RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.2

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए R पर f(x) = 3x + 17 से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल:
f(x) = 3x + 17
f(x) = 3 = + ve
अर्थात् f, R पर वर्धमान है।

 

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए R पर f(x) = e^2x से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल:
f(x) = e^2x, f'(x) = 2e^2x
x ∈ R सभी मान के लिए f"(x) = + ve
अर्थात् f, R पर वर्धमान है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए f(x) = sin x से प्रदत्त फलन
(a) \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में वर्धमान है।
(b) \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में ह्रासमान है।
(c) (0, π) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल:
प्रश्नानुसार (x)= sin x, f'(x) = cos x
(a) अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\), f = + ve ____
x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\), f'(x) धनात्मक है।
अतः f वर्धमान है।

(b) अन्तराल \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) f'(x) = cos x = - ve
⇒ x ∈ \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\). f'(x) ऋणात्मक है।
अतः f ह्रासमान होगा।

(c) अन्तराल (0, π) में f'(x) निरन्तर + ve या - ve नहीं है क्योंकि \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में + ve और \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में - ve है।
अर्थात् f, (0, π) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

प्रश्न 4.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x² - 3x से प्रदत्त फलन f
(a) वर्धमान
(b) ह्रासमान।
हल:
f(x) = 2x² - 3x
∴ f(x) = 4x - 3
f(x) = 0
⇒ 4x - 3 = 0 ∴ x = \(\frac{3}{4}\)
⇒ बिन्दु x = \(\frac{3}{4}\) वास्तविक संख्या रेखा को दो भागों में विभाजित करता है। यह भाग (अन्तराल) है \(\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)\) और \(\left(\frac{3}{4}, \infty\right)\)

(a) अन्तराल \(\left(\frac{3}{4}, \infty\right)\) में f'(x) = + ve
∴ विर्धमान फलन है।

(b) अन्तराल \(\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)\) में f'(x) = - ve
∴ f ह्रासमान फलन है।

प्रश्न 5.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x³ - 3x² - 36x + 7 से प्रदत्त फलन f
(a) वर्धमान
(b) ह्रासमान।
हल:
f(x)= 2x³ - 3x² - 36x + 7
f(x) = 6x² - 6x - 36 = 6(x² - x - 6)
= 6(x - 3) (x + 2)
x = - 2, x = 3 वास्तविक संख्या रेखा को तीन अन्तरालों में विभाजित करता है।
यह अन्तराल है (- ∞ , - 2), (- 2, 3), (3, ∞ )
जब x ∈ (- ∞, - 2) f'(x) = + ve
जब x ∈ (- 2, 3) f'(x) = - ve 90
जब x ∈ (3, ∞) f'(x) = + ve
अर्थात् (a) अन्तराल (- ∞, - 2) ∪ (3, ∞) में विर्धमान फलन है।

(b) अन्तराल (- 2, 3) में f'(x) = - ve
अर्थात् f ह्रासमान फलन है।

प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन विर्धमान या ह्रासमान हैं:
(a) f(x) = x² + 2x + 5
(b) f(x) = 10 - 6x - 2x²
(c) f(x) = - 2x³ - 9x² - 12x + 1
(d) f(x) = 6 - 9x - x²
(e) fx) = (x + 1)³ (x - 3)³
हल:
(a) प्रश्नानुसार f(x) = x² + 2x - 5
f(x) = 2x + 2 = 2(x + 1)
x = - 1, संख्या रेखा को दो अन्तराल में विभाजित करता है। अन्तराल है (- ∞, - 1), (- 1, ∞) अर्थात् f'(x) > 0 = x + 1 > 0 ⇒ x > - 1 = x ∈ (- 1, ∞)
(- ∞, - 1) में f'(x) = - ve
अर्थात् f ह्रासमान है।
(- 1, ∞) में f'(x) = + ve
अर्थात् f निरन्तर वर्धमान है।

(b) प्रश्नानुसार f(x) = 10 – 6x - 2x2 .
f(x) = - 6 - 4x = - 2(2x + 3)

अर्थात् f इस अन्तराल में ह्रासमान है।

(c) प्रश्नानुसार f(x) = - 2x³ - 9x² - 12x + 1
f(x) = - 6x² - 18x - 12
⇒ f(x) = - 6(x² + 3x + 2)
⇒ f(x)= - 6(x + 1) (x + 2)
फलन वर्धमान होगा यदि f'(x) > 0
⇒ - 6 (x + 1) (x + 2) > 0
⇒ (x + 1) (x + 2) < 0

⇒ x ∈ (- 2, - 1)
फलन ह्रासमान होगा यदि
f'(x) < 0
⇒ - 6 (x + 1) (x + 2) < 0 ⇒ (x + 1) (x + 2) > 0
⇒ x ∈ (- ∞, -2) ∪ (- 1, ∞)

