RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2

प्रश्न 1.
परवलय x² = 4y और वृत्त 4x² +4y² = 9 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार ,परवलय
x² = 4y का शीर्ष (0, 0) है
और सममित रेखा OY है ....(i)
तथा 4x² + 4y² =9 ......(ii)
या x² + y² = \(\frac{9}{4}\) एक वृत्त है जिसका केन्द्र (0, 0) तथा त्रिज्या \(\frac{3}{2}\) है

समीकरण (i) से x का मान (ii) में रखने पर
4y² + 16y - 9 = 0
= 4y² + 18y - 2y+9 = 0
या 2y(2y + 9) - 1(2y + 9) = 0
(2y - 1) (2y + 9) = 0
y = \(\frac{1}{2}\) या -\(\frac{9}{2}\) [y = -\(\frac{9}{2}\) संभव नहीं]
x² = 2
x = ± √2 मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र QOPB का क्षेत्रफल
= 2 × (क्षेत्र BOP का क्षेत्रफल)
= 2 - (क्षेत्र TOP + क्षेत्र TPB का क्षेत्रफल)

प्रश्न 2.
वक्रों (x - 1)² + y² = 1 एवं x² + y² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार वृत्त x² + y² = 1 का केन्द्र (0,0) है तथा त्रिज्या 1 इकाई है। वृत्त (x - 1)² + y² = 1 का केन्द्र (1,0) है तथा त्रिज्या 1 इकाई है। दोनों वृत्त x-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं।

दोनों वक्रों के समीकरणों को हल करने पर
-2x + 1 =0 ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
तत्व y² = 1 - (\(\frac{1}{2}\))²
प्रतिच्छेद बिन्दु P\(\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) और of Q\(\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) है।
∴ घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल = OQAP क्षेत्रफल
= 2 × क्षेत्र OAP का क्षेत्रफल
= 2 × [क्षेत्र OLP और LAP का क्षेत्रफल]

प्रश्न 3.
वक्रों y = x² + 2, y = x, x = 0 एवं x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार परवलय y = x² + 2 या x = y - 2 का शीर्ष (0, 2) है ।।
तथा सममित का अक्ष OY है। क्षेत्र वक्र y = x, x = 0 तथा x = 3 से घिरा हुआ है।

अतः अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल = ROAQ का क्षेत्रफल - OAP का क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (- 1,0), (1, 3) एवं (3, 2) हैं।
हल:
दिए गए त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (-1, 0), (1, 3), (3, 2) को अंकित करके मिला दिया। हम जानते हैं कि बिन्दु (x₁, y₁), (x₂, y₂) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण

अतः बिन्दु (-1, 0), (1, 3) को मिलाने वाली रेखा AB का समीकरण
y - 0 = \(\frac{3-0}{1+1}\) (x + 1)
y = \(\frac{3}{2}\)(x + 1)

बिन्दु (1, 3), (3, 2) को मिलाने वाली रेखा BC का समीकरण
y - 3 = \(\frac{2-3}{3-1}\) (x -1) = \(\frac{-1}{2}\)(x - 1)
y = \(\frac{-1}{2}\)(x - 1) + 3 = \(\frac{-1}{2}\) x + \(\frac{7}{2}\) ...........(ii)

तथा बिन्दु (3; 2), (-1,0) को मिलाने वाली रेखा AC का समीकरण
y - 0 = \(\frac{2-0}{3+1}\) (x + 1) या y = \(\frac{1}{2}\) (x + 1) ....(iii)

ΔABC का क्षेत्रफल
= ΔABD का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BDEC का क्षेत्रफल - ΔACE का क्षेत्रफल

प्रश्न 5.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं के समीकरण y = 2x + 1, y = 3x + 1 एवं x = 4 हैं।
हल:
प्रश्नानुसार दी गई रेखा y = 2x + 1 तथा y = 3x + 1 को हल करने पर

इसी प्रकार y = 2x + 1 तथा x = 4 को हल करने पर x = 4,
∴ y = 2 × 4 + 1 = 9
तथा y = 3x + 1 तथा x = 4 को हल करने पर
x = 4
y = 3 × 4+1
= 13

बिन्दु (0, 1), (4,9), (4, 13) को अंकित करके मिला दिया गया।
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = समलम्ब चतुर्भुज AOLB का क्षेत्रफल - समलम्ब चतुर्भुज AOLC का क्षेत्रफल

प्रश्न 6 एवं 7 में सही उत्तर का चयन कीजिए :

प्रश्न 6.
वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखा x + y = 2 से घिरे छोटे भाग का क्षेत्रफल
(A) 2(π - 2)
(B) (π - 2)
(C) 2π - 1
(D) 2(π + 2)
हल:
(B) (π - 2)

दिया गया है
x + y = 2
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\) = 1
वृत्त का समी. x² + y² = 4 = (2)²
वृत्त का केन्द्र (0, 0) और इसकी त्रिज्या = 2 है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = वृत्त का प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल - ΔOAB का क्षेत्रफल

अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 7.
वक्रों y² = 4x एवं y = 2x के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(A) \(\frac{2}{3}\)
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{4}\)
(D) \(\frac{3}{4}\)
हल:
(B) \(\frac{1}{3}\)

दिया गया है
y² = 4x ......(1)
तथा y = 2x .....(2)
समी. (1) तथा (2) को हल करने पर
(2x)² = 4x
4x² - 4x = 0 = 4x(x - 1) = 0
अर्थात् x = 0, 1
जब x = 0 तब y= 2 × 0 = 0
x = 1 तब y = 2 × 1 = 2

अत: समीकरण (1) और (2) बिन्दुओं (0, 0) और (1, 2) पर मिलते हैं।

अतः सही विकल्प (B) है।