RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 4 सारणिक विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{array}\right|\), θ स्वतन्त्र है।
हल:
माना ∆ = \(\left|\begin{array}{ccc} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{array}\right|\)
R₁ पंक्ति से विस्तार करने पर
∆ = x\(\left|\begin{array}{cc} -x & 1 \\ 1 & x \end{array}\right|-\sin \theta\left|\begin{array}{cc} -\sin \theta & 1 \\ \cos \theta & x \end{array}\right|+\cos \theta\left|\begin{array}{cc} -\sin \theta & -x \\ \cos \theta & 1 \end{array}\right|\)
= x (- x² - 1) - sin θ (- x sin θ - cos θ) + cos θ (- sin θ + x cos θ)
= - x (x² + 1) + x sin² θ + sin θ cos θ sin θ cos θ + x cos² θ
= - x (x² + 1) + x (sin² θ + cos² θ)
= - x (x² + 1) + x = - x³
जो कि θ से स्वतन्त्र है।

प्रश्न 2.
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि
\(\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & b c \\ b & b^2 & c a \\ c & c^2 & a b \end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll} 1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3 \end{array}\right|\)
हल:
मान लीजिए
∆ = \(\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & b c \\ b & b^2 & c a \\ c & c^2 & a b \end{array}\right|\)
संक्रिया aR₁, bR₂, cR₃ करने पर तथा abc से भाग करने पर

प्रश्न 3.
\(\left|\begin{array}{ccc} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{array}\right| \)का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हों और सारणिक
∆ = \(\left|\begin{array}{lll} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right|\) = 0
हो तो दर्शाइए कि या तो a + b + c = 0 या a = b = c है।
हल:

C₁ से प्रसरण करने पर
∆ = 2 (a + b + c) [(cb - a²) + (ca - b²) + (ab - c²)]
= - (a + b + c) [2a² + 2b² + 2c² - 2bc - 2ca - 2ab]
= - (a + b + c) [(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]
अत: ∆ = 0 = (a + b + c) = 0 या a = b = c

प्रश्न 5.
यदि a ≠ 0 हो तो समीकरण \(\left|\begin{array}{ccc} x+a & x & x \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a \end{array}\right|\) = 0 को हल कीजिए।
हल:

R₁ पंक्ति से प्रसरण करने पर
∆ = (3x + a) . a\(\left|\begin{array}{cc} 1 & x \\ 1 & x+a \end{array}\right|\)
= a (3x + a) (x + a - x)
= a² (3x + a)
परन्तु ∆ = 0 ∴ 3x + a = 0
या x = - \(\frac{a}{3}\)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि \(\left|\begin{array}{ccc} a^2 & b c & a c+c^2 \\ a^2+a b & b^2 & a c \\ a b & b^2+b c & c^2 \end{array}\right|\) = 4a²b²c²
हल:

= 2a²b²c (a + c - (a + b) + (b + c))
= 2a²b²c (a + c - a - b + b + c)
= 2a²b²c × 2c = 4a²b²c²

प्रश्न 7.
यदि A^-1 = \(\left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right]\) और B = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array}\right]\) हो तो (AB)^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

|B| = b₁₁B₁₁ + b₁₂B₁₂ + b₁₃B₁₃
= 1 × 3 + 2 × 1 - 2 × 2 = 3 + 2 - 4
= 1 ≠ 0

प्रश्न 8.
मान लीजिए A = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{array}\right]\) हो तो सत्यापित कीजिए कि
(i) [adj A]^-1 = adj (A^-1),
(ii) (A^-1)^-1 = A.
हल:

(i)



समीकरण (2) तथा (4) से स्पष्ट है कि
[adjA]^-1 = adj(A^-1)

(ii) (A^-1)^-1 = A
A^-1 = C [भाग (i) में माना है ]
∴ हमको C^-1 लाना है ।

प्रश्न 9.
\(\left|\begin{array}{ccc} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

C₁ से प्रसरण करने से
= 2 (x + y) \(\left|\begin{array}{cc} x & -y \\ x-y & -x \end{array}\right|\)
= 2 (x + y) [- x² + xy - y²]
= - 2 (x + y) [x² - y + y²]
= - 2 (x³ + y³)

प्रश्न 10.
\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ 1 & x+y & y \\ 1 & x & x+y \end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित 11 से 15 तक प्रश्नों को सिद्ध कीजिए:

प्रश्न 11.
\(\left|\begin{array}{lll} \alpha & \alpha^2 & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^2 & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right|\) = (β - γ) (γ - α) (α - β) (α + β + γ)
हल:

= (α + β + γ) (α - β) (β - γ) (β + γ - α - β)
= (α - β) (β - γ) (γ - α) (α + β + γ)

प्रश्न 12.
\(\left[\begin{array}{lll} x & x^2 & 1+p x^3 \\ y & y^2 & 1+p y^3 \\ z & z^2 & 1+p z^3 \end{array}\right]\) = (1 + pxyz) (x - y) (y - z) (z - x)
हल:

C₁ से प्रसरण करने से
∆₁ = (x - y) (y - z) \(\left|\begin{array}{ll} 1 & x+y \\ 1 & y+z \end{array}\right|\)
= (x - y) (y - z) (y + z - x - y)
= (x - y) (y - z) (z - x)
यह मान (1) में रखने पर
∆ = (1 + pxyz) ∆₁
= (1 + pxyz) (x - y) (y - z) (z - x)

प्रश्न 13.
\(\left|\begin{array}{ccc} 3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c \end{array}\right|\) = 3(a + b + c) (ab + bc + ca)
हल:

= (a + b + c) [(2b + a) (2c + a) - (a - c) (a - b)]
= (a + b + c) (4bc + 2ab + 2ac + a² - a² + ab + ac - bc)
= (a + b + c) (3ab + 3bc + 3ca)
= 3 (a + b + c) (ab + ba + ca)

प्रश्न 14.
\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q \end{array}\right|\) = 1
हल:

प्रश्न 15.
\(\left|\begin{array}{lll} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta) \end{array}\right|\) = 0
हल:

प्रश्न 16.
निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए:
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}\) = 4
\(\frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}\) = 1
\(\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}\) = 2
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}\) = 4
\(\frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}\) = 1
\(\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}\) = 2
माना कि \(\frac{1}{x}\) = u, \(\frac{1}{y}\) = v, \(\frac{1}{z}\) = w
∴ दिए हुए समीकरण निकाय को निम्नानुसार लिखा जा सकता है
2u + 3y + 10w = 4
4u - 6v + 5w = 1
6u + 9v - 20w = 2
इसे हम AX = B लिख सकते हैं, जबकि

अतः समीकरण निकाय का हल है x = 2, y = 3, 2 = 5

निम्नलिखित प्रश्नों 17 से 19 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए

प्रश्न 17.
यदि a, b, c समान्तर श्रेढ़ी में हों तो सारणिक \(\left|\begin{array}{lll} x+2 & x+3 & x+2 a \\ x+3 & x+4 & x+2 b \\ x+4 & x+5 & x+2 c \end{array}\right|\) का मान होगा:
(A) 0
(B) 1
(C) x
(D) 2x
उत्तर:
(A) 0

हल:

अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 18.
यदि x, y, z शून्येतर संख्याएँ हों तो आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{lll} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right]\) का व्युत्क्रम है
(A) \(\left[\begin{array}{ccc} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{array}\right]\)
(B) \(x y z\left[\begin{array}{ccc} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{array}\right]\)
(C) \(\frac{1}{x y z}\left[\begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right]\)
(D) \(\frac{1}{x y z}\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\)
उत्तर:
(A) \(\left[\begin{array}{ccc} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{array}\right]\)

हल:

अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 19.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{array}\right]\), जहाँ 0 ≤ 0 ≤ 2π हो तो:
(A) Det (A) = 0
(B) Det A ∈ (2, ∞)
(C) Det (A) ∈ (2, 4)
(D) Det (A) ∈ [2, 4]
उत्तर:
(D) Det (A) ∈ [2, 4]

हल:
|A|= 1(1 + sin²θ) - sin θ(- sin θ + sin θ) + 1(sin²θ + 1) :
|A = 1 + sin²θ + 0 + sin²θ + 1 = 2 + 2 sin²θ
हम जानते हैं कि 0 ≤ sin²θ ≤ 1
⇒ 0 ≤ 2sin²θ ≤ 2
⇒ 0 + 2 ≤ 2 + 2sin²θ ≤ 4
∴ सारणिक A का मान ∈ [2, 4]
अतः सही विकल्प (D) है।