(d) f(x) = 6 - 9x - x²
f(x) = - 9 - 2x = - (2x + 9)
यहाँ दो अन्तराल बनते हैं ये हैं \(\left(-\infty,-\frac{9}{2}\right), \left(-\frac{9}{2}, \infty\right)\)
अन्तराल \(\left(-\infty,-\frac{9}{2}\right)\), f'(x) = (-) (-) = + ve
अर्थात् f वर्धमान है।
अन्तराल \(\left(-\frac{9}{2}, \infty\right)\) में f'(x) = (-) (+) = - ve
अर्थात् f ह्रासमान है।

(e) f(x) = (x + 1)³ (x - 3)³
f(x) = 3(x + 1)² (x - 3)³ + (x + 1)³. 3(x -3)²
= 3(x + 1)² (x - 3)² (x - 3 + x + 1)
= 3(x + 1)² (x - 3)² (2x - 2)
= 6(x + 1)² (x - 3)² (x - 1)
अन्तराल (- ∞, - 1), (- 1, 1), (1, 3), (3, ∞) पर विचार करने पर

(i) अब अन्तराल (- ∞, - 1) और (- 1, 1) में
f(x) = - ve

अतः ह्रासमान है।

(ii) (1, 3), (3, ∞) अन्तरालों में
f(x) = + ve
अतः f इन अन्तरालों में वर्धमान है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि y = log (1 +x) - \(\frac{2 x}{2+x}\), x > - 1 अपने सम्पूर्ण प्रान्त में एक वर्धमान फलन है।
हल:
प्रश्नानुसार

जब x > - 1, ⇒ x + 1 > 0
∴ f'(x) = \(\frac{(+)}{(+)(+1)}\) = + ve
अर्थात् x > - 1 के लिए विर्धमान फलन है।

प्रश्न 8.
x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y = [x(x - 2)]² एक वर्धमान फलन है।
हल:
प्रश्नानुसार y = [x(x - 2)]² = x² (x² - 4x + 4)
= x⁴ - 4x³ + 4x²
\(\frac{d y}{d \theta}\) = 4x³ - 12x² + 8x = 4x(x² - 3x + 2)
= 4x(x - 1) (x - 2)
x = 0, x = 1, x = 2 से वास्तविक संख्या रेखा के 3 अन्तराल बनते हैं। ये अन्तराल हैं (- ∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞) अन्तराल (- ∞, 0) में f(x) = (-) (-) (-) = - ve
∴ f ह्रासमान है।
अन्तराल (0, 1) में f(x) = (+) (-) (-) = + ve
∴ f वर्धमान है।
अन्तराल (1, 2) में f'(x) = (+) (+) (-) = - ve
∴ f ह्रासमान है।

अन्तराल (2, ∞) में f'(x) = (+) (+) (+) = + ve
∴ f वर्धमान है।
इस प्रकार (0, 1) ∪ (2, ∞) में वर्धमान है।
और (- ∞, 0) ∪ (1, 2) में f ह्रिासमान है।
अतः 0 < x < 1 और x > 2 वे मान हैं जिनके लिए दिया गया फलन वर्धमान है।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) में y = \(\frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)}\) - θ, θ का एक वर्धमान फलन है।
हल:

θ ∈ R, 4 - cos² θ और (2 + cos θ)² के मान + ve हैं।
∴ f(x) = + ve
अर्थात् अन्तराल \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) में वर्धमान फलन है।

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0, ∞) में वर्धमान फलन है।
हल:
माना कि f(x) = log x, x > 0
∴ f'(x) = \(\frac{1}{x}\) = + ve, x > 0 के लिए
⇒ x ∈ (0, ∞) के लिए f'(x) > 0
अतः लघुगणकीय फलन (0, ∞) में वर्धमान है।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (- 1, 1) में f(x) = x² - x + 1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = x² - x + 1
∴ f'(x) = 2x - 1 = 2\(\left(x-\frac{1}{2}\right)\)
x = \(\frac{1}{2}\), अन्तराल (- 1, 1) को दो भागों में विभाजित करता है।

इस प्रकार (- 1, 1) में f'(x) का चिह्न एक नहीं रहता है। अतः
इस अन्तराल में दिया गया फलन न वर्धमान है और न ह्रासमान है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित में कौनसे फलन \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में ह्रासमान हैं?
(A) cos x
(C) cos 3x
(B) cos 2x
(D) tan x
हल:
(A) ∵ f(x) = cos x, ∴ f'(x) = - sin x
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\), sin x = + ve
या f'(x)= - ve
अतः f ह्रासमान फलन है।

(B) ∵ f(x) = cos 2x
∴ f(x) = - 2 sin 2x
अन्तरल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में sin 2x = + ve [∵ 0 < 2x < π]
∴ f'(x) = - ve
अतः f ह्रासमान फलन है।

