RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.6

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.6

प्रश्न 1.
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = sin x
हल:
प्रश्नानुसार
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = sin x
दिया हुआ अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q है जहाँ P = 2 तथा
Q = sin x
∴ I.F = e^{∫2 dx} = e^2x
अवकल समीकरण का हल है
y.(I.F.) = ∫Q. (I.F) dx
y e^2x = ∫sin x.e^2x dr + C = I₁ + C .... (i)
I₁ = ∫e^2x sin x dx
e^2x को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
I₁ = e^2x (- cos x) - ∫2e^2x (- cos x) dx
= - e^2x cos x + 2 ∫e^2x cos x dx
पुनः e^2x को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
I₁ = - e^2x cos x + 2
[e^2x sin x - ∫2e^2x sin x dx]
= - e^2x cos x + 2e^2x sin x - 4I₁
∴ 5 I₁ = e^2x (2 sin x - cos x) .
I₁ = \(\frac{e^{2 x}}{5}\) (2 sin x - cos x)
I₁ का मान समीकरण (i) में रखने पर, दिए हुए अवकल समीकरण का हल
ye^2x = \(\frac{e^{2 x}}{5}\) [2 sin x - cos x] + C
या y = \(\frac{1}{5}\) (2 sin x - cos x) + Ce^-2x

प्रश्न 2.
\(\frac{d y}{d x}\)y + 3y = e^-2x
हल:
प्रश्नानुसार
\(\frac{d y}{d x}\) + 3y = e^-2x
दिया गया अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q के रूप का है जहाँ
P = 3 तथा Q = e^-2x
∴ IF = e^{∫3 dx} = e^3x
अतः रैखिक अवकल समीकरण का हल
y × I.F. = ∫Q × I.F.dx +C
y e^3x = ∫e^-2x e^3x at + C = ∫e^x dx + C
= e^x + C
या y = e^-2x + C e^-3x

प्रश्न 3.
\(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}\) = x²
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}\) . y = x²
दिया गया अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q के रूप का है जहाँ
P = \(\frac{1}{x}\) तथा Q = x²
∴ IF = \(e^{\int \frac{1}{x} d x}\) = e^{log x} = x
अत: रैखिक अवकल समीकरण का हल
y × IF = ∫Q × I.F. dx + c
या yx = ∫x².x dx + c
या xy = \(\frac{x^4}{4}\) + C
∴ y = \(\frac{x^3}{4}+\frac{C}{x}\)

प्रश्न 4.
\(\frac{d y}{d x}\) + (sec x)y = tan x (0 ≤ x < \(\frac{\pi}{2}\))
हल प्रश्नानुसार
\(\frac{d y}{d x}\) + sec x. y = tan x
दिया गया अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q के रूप का है जहाँ
P = secx तथा Q = tan x
∴ IF = e^{∫sec dx} = e^{log (sec x + tan x)}
= sec x + tan x
अतः रैखिक अवकल समीकरण का हल
y × I.F. = ∫Q × I.F. dx + C
y × (sec x + tan x) = ∫tan x (sec x + tan x) dx + C
= ∫sec x tan x dx + ∫tan²x dx + C
= ∫sec x tan x dx + ∫ (sec² x - 1) dx + c
= sec x + tan x - x + C
अतः अभीष्ट हल
y (sec x + tan x) = (sec x + tan x) - x + C

प्रश्न 5.
cos² x + y = tan x (0 ≤ x < \(\frac{\pi}{2}\))
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण cos² x \(\frac{d y}{d x}\) + y = tan x
cos² x से भाग देने पर
\(\frac{d y}{d x}\) + (sec² x) y = tan x . sec² x
रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से तुलना करने पर
P = sec² x तथा Q = tan x sec² x
∴ ∫P dx = ∫sec² x dx = tan x
∴ I.F. = e^{∫P dx} = e^{tan x}
अतः अवकल समीकरण का हल
y × IF = ∫Q × I.F.dx + c
y e^{tan x} = ∫tan x sec² x × e^{tan x} dx + C
अब tan x = 1 रखने पर sec² x dx = dx
अतः अवकल समीकरण का हल
y e^{tan x} = ∫t e^t dt + C
या y e^{tan x} = t.e^t - ∫1.e^t dt + C
= t e^t - e^t + C
या y e^{tan x} = tan x . e^{tan x} - e^{tan x} + C
या y = (tan x - 1) + C e^{- tan x}

प्रश्न 6.
x \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = x² log x
हल:

प्रश्न 7.
x log x \(\frac{d y}{d x}\) + y = \(\frac{2}{x}\) log x
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण x log x \(\frac{d y}{d x}\) + y = \(\frac{2}{x}\) log x

प्रश्न 8.
(1 + x²)dy + 2xy dx = cot x dx (x ≠ 0)
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण
(1 + x²) dy + 2xy dx = cot x dx
(1 +x²)dx से भाग देने पर

अतः अवकल समीकरण का हल
y × I.F. = ∫Q × I.F.dx + C
y(1 + x²) = ∫\(\frac{\cot x}{1+x^2}\) × (1 + x²) + C
= ∫cot x dx + C = log |sin x| + C
अतः अभीष्ट हल
(1 + x²)y = log |sin x| + C
या y = (1 + x²)^-1 log |sin x| + C(1 + x²)^-1

प्रश्न 9.
x\(\frac{d y}{d x}\) + y - x + xy cot x = 0 (x ≠ 0)
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण

