RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.6

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

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RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.6

1 से 22 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.
x sin x
हल:
माना कि I = ∫x sin x dx
∵∫uv dx = u∫v dx - ∫(\(\frac{d u}{d x}\)∫v dx) dx
अतः = x एवं y = sin x रखने पर
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x∫sin x dx - ∫[(\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) x) ∫sin x dx] dx
(ILATE के अनुसार)
= x (- cos x) - ∫1(- cos x) dx
= - x cos x + sin x + C

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प्रश्न 2.
x sin 3x
हल:
माना कि I = ∫x sin 3x dx
∵∫uv dx = u∫v dx - ∫(\(\frac{d u}{d x}\)∫v dx) dx
अतः u = x एवं y = 3x रखने पर
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प्रश्न 3.
x2 ex
हल:
माना कि
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(ILATE के अनुसार)
∵∫uv dx = u∫v dx - ∫(\(\frac{d u}{d x}\)∫v dx) dx
अतः u = x2 एवं y = ex रखने पर
∴ I = x2 ∫ex dx - ∫(\(\frac{d}{d x}\) x2 ∫ex dx) dx
= x2 ex - ∫2x ex dx = x2ex - 2 ∫x ex dx
पुनः खण्डशः समाकलन करने पर
I = x2 ex - 2 [x. ∫ex dx - ∫(1.∫ex dx) dx]
= x2 ex - 2[x ex dx]
= x2ex - 2xex + 2ex + C
= ex (x2 - 2x + 2) + C

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प्रश्न 4.
x log x
हल:
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प्रश्न 5.
x log 2x
हल:
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प्रश्न 6.
x2 log x
हल:
माना कि
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प्रश्न 7.
x sin-1 x
हल:
माना कि
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(ILATE के अनुसार)
sin-1 x को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
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प्रश्न 8.
x tan-1 x
हल:
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प्रश्न 9.
x cos-1 x
हल:
माना कि
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प्रश्न 10.
(sin-1 x)2
हल:
माना कि I = ∫(sin-1 x)2 dx
यहाँ sin-1 x = θ रखने पर ∴ x = sin θ, dx = cos θ dθ
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θ2 को प्रथम फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
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पुनः खण्डशः समाकलन करने पर
I = θ2 sin θ - 2[θ(- cos θ) - ∫1.(- cos θ) dθ]
= θ2 sin θ + 2θ cos θ - 2∫cos θ dθ
= θ2 sin θ + 2θ cos θ - 2 sin θ + C
= θ2 sin θ + 2θ \(\sqrt{1-\sin ^2 \theta}\) - 2 sin θ + C
sine = x या θ = sin-1 x रखने पर
I = x (sin-1 x)2 + 2\(\sqrt{1-x^2}\) (sin-1 x) - 2x + C
= (sin-1 x)2 x + 2\(\sqrt{1-x^2}\) sin-1 x - 2x + C

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प्रश्न 11.
\(\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
हल:
माना कि
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प्रश्न 12.
x sec2 x
हल:
माना कि
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(ILATE के अनुसार)
x को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
I = x tan x - ∫1.tan x dx = x tan x + log | cos x| + C

प्रश्न 13.
tan-1 x
हल:
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प्रश्न 14.
x (log x)2
हल:
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(log x)2 को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
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पुनः log x को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
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प्रश्न 15.
(x2 + 1) log x
हल:
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प्रश्न 16.
ex (sin x + cos x)
हल:
माना कि
I = ∫ex (sin x + cos x) dx
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= sin x ex - ∫cos x . ex dx + ∫ex cos x dx
I = sin x . ex + C

अन्य विधिमाना
माना I = ∫ex (sin x + cos x) dx
यदि f(x) = sin x
f'(x) = cos x
तब I = ∫ex {f(x) + f'(x)}dx
= ex f(x) + C
= ex sin x + C

प्रश्न 17.
\(\frac{x e^x}{(1+x)^2}\)
हल:
माना कि
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प्रश्न 18.
\(e^x\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right)\)
हल:
माना कि
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प्रश्न 19.
\(e^x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\)
हल:
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प्रश्न 20.
\(\frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3}\)
हल:
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प्रश्न 21.
e2x sin x
हल:
माना कि
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(ILATE के अनुसार)
ex को पहला फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर
I = e2x (- cos x) - ∫2e2x (- cos x) dx
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पुनः खण्डशः समाकलन करने पर
I = - e2x cos x + 2 [e2x sin x - ∫2e2x sin x dx]
= - e2x cos x + 2e2x sin x - 4 ∫e2x sin x dx
I = - e2x cos x + 2e2x sin x - 4I
5I = e2x . 2 sin x - e2x cos x
∴ I = \(\frac{1}{5}\)e2x (2 sin x - cos x) + C

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प्रश्न 22.
sin-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
हल:
माना कि
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प्रश्न 23 व 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए

प्रश्न 23.
∫x2 ex3 dx बराबर है
(A) \(\frac{1}{3}\) ex3 + c
(B) \(\frac{1}{3}\) ex2 + c
(C) \(\frac{1}{2}\) ex3 + c
(D) \(\frac{1}{2}\) ex2 + c
उत्तर:
(A) \(\frac{1}{3}\) ex3 + c

हल:
∫x2 ex3 dx
माना (Put) x3 = 1, 3x2 dx = dt
∴ x2 dx = \(\frac{1}{3}\)dt
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अतः सही विकल्प (A) है।

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प्रश्न 24.
∫ex sec x (1 + tan x) dx बराबर है
(A) ex cos x + C
(B) ex sec x + C
(C) ex sin x + C
(D) ex tan x + C
उत्तर:
(B) ex sec x + C

हल:
माना I = ∫ex sec x(1 + tan x)dx
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.6 29
= sec x.ex - ∫sec x tan x.ex dx + ∫ex sec x tan dx
= ex sec x + C
अतः सही विकल्प (B) है।

Bhagya
Last Updated on Nov. 8, 2023, 10:09 a.m.
Published Nov. 7, 2023