RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए :

प्रश्न 1.
x² + 3x + 2
हल:
माना कि y = x² + 3x + 2
\(\frac{dy}{dx}\) = 2x + 3
और \(\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d}{d x}\)(2x + 3) = 2

प्रश्न 2.
x²⁰
हल:
माना कि
y = x²⁰
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 20x^20-1 = 20x¹⁹
∴ \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 20\(\frac{d}{d x}\)(x¹⁹) = 20 × 19x¹⁸
= 380x¹⁸

प्रश्न 3.
x. cos x
हल:
माना कि
y = x. cos x
\(\frac{d y}{d x}\) = 1 . (cos x) - x . sin x

पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = - sin x - (1 . sin x + x cos x)
= - 2 sin x - x cos x

 

प्रश्न 4.
log x
हल:
माना कि y = log x
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x}\) = x^-1
पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d}{d x}\)(x^-1) = -1. x^-2 = -\(\frac{1}{x^2}\)

प्रश्न 5.
x³log x
हल:
माना कि y = x³ log x
अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² log x + x³ \(\frac{1}{x}\) = 3x² log x + x²

पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 3 . 2x log x + 3x² \(\frac{1}{x}\) + 2x
= 6x log x + 2x + 3x
= 6x log x + 5x = x (5 + 6 log x)

प्रश्न 6.
e^x sin 5x
हल:
माना कि y = e^x sin 5x
अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = e (sin 5x) + e^x . cos 5x . 5
= e (sin 5x + 5 cos 5x)

पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = e^x (sin 5x + 5 cos 5x) + (e^x) \(\frac{d}{dx}\) (sin 5x + 5 cos 5x)
= e^x (sin 5x + 5 cos 5x) + e^x (5 cos 5x - 25 sin 5x)
= e^x (- 24.sin 5x + 10 cos 5x)
= 2e^x (5 cos 5x - 12 sin 5x)

प्रश्न 7.
e^6x cos 3x
हल:
माना कि y = e^6x cos 3x
अवकलन करने पर
\(\frac{dy}{dx}\) = 6e^6x (cos 3x) + (e^6x) (- 3 sin 3x)
= e^6x (6 cos 3x - 3 sin 3x)

पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 6e^6x (6 cos 3x - 3 sin 3x) + e^6x \(\frac{dy}{dx}\) (6 cos 3x - 3 sin 3x)
= 6e^6x (6 cos 3x - 3 sin 3x) + e^6x (-18 sin 3x - 9 cos 3x)
= e^6x (36 - 9) cos 3x + e^6x (- 18 - 18) sin 3x
= e^6x [27 cos 3x - 36 sin 3x]
= 9e^6x (3 cos 3x - 4 sin 3x)

प्रश्न 8.
tan^-1 x
हल:
माना कि y = tan^-1x
अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+x^2}\) = (1 + x²)^-1

पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = (-1) (1 + x²)^-1-1 \(\frac{d}{d x}\)(1 + x²)
= -(1 + x²)^-2 . 2x = \(\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2}\)

प्रश्न 9.
log(log x)
हल
माना कि y = log (log x)
अवकलन करने पर

प्रश्न 10.
sin (log x)
हल:
माना कि
y = sin (log x)
log x = t रखने पर, y= sin t, t = log x

t के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 11.
यदि y = 5 cos x - 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + y = 0.
हल
प्रश्नानुसार y = 5 cos x - 3 sin x
अवकलन करने पर
\(\frac{dy}{dx}\) = - 5 sin x - 3 cos x

पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = - 5 cos x + 3 sin x
= – (5 cos x – 3 sin x)
= -y
या \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + y = 0 ( इतिसिद्धम्)

प्रश्न 12.
यदि y = cos^-1x है तो \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल:
y = cos^-1x ∴ x = cos y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
1 = – sin y \(\frac{dy}{dx}\)
\(\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sin y}\) = - cosec y .... (1)
x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = cosec y cot y . \(\frac{d y}{d x}\)

(1) से \(\frac{d y}{d x}\) का मान रखने पर
= cosec y cot y (- cosec y)
= - cosec y cot y

प्रश्न 13.
यदि y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x) है तो दर्शाइए कि x²y₂ + xy₁ + y = 0.
हल:
y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x)

अवकलन करने पर
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = -3 sin (log x) \(\frac{d}{dx}\) (log x) + 4 cos (log x) \(\frac{d}{dx}\) (log x)
= -3 sin (log x) . \(\frac{1}{x}\) + 4 cos (log x). \(\frac{1}{4}\)

x से गुणा करने पर

प्रश्न 14.
यदि y = Ae^mx + Be^nx है तो दर्शाइए कि \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) - (m + n) \(\frac{dy}{dx}\) + mny = 0
हल:
y = Ae^mx + Be^nx

अवकलन करने पर
\(\frac{dy}{dx}\) = A. me^mx + B

पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = A . m²e^mx + B. n²e^nx

प्रश्नानुसार L.H.S. = \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) - (m + n) \(\frac{dy}{dx}\) + mny
= A m²e^mx + B nm²e^nx - (m + n) × (A me^mx+ B ne^nx) + mn (A e^mx + B e^nx)
= Ae^mx [m² - m (m+n) + mn] + Be^nx [n² - n(m + n) + mn]
=Ae^mx 0 + Be^nx 0 = 0 = R.H.S

प्रश्न 15.
यदि y = 500 e^7x + 600 e^-7x है तो दर्शाइए कि \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 49y
हल:
y = 500 e^7x + 600 e^-7x

अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = 500 × 7e^7x + 600 (- 7) e^-7x
= 3500 e^7x - 4200 e^-7x

पुनः अवकलन करने पर
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 3500 x 7e^7x - 4200 x (- 7) e^-7x
= 500 . 49 . e^7x + 600 . 49e^-7x
= 49 (500 e^7x + 600 e^-7x) = 49y
∴ \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 49y

प्रश्न 16.
यदि e^y(x + 1) = 1 है तो दर्शाइए कि \(\frac{d^2 y}{d x^2}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) है
हल:
e^y(x + 1) = 1 या (x + 1) e^y = 1

अवकलन करने पर

प्रश्न 17.
यदि y = (tan^-1x) है तो दर्शाइए कि (x² + 1)² y₂ + 2x (x^-1 + 1) y₁ = 2 है।
हल:
y = (tan^-1x)²

अवकलन करने पर
\(\frac{dy}{dx}\) = 2 tan^-1x \(\frac{d}{dx}\) (tan^-1x)
= \(\frac{2 \tan ^{-1} x}{1+x^2}\)

(1 + x²) से गुणा करने
= (1 + x²)\(\frac{dy}{dx}\) = 2 tan^-1x

पुनः अवकलन करने पर