(C) f(x) = cos 3x [∵ 0 < 3x < \(\frac{3 \pi}{2}\)]
f'(x) = - 3 sin x
अन्तरल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में sin 2x = + ve [∵ 0 < 2x < π]
जब π < 3x < \(\frac{3 \pi}{2}\) f'(x) = + ve
∴ f न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

(D) f(x) = tan x
f'(x) = sec² x
\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में f'(x) = + ve
= f वर्धमान फलन है।
अतः A तथा B फलन \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में वर्धमान हैं।

प्रश्न 13.
निम्नलिखित अन्तरालों में से किस अन्तराल में f(x) = x¹⁰⁰ + sin x - 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है?
(A) (0, 1)
(B) \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\)
(C) \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
प्रश्नानुसार
f(x) = x¹⁰⁰ + sin x - 1
f'(x) = 100x⁹⁹ + cos x
(A) अन्तराल (0,1 ) या 0 < x < 1, 0 < 100x⁹⁹ < 100
और cos x = +v e
f'(x) = +ve
∴ f वर्धमान फलन है।

(B) अन्तराल \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) या \(\frac{\pi}{2}\) < x < π.
∴ f'(x)=100 x⁹⁹ + cos x = + ve
f वर्धमान फलन है।

(C) अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) या 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
यहाँ पर 100 x⁹⁹ और cos x दोनों + ve हैं।
∴ f'(x) = + ve
∴ वर्धमान फलन है।
अतः सही उत्तर = D

प्रश्न 14.
a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अन्तराल (1, 2) में f(x) = x² + ax + 1 से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है।
हल:
प्रश्नानुसार
f(x) = x² + ax + 1
∴ f"(x) = 2x + a
x ∈ (1, 2) ⇒ 1 < x < 2 ⇒ 2 < 2x < 4
या 2 + a < 2x + a < 4 + a
या 2 + a < f'(x) < 4 + a ∴ (1, 2) में Ar) वर्धमान है ∴ 2 + a > 0
∴ a ≥ - 2
अतः a का न्यूनतम मान = - 2

प्रश्न 15.
मान लीजिए (- 1, 1) से असंयुक्त एक अन्तराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में f(x) = x + \(\frac{1}{x}\) = से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है।
हल:
f(x) = x + \(\frac{1}{x}\)
f'(x) = 1 - \(\frac{1}{x^2}\) = \(\frac{x^2-1}{x^2}\)
I ऐसा अन्तराल है जो (- 1, 1) से असंयुक्त है
अर्थात् x < - 1 या x > 1
f(x) > 0 यदि \(\frac{x^2-1}{x^2}\) > 0 या x² > 1
या x < - 1 और x > 1
∴ इस अन्तराल में f'(x) = + ve है
अतः f एक वर्धमान फलन है, जब x < - 1, x > 1, f वर्धमान फलन है।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log sin x, \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में वर्धमान और \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में ह्रासमान है।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = log sin x
∴ f(x) = \(\frac{1}{\sin x}\) . cos x = cot x
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) cot x = + ve
अर्थात् f एक वर्धमान फलन है।
अन्तराल \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) ⇒ cot x = - ve
∴ f'(x) = - ve
अर्थात् f ह्रासमान फलन है।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log |cos x|, \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में वर्धमान और \(\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)\) में ह्रासमान है।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = log cos x
∴ f'(x) = \(\frac{1}{\cos x}\). (- sin x) = - tan x

(i) अन्तराल \(\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)\) में tan x = + ve
∴ f'(x) = - ve
अर्थात् f इस अन्तराल में ह्रासमान फलन है।

(ii) अन्तराल \(\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)\) में tan x = - ve
∴ f'(x) = - tan x = + ve
अर्थात् f इस अन्तराल में वर्धमान फलन है।

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x) = x³ - 3x² + 3x - 100 वर्धमान है।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = x³ - 3x² + 3x - 100
∴ f'(x) = 3x² - 6x + 3
= 3(x² - 2x + 1) = 3(x - 1)²
x ∈ R, f'(x) = + ve
अतः f वर्धमान फलन है।

प्रश्न 19.
निम्नलिखित में से किस अन्तराल में y = x² e^-x वर्धमान है?
(A) (- ∞, ∞)
(B) (- 2, 0)
(C) (2, ∞)
(D) (0, 2)
उत्तर:
(D) (0, 2)

हल:
y = x²e^-x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = x²e^{- x}(- 1) + e^-x. 2x
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = e^-x(2x - x²)
फलन वर्धमान होने के लिए \(\frac{d y}{d x}\) > 0
⇒ e^-x(2x - x²) > 0
⇒ e^-x(2 - x) > 0
⇒ x > 0 या 2 - x > 0 [∵ (e^-x > 0 सदैव ]
⇒ x > 0 या x < 2
⇒ 0 < x < 2 या x ∈ (0, 2)
अतः सही विकल्प (D) (0, 2) है।