RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से प्रत्येक की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए:

(i) \(\frac{d^2 y}{d x^2}+5 x\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) - 6y = log x
हल:
दिए गए अवकल समीकरण \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 5x \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) - 6y = log x में उच्चतम कोटि अवकल \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है, अत: कोटि 2 है तथा घात 3 है।

(ii) \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^3-4\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + 7y = sin x
हल:
दिए गए अवकल समीकरण \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\) - 4\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + 7y = sin x में उच्चतम कोटि अवकल \(\frac{d y}{d x}\) है, अत: कोटि 1 तथा घात 3 है|

(iii) \(\frac{d^4 y}{d x^4}-\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)\) = 0
हल:
दिए गए अवकल समीकरण \(\frac{d^4 y}{d x^4}\) - sin\(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)\) = 0 में उच्चतम कोटि अवकल \(\frac{d^4 y}{d x^4}\) है, अत: कोटि 4 परन्तु घात के लिए यह परिभाषित नहीं है। चूँकि इस समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलजों में बहुपद नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
(i) xy = a e^x + b e^-x + x² : x \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 2 \(\frac{d y}{d x}\) - xy + x² - 2 = 0
हल:
xy = ae^x + be^-x + x²
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

अतः xy = ae^x + be^-x + x² दिये गये समीकरण का हल है।

(ii) y = e^x (a cos x + b sin x) : \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) - 2\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = 0
हल:
प्रश्नानुसार y = e^x (a cos x + b sin x) दो बार अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = e^x (a cos x + b sin x) + e^x (- a sin x + b cos x)
= e^x [(a + b) cos x + (b - a) sin x]
तथा \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = e^x [(b + a) cos x + (b - a) sin x] + e^x [- (b + a) sin x + (b - a)cos x]
= e^x [{(b + a) + (b - a)} cos x + {(b - a) - (b + a)} sin x]
= 2e^x [b cos x - a sin x]
इनका मान \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) - 2\(\frac{d y}{d x}\), + 2y = 0 में रखने पर
बायाँ पक्ष = 2e^x (b cos x - a sin x] - 2e^x [(a + b)cos x + (b - a) sin x] + 2e^x [a cos x + b sin x]
= e^x[(2b - 2a - 2b + 2a) cos x + (- 2a - 2b + 2a + 2b) sin x] = 0
अतः y = e^x (a cos x + b sin x) अवकल समीकरण \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) - 2\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = 0 का हल है।

(ii) y = x sin 3x : \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y - 6 cos 3x = 0
हल:
प्रश्नानुसार y = x sin 3x
दो बार अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = sin 3x + x (cos 3x) 3
= sin 3x + 3x cos 3x
तथा \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 3 cos 3x + 3 [cos 3x - x sin 3x . 3]
= 6 cos 3x - 9x sin 3x = 6 cos 3x - 9y
अथवा \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y - 6 cos 3x = 0
⇒ y = x sin 3x अवकल समीकरण \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y - 6 cos 3x = 0 का हल है।

(iv) x² = 2y² log y : (x² + y²)\(\frac{d y}{d x}\) - xy = 0
हल:
प्रश्नानुसार x² = 2y² log y x के सापेक्ष अवकलन करने पर

⇒ x² = 2y² logy अवकल समीकरण (x² + y²) \(\frac{d y}{d x}\) - xy = 0 का हल है।

प्रश्न 3.
(x - a)² + 2y² = a² द्वारा निरूपित वक्रों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है।
हल:
प्रश्नानुसार वक्र का समीकरण
(x - a)² + 2y² = a²
या x² + 2y² - 2xa = 0
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2x + 4y\(\frac{d y}{d x}\) - 2a = 0

(ii) को x से गुणा करने पर
2x² + 4xy\(\frac{d y}{d x}\) - 2xa = 0
इसमें से समीकरण (i) को घटाने पर

