RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.1

प्रश्न 1.
वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष . ज्ञात कीजिए जबकि
(a) r = 3 cm. है।
(b) r = 4 cm. है।
हल:
माना कि त्रिज्या r वाले वृत्त का क्षेत्रफल = A
∴ A = πr²
\(\frac{d \mathrm{~A}}{d r}\) = 2πr

(a) जब r = 3 cm. तब \(\frac{d \mathrm{~A}}{d r}\) = 27 × 3
= 6π cm.²/cm.

(b) जब r = 4 cm. तब \(\frac{d \mathrm{~A}}{d r}\) = 2π × 4
= 87 cm.²/cm.

प्रश्न 2.
एक घन का आयतन 8 cm./s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm. है।
हल:
माना कि एक घन का आयतन v और s पृष्ठ क्षेत्रफल है जिसकी भुजा a है।

प्रश्न 3.
एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से 3 cm./s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm. है।
हल:
माना कि वृत्त का क्षेत्रफल A तथा त्रिज्या r है। प्रश्नानुसार = 3 cm./s

प्रश्न 4.
एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm./s की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm. लम्बा है।
हल:
माना कि घन का आयतन v तथा भुजा a है।

प्रश्न 5.
एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 cm./s की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm. है तो उस क्षण घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
हल:
माना कि तरंगों से बने वृत्त का क्षेत्रफल = A
त्रिज्या = 8 cm.
प्रश्नानुसार \(\frac{d r}{d t}\) = 5 cm./s,
A = πr² ∴ \(\frac{d \mathrm{~A}}{d t}\) = 2πr \(\frac{d r}{d t}\)
r तथा \(\frac{d r}{d t}\) वा का मान रखने पर
\(\frac{d \mathrm{~A}}{d t}\) = 2π × 8 × 5 = 80π cm.²/s

प्रश्न 6.
एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm./s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब r = 4.9 cm. है?
हल:
माना कि वृत्त की परिधि c तथा त्रिज्या r है।
प्रश्नानुसार \(\frac{d r}{d t}\) = 0.7 cm./s
∵ c = 2πr ∴ \(\frac{d c}{d t}\) = 2π \(\frac{d r}{d t}\)
\(\frac{d r}{d t}\) का मान रखने पर
\(\frac{d c}{d t}\) = 2π × 0.7 = 1.4π cm./s

प्रश्न 7.
एक आयत की लम्बाई x, 5 cm./min. की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4 cm./min. की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 cm. और y = 6 cm. हैं तब आयत के
(a) परिमाप
(b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि आयत का क्षेत्रफल A, परिमाप p, लम्बाई x cm. तथा चौड़ाई y cm. है।
प्रश्नानुसार \(\frac{d x}{d t}\) = - 5 cm./min.
\(\frac{d y}{d t}\) = 4 cm./min.

(a) ∵ p = 2(x + y)

⇒ परिमाप 2 cm./min. की दर से घट रहा है।

(b) ∵ A = xy

क्षेत्रफल 2 cm.-/min. की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 8.
एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पम्प द्वारा 900 cm.3 गैस प्रति सेकण्ड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 cm. है।
हल:
माना कि गुब्बारे का आयतन v तथा त्रिज्या r है।

प्रश्न 9.
एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm. है।
हल:
माना कि गुब्बारे का आयतन v तथा त्रिज्या r है।

अतः आयतन में त्रिज्या के सापेक्ष परिवर्तन की दर = 400π cm.³/cm.

प्रश्न 10.
एक 5 m लम्बी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश, दीवार से दूर 2 cm./s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 m दूर है?
हल:
सीढ़ी की लम्बाई AB = 5 cm.
माना कि OA = x cm.
OB = y cm.
∠AOB = 90°
समकोण त्रिभुज OAB में
x² + y² = 5² = 25

∴ सीढ़ी की ऊँचाई \(\frac{8}{3}\) cm./sec की दर से घट रही है।

प्रश्न 11.
एक कण वक्र 6y = x³ + 2 के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x-निर्देशांक की तुलना में y-निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है।
हल:
एक कण वक्र 6y = x³ + 2 के अनुगत गति करता है।

प्रश्न 12.
हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या \(\frac{1}{2}\) cm./s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm. है?
हल:
माना कि हवा के बुलबुले का आयतन v तथा त्रिज्या r cm. है।

प्रश्न 13.
एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील \(\frac{3}{2}\) (2x + 1) है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि गुब्बारे का आयतन v है।

प्रश्न 14.
एक पाइप से रेत 12 cm.^3/s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने शंक की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm. है?
हल:
माना कि बालू के शंकु का आयतन v, ऊँचाई h तथा त्रिज्या r है|

अर्थात् रेत के शंकु की ऊँचाई \(\frac{1}{48 \pi}\) = cm./s की दर से वृद्धि हो रही है।

प्रश्न 15.
एक वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन से सम्बन्ध कुल लागत C(x) (रुपये में) C(x) = 0.007x³ - 0.003x² + 15x + 4000 से प्रदत्त है। सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।
हल:
x वस्तुओं के उत्पादन का मूल्य C(x) है।
जबकि C(x) = 0.007x³ - 0.003x² + 15x + 4000
सीमान्त मूल्य (Marginal Value) = C'(x) = MC
MC = \(\frac{d}{d x} C(x)\)
=\( \frac{d}{d x}\) (0.007x³ - 0.003x² + 15x + 4000)
= 0.021x² - 0.006x + 15
अब x = 17 वस्तु
∴ MC = 0.021 × 17² - 0.006 × 17 + 15
= 6.069 - 0.102 + 15 = 20.967
∴ सीमान्त मूल्य = 20.967 रु.

प्रश्न 16.
किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में R(x) = 13x² + 26x + 15 से प्रदत्त है। सीमान्त आय ज्ञात कीजिए जब x = 7 है।
हल:
राजस्व का समीकरण
R(x) = 13x² + 26x + 15
सीमान्त आय = MR = \(\frac{d}{d x}\) R(x)
= \(\frac{d}{d x}\) (13x² + 26x + 15) = 26x + 26
= 26(x + 1)
∴ MR = 26(x + 1)
दिया है, x = 7,
MR = 26 × 8 = 208 रु.

प्रश्न 17 तथा 18 में सही उत्तर का चयन कीजिए:

प्रश्न 17.
एक वृत्त की त्रिज्या r = 6 cm. पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है:
(A) 10π
(B) 12π
(C) 8π
(D) 11π
उत्तर:
(B) 12π

हल:
वृत्त का क्षेत्रफल A = πr²
⇒ \(\frac{d A}{d r}\) = 2πr
जब r = 6 तब \(\frac{d A}{d r}\) = 2π × 6 = 12π
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 18.
एक उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में R(x) = 3x² + 36x + 5 से प्रदत्त है। जब x = 15 है तो सीमान्त आय है:
(A) 116
(B) 96
(C) 90
(D) 126
उत्तर:
(D) 126

हल:
दिया गया है
R(x) = 3x² + 36x + 5
∴ \(\frac{d R}{d x}\) = 6x + 36
जब x = 15, तब \(\frac{d R}{d x}\) = 6 × 15 + 36 = 90 + 36 = 126 रुपये
अतः सही विकल्प (D) है।