RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

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RBSE Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.5

प्रश्न 1.
ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यंतर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो ∆ABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
हल:
माना कि ABC एक त्रिभुज है। इसकी भुजाओं AB और BC के लंब समद्विभाजक क्रमशः PQ और RS खींचिए। माना कि PQ, AB को M पर समद्विभाजित करता है और RS, BC को बिन्दु N पर समद्विभाजित करता है।
मान लीजिए PQ और RS बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं। OA, OB और OC को मिलाइए। अब, ∆AOM और BOM में
AM = MB . (रचना से)
∠AMO = ∠BMO
[प्रत्येक 90° (रचना से)]
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OM = OM (उभयनिष्ठ भुजाएँ)
∴ ∆AOM = ∆BOM
(सर्वांगसमता के नियम SAS के अनुसार)

इसलिए, OA = OB (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग).....(i)
इसी तरह, ∆BON = ∆CON
⇒ OB = OC (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग).....(ii)

(i) और (ii) के आधार पर
OA = OB = OC
अतः ∆ABC की किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिन्दु O, इसके तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

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प्रश्न 2.
किसी त्रिभुज के अभ्यंतर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ हो।
हल:
माना कि ABC एक त्रिभुज है। अब ∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए।
माना कि ये कोण समद्विभाजक परस्पर बिन्दु I पर प्रतिच्छेद करते हैं। अब IK ⊥ BC खींचिए।
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साथ ही, IJ ⊥ AB
और IL ⊥ AC खींचिए।
AI को मिलाइए।

∆BIK और ∆BIJ के अनुसार,
∠IKB = ∠IJB . (प्रत्येक 90°) (रचना से)
∠IBK = ∠IBJ [क्योंकि BI ∠B का समद्विभाजक है] (रचना से)
BI = BI (उभयनिष्ठ भुजाएँ)

∴ ∆BIK = ∆BIJ
(सर्वांगसमता के नियम AAS के अनुसार)
IK = IJ (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग).....(i)

इसी प्रकार,
∆CIK ≅ ∆CIL
इसलिए, IK = IL (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग).....(ii)

(i) और (ii) के आधार पर
IJ = IK = IL;
अंतः ∆ABC के किन्हीं दो कोणों को समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिन्दु I इसकी भुजाओं से समदूरस्थ है।

प्रश्न 3.
एक बड़े पार्क में लोग तीन बिन्दुओं (स्थानों) पर केन्द्रित हैं ( देखिए आकृति)।
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स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है। एक आइसक्रीम का स्टाल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुँच सके ?
हल:
स्टाल A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए। इसके लिए हम बिन्दुओं B और C को मिलाने वाली रेखा का लम्ब समद्विभाजक l और बिन्दुओंA और C को मिलाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक m खींचते हैं।
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अब माना कि l और m परस्पर बिन्दु O पर

प्रतिच्छेद करते हैं। अब बिन्दु O बिन्दुओं A, B और C से समदूरस्थ हैं।
OA, OB और OC को मिलाइए।

उपपत्ति - ∆BOP और ∆COP में,
OP = OP (उभयनिष्ठ भुजाएँ)

∠OPB = ∠OPC (प्रत्येक = 90°) (रचना से)
BP = PC [क्योंकि P, BC का मध्य-बिन्दु है]

∆BOP ≅ ∆COP [सर्वांगसमता के नियम SAS के अनुसार]
इसलिए, OB = OC (क्योंकि ये
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) .....(i)
इसी तरह, ∆AOQ ≅ ∆COQ
⇒ OA = OC (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग.).....(ii)

(i) और (ii) के अनुसार
OA = OB = OC हम देखते हैं कि इन बिन्दुओं को मिलाने से प्राप्त तीन भुजाओं में से किन्हीं दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिन्दु 0 ही वह बिन्दु है जहाँ पर आइसक्रीम स्टाल लगाना चाहिए।

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प्रश्न 4.
षड्भुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों [ देखिए आकृति (i) और (ii)] को 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भरकर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में, त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं ?
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हल:
षड्भुजीय रंगोली में--प्रत्येक 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
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\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)
= (5) = 9525
षड्भुजीय रंगोली का क्षेत्रफल = 6 × एक
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 25
= 150 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)cm2 .....(i)

1 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)(1)2
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)cm .....(ii)
षड्भुजीय रंगोली में 1 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या
= 150\(\frac{\sqrt{3}}{4} \div \frac{\sqrt{3}}{4}\)
= 150\(\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{4}{\sqrt{3}}\)
= 150 .....(iii)

अब तारे के आकार की रंगोली में
प्रत्येक 5 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12
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इसलिए तारे के आकार वाली रंगोली का कुल क्षेत्रफल = 12 × 5 cm भुजा वाली एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल .
=125(\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (5)2)
= 12 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 25
= 300\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) cm2 ....iv)

तारे के आकार वाली रंगोली में 1 cm. भुजा वाली त्रिभुजों की संख्या जा रहा है या मा गोपाल
= 3000\(\frac{\sqrt{3}}{4} \div \frac{\sqrt{3}}{4}\)
[समीकरण (iv) में (ii) से भाग देने पर]
= 3000\(\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{4}{\sqrt{3}}\)
= 300 समीकरण (iii) और (v) से हम देखते हैं कि तारे के आकार वाली रंगोली में 1 cm भुजा वाली समबाहु त्रिभुजों की संख्या अधिक है। 

Prasanna
Last Updated on April 22, 2022, 2:34 p.m.
Published April 22, 2022