जो कि अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि x² - y² = c(x² + y²)² जहाँ c एक प्राचल है,
अवकल समीकरण (x³ - 3xy²)dx = (y³ - 3x²y)dy का व्यापक
हल है।
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण
(x³ - 3xy²)dx = (y³ - 3x²y)dy


वर्ग करने पर (C') = C रखने पर
C (x² + y²)² = x² - y².
x² - y² = C (x² + y²)²

प्रश्न 5.
प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
हल:
ऐसे वृत्तों के कुल का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों का स्पर्श करे
(x - a)² + (y - a)² = a² ....... (1)

जबकि स्वेच्छ अचर है समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 6.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}\) = 0 जबकि x ≠ 1 व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः अभीष्ट हल
sin^-1 y = - sin^-1 x + C
sin^-1 y + sin^-1 x = C

प्रश्न 7.
दर्शाइए कि अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}+\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}\) = 0 का व्यापक हल (x + y + 1) = A(1 - x - y - 2xy) है, जिसमें A का प्राचल है|
हल:
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 8.
बिन्दु (0, \(\frac{\pi}{4}\)) के गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 है।
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0
cos x cos y से भाग देने पर
\(\frac{\sin x}{\cos x}\) dx + \(\frac{\sin y}{\cos y}\) dy = 0
समाकलन करने पर
∫\(\frac{\sin x}{\cos x}\) dx + ∫\(\frac{\sin y}{\cos y}\) dy = ∫0 dx
∫tan x dx + ∫tan y dy = ∫o dx
log |sec x| + log |sec y] = log |C|
या log |sec x sec y| = log |C|
या sec x sec y = C
अब x = 0 तथा y = \(\frac{\pi}{4}\) रखने पर
sec 0 sec \(\frac{\pi}{4}\) = C ⇒ 1.√2 = C
∴ C = √2
∴ अभीष्ट वक्र का समीकरण sec x sec y = √2 या cos y = \(\frac{\sec x}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण (1 + e^2x)dy + (1 + y²) e^x dx = 0 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 1 यदि x = 0
हल:
दिया गया अवकल समीकरण (1 + e^2x)dy + (1 + y²) e^x dx = 0
(1 + e^2x) (1 + y²) से भाग देने पर

या tan^-1 y + tan^-1 t = C
या tan^-1 y + tan^-1 e^x = C ...... (1)
अब x = 0, y = 1 रखने पर
tan^-11 + tan^-1 e^o = C ⇒ tan^-1 1 + tan^-1 1 = C
tan^-11 + tan^-1 = C ⇒ \(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\) = C ⇒ C = \(\frac{\pi}{2}\)
समीकरण (1) में मान रखने पर
अतः अभीष्ट हल tan^-1 y + tan^-1 e^x = \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण ye^{\(\frac{x}{y}\)} dx = (xe^{\(\frac{x}{y}\)} + y²) dy, (y ≠ 0) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण (x - y) (dx + dy) = dx - dy का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = - 1 यदि x = 0 (संकेत : x - y = t रखें)।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
(x - y) (dx + dy) = dx - dy
(x - y)dx + (x - y)dy = dx - dy
या (x - y - 1) dx + (x - y + 1) dy = 0

या t + log |t| = 2x + C ∴ 1 = x - y रखने पर
x - y + log |x - y| = 2x + C
या log |x - y| = x + y + C
अब x = 0 तथा y= - 1 रखने पर ।
0 = 0 - 1 + C ∴ C = 1
अतः अभीष्ट हल
log |x - y| = x + y + 1

