RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.4

प्रश्न 1.
अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए:
(i) \(\sqrt{25.3}\)
हल:

(ii) \(\sqrt{49.5}\)
हल:

∴ y + dy = 7 + 0.0357 = 7.0357

(iii) \(\sqrt{0.6}\)
हल:

(iv) (0.009)^{\(\frac{1}{3}\)}
हल:

(v) (0.999)^{\(\frac{1}{10}\)}
हल:
(0.999)^{\(\frac{1}{10}\)}
माना कि y = \(x^{\frac{1}{10}}\), x = 1, y = 1, ∆x = - 0.001

(vi) (15)^{\(\frac{1}{4}\)}
हल:

(vii) (26)^{\(\frac{1}{3}\)}
हल:
(26)^{\(\frac{1}{3}\)}

∴(26)^{\(\frac{1}{3}\)} = y + dy = 3 - 0.37037 = 2.962963
= 2.9629

(viii) (255)^{\(\frac{1}{4}\)}
हल:
हम जानते हैं कि (255)^{\(\frac{1}{4}\)} = 4
माना कि y = x^{\(\frac{1}{4}\)}, x = 256, y = 4, ∆x = - 1

∴ (255)^{\(\frac{1}{4}\)} = y + dy = 4 - 0.0039063
= 3.9960937
= 3.9961

(ix) (82)^{\(\frac{1}{4}\)}
हल:
हम जानते हैं कि (82)^{\(\frac{1}{4}\)} = 3
माना कि y = x^{\(\frac{1}{4}\)}, x = 81, y = 3, ∆x = 1

= 0.0092593
∴ (82)^{\(\frac{1}{4}\)} = y + dy = 3 + 0.0092593
= 3.0092593
= 3.009

(x) (401)^{\(\frac{1}{4}\)}
हल:

(xi) (0.0037)^{\(\frac{1}{2}\)}
हल:

∴ y + dy = 0.06 + 0.000833 = 0.060833
= 0.06083

(xii) (26.57)^{\(\frac{1}{3}\)}
हल:

= - 0.0159259
∴ (26.57)^{\(\frac{1}{3}\)} = y + dy = 3 - 0.0159259
= 2.9840741
= 2.984

(xiii) (81.5)^{\(\frac{1}{4}\)}
हल:

= 0.0046295
∴ (81.5)^{\(\frac{1}{4}\)} = y + dy = 3 + 0.0046295
= 3.0046295
= 3.0046

(xiv) (3.968)^{\(\frac{3}{2}\)}
हल:

(xv) (32.15)^{\(\frac{1}{5}\)}
हल:

(32.15)^{\(\frac{1}{5}\)} = y + dy = 2 + 0.001875
= 2.001875
= 2.00187

प्रश्न 2.
f(2.01) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = 4x² + 5x + 2 है।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = 4x² + 5x + 2
∴ f(2)= 4 × 4 + 5 × 2 + 2 = 16 + 10 + 2 = 28,
∆x = 0.01
f'(x) = 8x + 5
df(x) = f'(x) × ∆x = (8x + 5) × ∆x, x = 2,
= (8 × 2 + 5) × (0.01) = 21 × 0.01 = 0.21
f(2.01) = f(2) + df(x) = 28 + 0.21
= 28.21

प्रश्न 3.
f(5.001) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = x³ - 7x² + 15 है।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = x³ - 7x² + 15
f(5)= 5³ - 7.5² + 15 = 125 - 175 + 15
= 140 - 175 = - 35
∆x = 0.001
f(x)= 3x² - 14x
df(x)= f(x) ∆x
= (3x² - 14x) × ∆r
= (75 - 70) × 0.001 (x = 5 रखने पर)
= 5 × 0.001 = 0.005
∴ f(5.001)= (5) + df(x)
= - 35 + 0.005
= - 34.995

प्रश्न 4.
x m भुजा वाले घन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि
v = x³
भुजा में वृद्धि = x का 1% = 0.01 x
∴\(\frac{d v}{d x}\) = 3x²
आयतन में सन्निकट वृद्धि dv = \(\frac{d v}{d x}\) × ∆r
= 3x² ∆r
= 3x² × 0.01x
= 03x³ m³

प्रश्न 5.
x m भुजा वाले घन की भुजा में 1% ह्रास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल:
घन की कोर = x
पृष्ठीय क्षेत्रफल 6x² = s (मान किया)
∴ \(\frac{d s}{d x}\) = 12x
कोर का ह्रास = x का 1% = 0.01x
∆r = 0.01x
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन = \(\frac{d s}{d x}\) × ∆x
= 12 × ∆x
= 12x × (0.01)x
= 0.12x² m²

प्रश्न 6.
एक गोले की त्रिज्या 7 m मापी जाती है जिसमें 0.02 m त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
गोले की त्रिज्या = 7 m
∆r = त्रिज्या में अशुद्धि = 0.02 m
∵ गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³
∴\(\frac{d v}{d r}\) = \(\frac{4}{3}\) × π . 3r² = 4πr²
गोले के आयतन की गणना करने में अशुद्धि = \(\frac{d v}{d r}\) × ∆r
= 4πr² × ∆r = 4 × π × 49 × 0.02
= 3.92 π m³

प्रश्न 7.
एक गोले की त्रिज्या 9 m मापी जाती है जिसमें 0.03 m की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
r = गोले की त्रिज्या = 9 m
∆r त्रिज्या में अशुद्धि = 0.03
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
∴ \(\frac{d s}{d r}\) = 8πr
पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करने में अशुद्धि = \(\frac{d s}{d r}\) × ∆r
= 8πr × ∆r = 8 × π × 9 × 0.03
= 2.16 π m²

प्रश्न 8.
यदि f(x) = 3x² + 15x + 5 हो, तो f(3.02) का सन्निकट मान है:
(A) 47.66
(B) 57.66
(C) 67.66
(D) 77.66
उत्तर:
(D) 77.66

हल:
f(x) = 3x² + 15x + 5
हम जानते हैं ∆y = f(x + ∆x) - f(x)
⇒ f(x + ∆x) = f(x) + ∆y
= f(x) + f'(x) ∆x
माना x = 3 और ∆r = 0.02
f(x) = 6x + 15
∴ f(3 + 0.02) = 3(3)² + 15(3) + 5 + [6 × 3 + 15] × 0.02
= 27 + 45 + 5 + 33 × 0.02
= 77 + 0.66
= 77.66
अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 9.
भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा x के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है:
(A) 0.06 x³ m³
(B) 0.6 x³ m³
(C) 0.09 x³ m³
(D) 0.9 x³ m³
उत्तर:
(C) 0.09 x³ m³

हल:
घन का आयतन = (भुजा)³ = x³

= 0.09x³ m³.
अतः सही विकल्प (C) है।