RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths in Hindi Medium & English Medium are part of RBSE Solutions for Class 12. Students can also read RBSE Class 12 Maths Important Questions for exam preparation. Students can also go through RBSE Class 12 Maths Notes to understand and remember the concepts easily.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2

प्रश्न 1.
प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए :
sin (x2 + 5)
हल:
माना कि y = sin (x2 + 5)
x2 + 5 = t रखने पर
y = sin t, यहाँ t = x2 + 5
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = cos t \cdot \frac{d t}{d x}\)
= cos (x2 + 5) \(\frac{d}{dx}\)(x2 + 5)
= cos (x2 + 5) × 2x
= 2x cos(x2 + 5)

प्रश्न 2.
cos (sin x)
हल:
माना कि y = cos (sin x)
sin x = t रखने पर
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 1
= -[sin(sin x)] cos x
= -cos x sin(sin x)

प्रश्न 3.
sin(ax + b)
हल:
माना कि y = sin(ax + b)
ax + b = t रखने पर
y = sin t, यहाँ t = ax + b
\(\frac{d y}{d t}\) = cos t, \(\frac{d t}{d x}\) = \(\frac{d}{d x}\) (ax + b)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}\) = (cos t) × a = a cost
= a cos (ax + b)

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 

प्रश्न 4.
sec(tan (√x))
हल:
माना कि y = sec(tan(√x))
√x = t, s = tan √x = tan t (∵√x = t)
अर्थात् y = sec s, s = tan t, t = √x
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 2

प्रश्न 5.
\(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
हल:
प्रश्नानुसार y = \(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
माना कि u = sin (ax + b), v = cos (cx + d)
∴ u' = \(\frac{d u}{d x}\) = cos (ax + b) \(\frac{d}{dx}\)(ax + b)
= a cos(ax + b)

v' = \(\frac{d v}{d x}\) = cos (cx + d)
= -sin(cx + d) \(\frac{d}{dx}\)(cx + d)
= - c sin (cx + d)

∴ y = \(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}=\frac{u}{v}\)
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 3
= a cos (ax + b) sec (cx + d) + c sin
(ax + b) tan (cx + d) sec (cx + d)

प्रश्न 6.
cos x3 sin2 (x5)
हल:
प्रश्नानुसार y = cos x3 sin2 (x5)
माना कि u = cos x3, v = sin2 (x5)
∴ y = uv
अब u = cos x3 में x3 = t रखने पर
u = cos t, t = x3
\(\frac{du}{dt}\) = -sin t, \(\frac{dt}{dx}\) = 3x2
∴ u' = \(\frac{d u}{d x}=\frac{d u}{d t} \times \frac{d t}{d x}\) = (-sin t)(3x2)
= -sin x3(3x2) = -3x2 sin x3 .........(1)
v = sin2 x5

माना t = x5, sin t = s
∴ v = sin2t = s2, s = sin t
∴ v = s2, s = sin t, t = x5
\(\frac{d v}{d s}\) = 2 s, \(\frac{d s}{d t}\) = cos t, \(\frac{d t}{d x}\) = 5x4

v' = \(\frac{d v}{d x}=\frac{d v}{d s} \times \frac{d s}{d t} \times \frac{d t}{d x}\)
= 2s × cos t × 5x4 = 10x4 sint cos t
= 10x4 sin x5 cos x5 ......................(2)
[(1) व (2) से u', v' का मान रखने पर]
\(\frac{dy}{dx}\) = u' × v + u × v'
= (- 3x2 sin x3) * sin2x5 + cos x3 10x4 sin x5 cos x5
= - 3x2 sin x3 sin2x5 + 10x4 cos x3 sin x5 cos x5
= 10x4 sin x5 cos x5 cos x3 - 3x2 sin x5 sin2 x5

प्रश्न 7.
2\(\sqrt{\cot \left(x^2\right)}\)
हल:
प्रश्नानुसार y = 2\(\sqrt{\cot \left(x^2\right)}\)
यहाँ x2 = t, cot t = s रखने पर
y = 2√s , s = cot t, t = x2
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 4

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2

प्रश्न 8.
cos (√x)
हल:
प्रश्नानुसार y = cos √x, यहाँ √x = t रखने पर
y = cos t, t = √x
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 5

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन (x) = |x - 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = |x – 1|, x ∈ R
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 6
= x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। (इतिसिद्धम् )

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन f(x) = [x], 0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
हल:
प्रश्नानुसार f(x) = [x]
(i) x = 1 पर
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 7
x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। उत्तर x = 2 पर

(ii) x = 2 पर
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 8
अर्थात् x = 2 पर अवकलनीय नहीं है।

Prasanna
Last Updated on Nov. 7, 2023, 9:39 a.m.
Published Nov. 6, 2023