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण \(\left[\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right] \frac{d x}{d y}\) = 1, (x ≠ 0) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + y cot x = 4x cosec x, (x ≠ 0) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = \(\frac{\pi}{2}\).
हल:
दिया गया अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + y cot x = 4x cosec x जो कि एक रैखिक अवकल समीकरण है, अतः समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से तुलना करने पर
यहाँ P = cot x तथा Q = 4x cosec x
∴ ∫Pdx = ∫ cot x dx = log sin x
अतः IF = e^{∫P dx} = e^{log sin x} = sin x
अतः दी गई अवकल समीकरण का हल
y × I.F. = ∫Q × I.F.dx + C
y × sin x = ∫ 4x cosec x × sin x dx + C
= ∫4x de + C = 2x² + C
अब x = \(\frac{\pi}{2}\), y = 0 रखने पर
0 = 2\(\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\) + C ⇒ C = - \(\frac{\pi^2}{2}\)
अतः अभीष्ट हल
y sin x = 2x² - \(\frac{\pi^2}{2}\) (sin x ≠ 0)

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण (x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2e^-y - 1 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = 0.
हल:
दी गई अवकल समीकरण

= log |x + 1| + C
या - log |t| = log |x + 1| + C
या - log |2 - e^y| = log |x + 1| + C
या log |2 - e^y| = log |x + 1| = - C
या log |(2 - e^y) (x + 1)| = - C = log A (मान लिया)
∴ (2 - e^y) (x + 1) = A
अब x = 0, y = 0 रखने पर
(2 - e⁰)(0 + 1) = A
1 × 1 = A = 1
∴ (2 - e^y) (x + 1) = 1

प्रश्न 15.
किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी तो ज्ञात कीजिए कि सन 2009 में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
हल:
माना कि किसी समय t पर गाँव की जनसंख्या y है।
अतः प्रश्नानुसार दिया है
\(\frac{d y}{d t}\) ∝ y ⇒ \(\frac{d y}{d t}\) = ky
जबकि k समानुपाती की अचर संख्या है।
या \(\frac{d y}{y}\) = k dt
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
∫\(\frac{d y}{y}\) = ∫k dt
∴ log y = kt + C ....... (i)
सन् 1999 में मान लिया t = 0, जनसंख्या = 20,000
∴ log 20,000 = 0 + C ⇒ C = log 20,000
C का मान (i) में रखने पर
log y = kt + log 20,000
या log y - log 20,000 = kt

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण \(\frac{y d x-x d y}{y}\) = 0 का व्यापक हल है:
(A) xy = C
(B) x = Cy²
(C) y = Cx
(D) y = Cx²
उत्तर:
(C) y = Cx

हल:
\(\frac{y d x-x d y}{y}\) = 0
या y dx - x dy = 0
या y dx = x dy
⇒ \(\frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}\)
⇒ \(\int \frac{d x}{x}=\int \frac{d y}{y}\)
∴ log|x| + log|C| = log|y|
log|xC| = log|y|
∴ Cx = y
⇒ y = Cx
अतः सही विकल्प (C) है। dx

प्रश्न 17.
\(\frac{d x}{d y}\) + P₁x = Q₁ के रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
(A) y \(e^{\int P_1 d y}=\int\left(Q_1 e^{\int P_1 d y}\right)\) dy + C
(B) y \(e^{\int P_1 d x}=\int\left(Q_1 e^{\int P_1 d x}\right)\) dx + C
(C) x \(e^{\int P_1 d y}=\int\left(Q_1 e^{\int P_1 d y}\right)\) dy + C
(D) x \(e^{\int P_1 d x}=\int\left(Q_1 e^{\int P_1 d x}\right)\) dx + C
उत्तर:
(C) x \(e^{\int P_1 d y}=\int\left(Q_1 e^{\int P_1 d y}\right)\) dy + C

हल:
\(\frac{d x}{d y}\) + P₁x = Q₁
x \(e^{\int P_1 d y}=\int\left(Q_1 e^{\int P_1 d y}\right)\) dy
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 18.
अवकल समीकरण e^x dy + (y e^x + 2x) dx = 0 का व्यापक हल है।
(A) x e^y + x² = C
(B) x e^y + y² = C
(C) y e^x + x² = C
(D) y e^y + x^y = C
उत्तर:
(C) y e^x + x² = C

हल:
e^x dy + (ye^x + 2x) dx = 0