RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 1 समुच्चय Ex 1.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 1 समुच्चय Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.3

प्रश्न 1.
रिक्त स्थानों में प्रतीक या को भर कर सही कथन बनाइए-
(i) {2, 3, 4} ............ {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) { a, b, c } ......... { b, c, d}
(iii) (x: x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी है}. ......... {x: x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है }
(iv) {x: x किसी समतल में स्थित एक वृत्त है } .............{x: x एक समान समतल में वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है ।} 
(v) {x: x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है} ......{x: x किसी समतल में स्थित एक आयत है } 
(vi) (x: x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है } ........{x: x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है }
(vii) {x: x एक सम प्राकृत संख्या है}.......... {xx एक पूर्णांक
हल:
(i) {2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, b, c} ⊄ {b, c, d}
(iii) {x: x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी है} ⊂ {xx आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है }
(iv) {x: x किसी समतल में स्थित एक वृत्त है } ⊄ { x: x एक समान समतल में वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है ।} 
(v) {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है} ⊄ {x: x किसी समतल में स्थित एक आयत है}
(vi) (x: x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है } ⊂ {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है । }
(vii) {xx एक सम प्राकृत संख्या है } ⊂ {xx एक पूर्णांक है}

प्रश्न 2.
जाँचिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य हैं
(i) {a, b} ⊄ {b, c, a}
(ii) {a, e} ⊂ {x: x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है }
(iii) {1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 5}
(iv) {a } ⊂ { a, b, c}
(v) {a } ∈ { a, b, c}
(vi) {x: x संख्या 6 से कम एक सम प्राकृत संख्या है} ⊂ {xx एक प्राकृत संख्या है, जो संख्या 36 को विभाजित करती है}
हल:
(i) असत्य
(ii) सत्य
(iii) असत्य
(iv) सत्य
(v) असत्य ∵ a ∈ {a, b, c} परन्तु {a} ∉ {a, b, c} 
(vi) ∵ बायें पक्ष का समुच्चय {2, 4} तथा दायें पक्ष का समुच्चय {1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 16}
इसलिए स्पष्ट है कि {2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36} सत्य है।

प्रश्न 3.
मान लीजिए कि A {1, 2, { 3, 4 }, 5} निम्नलिखित में से कौनसा कथन सही नहीं है और क्यों?
(i) {3, 4} ⊂ A
(ii) {3, 4} ∈ A
(iii) {{3, 4}} ⊂ A 
(iv) 1 ∈ A
(v) 1 ⊂ A
(vi) {1, 2, 5} ⊂ A
(vii) {1, 2, 5} ∈ A
(viii) {1, 2, 3} ⊂ A 
(ix) Φ ∈ A
(x) Φ ⊂ A
(xi) {Φ} ⊂ A
हल:
(i) यह कथन सही नहीं है क्योंकि {3, 4} समुच्चय A का एक अवयव है।
(ii) यह कथन सही है क्योंकि {3, 4} समुच्चय A का एक अवयव है ।
(iii) यह कथन सही है क्योंकि यह समुच्चय A के अवयव {3, 4} का एक उपसमुच्चय है।
(iv) यह कथन सत्य है ।
(v) यह कथन सही नहीं है क्योंकि 1 एक अवयव है एक समुच्चय नहीं है ।
(vi) यह कथन सही है क्योंकि समुच्चय {1, 2, 5} के अवयव समुच्चय A में हैं ।
(vii) यह कथन सही नहीं है क्योंकि 1, 2, 5} एकं समुच्चय है न कि अवयव ।
(viii) यह कथन सही नहीं है क्योंकि अवयव 3 समुच्चय में नहीं है ।
(ix) यह कथन सही नहीं हैं क्योंकि Φ एक समुच्चय है, अवयव नहीं ।
(x) यह कथन सही है क्योंकि समस्त समुच्चयों का एक उपसमुच्चय है।
(xi) यह कथन सही नहीं है। चूँकि {Φ} ⊄ A

प्रश्न 4.
निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए-
(i) {a},
(ii) {a, b}
(iii) {1, 2, 3}
(iv) Φ
हल:
(i) Φ, {a}.
(ii) Φ, { a}, { b}, {a, b}
(iii) Φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}
(iv) Φ.

प्रश्न 5.
P(A) के कितने अवयव हैं, यदि A = Φ?
हल:
यदि A = Φ तो इसका केवल एक ही उपसमुच्चय Φ होगा । अतः
P(A) का केवल : 1 ही अवयव होगा ।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित को अन्तराल रूप में लिखिए-
(i) {x : x ∈ R, – 4 < x ≤ 6}
(ii) {x: x ∈R, 12 < x < −10}
(iii) {x : x ∈R, 0 ≤ x < 7 }
(iv) {x : x ∈ R, 3 ≤ x ≤ 4}
हल:
(i) (-4, 6]
(ii) (-12, -10)
(iii) [0, 7)
(iv) [3, 4]

प्रश्न 7.
निम्नलिखित अन्तरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए-
(i) (−3, 0)
(ii) [6, 12]
(iii) (6, 12]
(iv) [–23, 5)
हल:
(i) (-3, 0) {x : x ∈ R, −3 < x < 0}
(ii) [6, 12] = {x : x ∈ R, 6 ≤ x ≤12} 
(iii) (6, 12] = {x : x ∈ R, 6 < x  ≤ 12} 
(iv) [−23, 5) = {x : x ∈ R, −23  ≤ x < 5}

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए आप कौन-सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे?
(i) समकोण त्रिभुजों का समुच्चय ।
(ii) समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय ।
हल:
(i) त्रिभुजों का समुच्चय
(ii) त्रिभुजों का समुच्चय
∵ त्रिभुजों के समुच्चय में समकोण तथा समद्विबाहु दोनों प्रकार त्रिभुज विद्यमान हैं ।

प्रश्न 9. 
समुच्चय A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} और C = {0, 2, 4, 6, 8} प्रदत्त हैं। इन तीनों समुच्चयों A, B और C के लिए निम्नलिखित में से कौनसा (से) सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा
सकते हैं?
(i) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) Φ
(iii) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(iv) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
हल:
तीनों समुच्चयों A, B तथा C के लिए समुच्चय (iii) को सार्वत्रिक समुच्चय के लिए लिया जा सकता है। चूँकि इसमें समुच्चयों A, B व C तीनों समुच्चयों के अवयव हैं।