i, o, u } तथा { c, d, e, f }
(iii) {x: x एक सम पूर्णांक है} और {xx एक विषम पूर्णांक है}
हल:
(i) प्रश्नानुसार A = {1, 2, 3, 4}
तथा B = {x:x एक प्राकृत संख्या है और 4 ≤ x ≤ 6}
= {4, 5, 6}
अवयव 4 दोनों समुच्चय A तथा B में है । अत: A और B युग्म असंयुक्त समुच्चय नहीं है ।

(ii) दिए हुए समुच्चयों में अवयव उभयनिष्ठ है । अतः यह समुच्चय युग्म असंयुक्त समुच्चय नहीं है ।

(iii) प्रश्नानुसार A = {x: x एक सम पूर्णांक है }
= {...... -4, -2, 0, 2, 4, ......}
तथा B = {x: x एक विषम पूर्णांक है }
= {...... -5, -3, -1, 1, 3, 5, ......}
समुच्चय A तथा B दोनों में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है । अतः यह समुच्चय युग्म असंयुक्त है ।

प्रश्न 9.
यदि A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, B = {4, 8, 12, 16, 20), C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, D = {5, 10, 15, 20}; तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए-
(i) A - B
(ii) A - C
(iii) A - D
(iv) B - A
(v) C' - A
(vi) D - A
(vii) B - C
(viii) B - D
(ix) C - B
(x) D - B
(xi) C - D
(xii) D - C
हल:
(i) A - B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} - {4, 8, 12, 16, 20}
= {3, 6, 9, 15, 18, 21}

(ii) A - C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} - {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {3, 9, 15, 18, 21}

(iii) A - D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} - {5, 10, 15, 20}
= {3, 6, 9, 12, 18, 21}

(iv) B - A = {4, 8, 12, 16, 20} - {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {4, 8, 16, 20}

(v) C - A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} - {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {2, 4, 8, 10, 14, 16}

(vi) D - A = {5, 10, 15, 20} - {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} 
= {5, 10, 20}

(vii) B - C = {4, 8, 12, 16, 20} - {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {20}

(viii) B - D = {4, 8, 12, 16, 20} - {5, 10, 15, 20}
= {4, 8, 12, 16}

(ix) C - B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} - {4, 8, 12, 16, 20}
= {2, 6, 10, 14}

(x) D - B = {5, 10, 15, 20} - {4, 8, 12, 16, 20}
= {5, 10, 15}

(xi) C - D = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} - {5, 10, 15, 20}
= {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16}

(xii) D - C = {5, 10, 15, 20} - {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {5, 15, 20}

प्रश्न 10.
यदि x = { a, b, c, d} और Y = {f, b, d, g}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए-
(i) X - Y
(ii) Y - X
(iii) X ∩ Y
हल:
(i) X – Y = {a, b, c, d} – {f, b, d, g}
= {a, c}

(ii) Y - X = {f, b, d, g} - {a, b, c, d}
= {f, 8}

(iii) X ∩ Y
= { a, b, c, d} ∩ {f, b, d, g}
= {b, d}

प्रश्न 11.
यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं, तो R - Q क्या होगा?
हल:
R = {x: x एक वास्तविक संख्या है }
Q = {x: x एक परिमेय संख्या है }
∴ R - Q = {वास्तविक संख्याओं का समुच्चय} - {परिमेय संख्याओं का समुच्चय}
= {परिमेय संख्याओं का समुच्चय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय} - {परिमेय संख्याओं का समुच्चय}
= {अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय}

प्रश्न 12. 
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए -
(i) {2, 3, 4, 5} तथा {3, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(ii) {a, e, i, o, u} तथा { a, b, c, d} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iii) {2, 6, 10, 14} तथा {3, 7, 11, 15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv) {2, 6, 10} तथा {3, 7, 11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
हल:
(i) {2, 3, 4, 5} ∩ {3, 6} = {3} ≠ Φ अर्थात् ये असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं अतः दिया गया कथन असत्य है । 

(ii) {a, e, i, 0, u} ∩ { a, b, c, d} = {a} ≠ Φ अर्थात् ये असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं अतः दिया गया कथन असत्य है।

(iii) {2, 6, 10, 14} ∩ {3, 7, 11, 15} = Φ अर्थात् ये असंयुक्त कथन हैं अतः दिया गया कथन सत्य है।

(iv) {2, 6, 10} ∩ {3, 7, 11} = Φ अर्थात् ये असंयुक्त समुच्चय हैं अतः दिया गया कथन सत्य है।