खण्डशः समाकलन करने पर
x y sin x = x ( - cos x) - ∫1.(- cos x)dx + C
= - x cos x + sin x + C
अतः अभीष्ट हल
xy sin x = - x cos x + sin x + C
∴ y = \(\frac{1}{x}\) - cot x + \(\frac{C}{x \sin x}\)

प्रश्न 10.
(x + y)\(\frac{d y}{d x}\) = 1
हल:

= - y e^-y - e^-y + C
या x = - y - 1 + C e^y
∴ अभीष्ट हल है
x + y + 1 = C e^y

प्रश्न 11.
y dx + (x - y²)dy = 0
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण y dx + (x - y²) dy = 0

प्रश्न 12.
(x + 3y²)\(\frac{d y}{d x}\) = y (y > 0)
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण

13 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 13.
\(\frac{d y}{d x}\) + 2 y tan x = sin x ; y = 0 यदि x = \(\frac{\pi}{3}\)
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + 2 y tan x = sin x
समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से तुलना करने पर
यहाँ P = 2 tan x तथा Q = sin x
∴ ∫P dx = 2∫tan x dx = - 2 log cos x
= log (cos x)^-2 = log\(\frac{1}{\cos ^2 x}\)
= log sec² x
I.F. = e^{∫P dx} = e^{log sec2 x} = sec² x
अतः अवकल समीकरण का हल
y × I.F. = ∫Q × I.F. dx + C
y × sec² x = ∫sin x sec² x dx + C
= ∫sec x tan x + C = sec x + C
अब x = \(\frac{\pi}{3}\) तथा y = 0 रखने पर
0 × sec²\(\frac{\pi}{3}\) = sec\(\frac{\pi}{3}\) + C
अतः अभीष्ट हल.
y sec² x = sec x - 2 या y = cos x - 2 cos² x

प्रश्न 14.
(1 + x²)\(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = \(\frac{1}{1+x^2}\); y = 0 यदि x = 1
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण

प्रश्न 15.
\(\frac{d y}{d x}\) - 3y cot x = sin 2x; y = 2 यदि x = \(\frac{\pi}{2}\)
हल:
प्रश्नानुसार अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) - 3y cot x = sin 2x
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से तुलना करने पर
यहाँ P = - 3 cot x तथा Q = sin 2x
∴ ∫ P dx = - 3 ∫cot x dx
= - 3 log sin x = e^{log(sin x)-3}
= log cosec³ x
अतः I.F = e^{∫P dx} e^{log(cosec3 x)} = cosec³ x
अवकल समीकरण का हल
y × IF = ∫Q × I.F. dx + C
अर्थात् y cosec³ x = ∫sin 2x cosec³ x dx + c
= ∫2 sin x cos x cosec³ x dx + C
= 2∫cot x cosec x dx + C
= - 2 cosecx + C
या y = - 2 sin² x + C sin³ x
अब x = \(\frac{\pi}{2}\) तथा y = 2 रखने पर 2 = - 2 + C ∴ C = 4
अतः अभीष्ट हल y = - 2 sin² x + 4 sin³ x
या y = 4 sin³ x - 2 sin² x

प्रश्न 16.
मूल बिन्दुः से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
हल:
प्रश्नानुसार स्पर्श रेखा की प्रवणता = निर्देशांकों का योग dy
\(\frac{d y}{d x}\) = x + y या \(\frac{d y}{d x}\) - y = x जो कि एक रैखिक अवकल समीकरण है।
अतः \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से तुलना करने पर यहाँ P = - 1 तथा Q = x
∴ ∫P dx = ∫(- 1)dx = - x
अतः I.F = e^-x
∴ अवकल समीकरण का हल
y × IF = ∫Q × I.F. dx + c
या y e^-x = fixe ax + c .

= - xe^-x + ∫e^-x dx + C
ye^-x = - x e^-x - e^-x + C
अब x = 0, y = 0 रखने पर 0 = 0 - 1 + C ∴ C = 1
अतः अभीष्ट हल
y e^-x = - x e^-x - e^-x + 1
या y = - x - 1 + e^-x या y + x + 1 = e^x

प्रश्न 17.
बिन्दु (0, 2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिणाम से 5 अधिक है।
हल:
प्रश्नानुसार किसी बिन्दु पर निर्देशांक का योग = प्रवणता + 5

= - (x - 5) e^-x - e^-x + C
या y = - (x - 5) - 1 + C e^x
अब x = 0, y = 2 रखने पर 2 = 5 - 1 + C = 4 + C
∴ C = - 2
∴ अभीष्ट हल y = - x + 5 - 1 - 2 e^x
या y + x - 4 = - 2 e^x
या y = 4 - x - 2e^x
जो कि वक्र का अभीष्ट समीकरण है। 

प्रश्न 18.
अवकल समीकरण x\(\frac{d y}{d x}\) - y = 2x² का समाकलन गुणक है:
(A) e^-x
(B) e^-y
(C) \(\frac{1}{x}\)
(D) x
उत्तर:
(C) \(\frac{1}{x}\)

हल:

जो कि रैखिक अवकल समीकरण है। इसकी तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से करने पर
यहाँ पर P = - \(\frac{1}{x}\) है।

अतः विकल्प (C) सही है

प्रश्न 19.
अवकल समीकरण (1 - y²) \(\frac{d x}{d y}\) + y x = ay(- 1 < y < 1) का समाकलन गुणक है:
(A) \(\frac{1}{y^2-1}\)
(B) \(\frac{1}{\sqrt{y^2-1}}\)
(C) \(\frac{1}{1-y^2}\)
(D) \(\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)
उत्तर:
(D)\( \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)

हल: