RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.4

निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड लिखिए:

प्रश्न 1.
(i) \(\left|\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{array}\right|\)
हल:
दिया हुआ सारणिक = \(\left|\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{array}\right|\)
a₁₁ का उपसारणिक M₁₁ = 3,
a₁₂ का उपसारणिक M₁₂ = 0
a₂₁ का उपसारणिक M₂₁ = - 4,
a₂₂ का उपसारणिक M₂₂ = 2
a₁₁ का सहखण्ड A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} M₁₁
= (- 1)² × 3 = 3
a₁₂ का सहखण्ड A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} M₁₂ = 0
a₂₁ का सहखण्ड A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} M₂₁ = - (- 4) = 4
a₂₂ का सहखण्ड A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} M₂₂ = 2
इस प्रकार M₁₁ = 3, M₁₂ = 0, M₂₁ = - 4, M₂₂ = 2.
A₁₁ = 3, A₁₂ = 0, A₂₁ = 4, A₂₂ = 2 

(ii) \(\left|\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right|\)
हल:
दिया हुआ सारणिक = \(\left|\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right|\)
उपसारणिक सहखण्ड
M₁₁ = d, A₁₁ = (- 1)¹⁺¹ M₁₁ = d
M₁₂ = b, A₁₂ = (- 1)¹⁺² M₁₂ = - b
M₂₁ = c, A₂₁ = (- 1)²⁺¹ M₂₁ = - c
M₂₂ = a, A₂₂ = (- 1)²⁺² M₂₂ = a
इस प्रकार M₁₁ = d, M₁₂ = b, M₂₁ = c, M₂₂ = a
A₁₁ = d, A₁₂ = - b, A₂₁ = - C, A₂₂ = a

प्रश्न 2.
(i) \(\left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|\)
हल:
दिया हुआ सारणिक = \(\left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|\)
उपसारणिक M_ij तथा सहखण्ड A_ij निम्नलिखित हैं:

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right|\)
हल:
दिया हुआ सारणिक = \(\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right|\)

प्रश्न 3.
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके ∆ = \(\left|\begin{array}{lll} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
सारणिक ∆ = \(\left|\begin{array}{lll} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|\)
दूसरी पंक्ति के सहखण्ड
A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} M₂₁ = -\(\left|\begin{array}{ll} 3 & 8 \\ 2 & 3 \end{array}\right|\) = - (9 - 16) = 7
A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} M₂₂ = \(\left|\begin{array}{ll} 5 & 8 \\ 1 & 3 \end{array}\right|\) = 15 - 8 = 7
A₂₃ = (- 1)^{2 + 3} M₂₃ = -\(\left|\begin{array}{ll} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right|\) = - (10 - 3) = - 7
दूसरी पंक्ति से सारणिक का विस्तार करने से
∆ = a₂₁ A₂₁ + a₂₂ A₂₂ + a₂₃ A₂₃
= 2 × 7 + 0 × 7 + 1 × (- 7)
= 14 - 7
= 7

प्रश्न 4.
तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके ∆ = \(\left|\begin{array}{lll} 1 & x & y z \\ 1 & y & z x \\ 1 & z & x y \end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया सारणिक ∆ = \(\left|\begin{array}{lll} 1 & x & y z \\ 1 & y & z x \\ 1 & z & x y \end{array}\right|\)
C₃ स्तम्भ के सहखण्ड A_ij निम्नानुसार होंगे-
A₁₃ = (- 1)^{1 + 3} M₁₃ = \(\left|\begin{array}{ll} 1 & y \\ 1 & z \end{array}\right|\) = z - y,
A₂₃ = (- 1)^{2 + 3} M₂₃ = - \(\left|\begin{array}{ll} 1 & x \\ 1 & z \end{array}\right|\) = - (z - x),
A₃₃ = (- 1)^{3 + 3} M₃₃ = \(\left|\begin{array}{ll} 1 & x \\ 1 & y \end{array}\right|\) = (y - x)
∴ ∆ = a₁₃ A₁₃ + a₂₃ A₂₃ + a₃₃ A₃₃
= yz (z - y) + zx (- z + x) + xy (y - x)
= yz² - y²z - xz² + x²z + xy² - x²y
= (- y²z + yz²) + (xy² - xz²) + (- x²y + x²z)
= - yz (y - z) + x (y² - z²) - x² (y - z)
= (y - z) [- yz + x (y + z) - x²]
= (y - z) [z (x - y) - x (x - y)]
= (y - z) (x - y) (z - x)
= (x - y) (y - z) (z - x)

प्रश्न 5.
यदि ∆ = \(\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\) और a_ij का सहखण्ड A_ij हो तो ∆ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:
(A) a₁₁A₃₁ + a₁₂A₃₂ + a₁₃A₃₃
(B) a₁₁A₁₁ + a₁₂A₂₁ + a₁₃A₃₁
(C) a₂₁A₁₁ + a₂₂A₁₂ + a₂₃A₁₃
(D) a₁₁A₁₁ + a₂₁A₂₁ + a₃₁A₃₁
उत्तर:
(D) a₁₁A₁₁ + a₂₁A₂₁ + a₃₁A₃₁