RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 3 आव्यूह विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि A = \(\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\) हो तो दिखाइए कि सभी ।
n ∈ N के लिए (aI + bA)ⁿ = aⁿI + na^{n - 1} bA, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।
हल:

प्रश्न 2.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]\), तो सिद्ध कीजिए कि Aⁿ = \(\left[\begin{array}{lll} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{array}\right]\), n ∈ N.
हल:
माना कि 

∴ P(n) सत्य है n = k + 1 के लिए
अतएव गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n),n के सभी
n ∈ N मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 3.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{array}\right]\) तो सिद्ध कीजिए कि Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc} 1+2 n & -4 n \\ n & 1-2 n \end{array}\right]\) जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:
माना कि P(n) : Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc} 1+2 n & -4 n \\ n & 1-2 n \end{array}\right]\), जबकि
A = \(\left[\begin{array}{ll} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{array}\right]\)
n = 1 रखने पर
A = \(\left[\begin{array}{cc} 1+2 & -4 \\ 1 & 1-2 \end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{ll} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{array}\right]\)
⇒ n = 1 के लिए P(n) सत्य है।
मान लीजिए P(n) सत्य है n = k के लिए
∴ A^k = \(\left[\begin{array}{cc} 1+2 k & -4 k \\ k & 1-2 k \end{array}\right]\)
आव्यूह A से दोनों ओर A से गुणा करने पर
बायाँ पक्ष = A^k . A = A^{k + 1}

∴ P(n) सत्य है n = k + 1 के लिए
अतएव गणितीय आगमन सिद्धान्त अनुसार P(n), n ∈ N के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.
यदि A तथा B सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि AB - BA एक विषम सममित आव्यूह है।
हल:
A और B सममित आव्यूह हैं|
∴ A'= A तथा B' = B
(AB - BA) = (AB)' - (BA)'
[∵ (A ± B)' = A' ± B']
= B'A' - A'B' [∵ (AB)' = BA']
= BA - AB [B' = B, A' = A]
= - (AB - BA)
⇒ AB - BA एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह B'AB सममित अथवा विषम सममित है यदि A सममित अथवा विषम सममित है।
हल:
(i) मान लीजिए A सममित आव्यूह है ::
∴ A' = A
अब (BAB)' = (B' (AB))' = (AB)' (B')'
= (B'A') B
= B'AB [∵ (AB)' = B'A' और A' = A]
⇒ B'AB एक सममित आव्यूह है।

(ii) मान लीजिए A विषम सममित आव्यूह है
⇒ A' = - A
अब (B' (AB))' = (AB)' (B')' = (B'A') B
= B' (- A) B = - BAB [∵ A' = - A]
= - (B' AB)
⇒ BAB एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 6.
x, y तथा z के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह
A = \(\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{array}\right]\) समीकरण A'A = I को सन्तुष्ट करता है।
हल:

प्रश्न 7.
x के किस मान के लिए [1 2 1] \(\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ x \end{array}\right]\) है?
हल:

या [4 + 2x + 2x] = 0 = [0]
या 4x + 4 = 0
या x = - 1

प्रश्न 8.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\) हो तो सिद्ध कीजिए कि A² - 5A + 7I = 0 है।
हल:

अतः A² - 5A + 7I = 0

प्रश्न 9.
यदि [x - 5 - 1] \(\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ 4 \\ 1 \end{array}\right]\) = 0 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

या [x (x + 2)- 45 - (2x + 3)] = 0
(x² + 2x) - 45 - (2x + 3) = 0
या [x² - 48] = 0
या x² = 48 ⇒ x = ±√48
∴ x= ± 4√3

प्रश्न 10.
एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ x, y तथा z का उत्पादन करता है जिनका वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है:

(a) यदि x, y तथा z की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs. 2.50, Rs. 1.50 तथा Rs. 1.00 है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
हल:
वार्षिक बिक्री निम्नलिखित है:

इसको \(\left[\begin{array}{ccc} 10,000 & 2,000 & 18,000 \\ 6,000 & 20,000 & 8,000 \end{array}\right]\) यूर लिख सकते हैं।
उत्पाद x, y, z की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः 2.50, 1.50 तथा 1.00 रु. है।
इसे आव्यूह रूप में \(\left[\begin{array}{l} 2.50 \\ 1.50 \\ 1.00 \end{array}\right]\) लिखेंगे।
दोनों बाजारों की आय

अतः I बाजार से आय 46,000 रु. तथा II बाजार से आय 53,000 रु.

(b) यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (cost) क्रमशः Rs. 2.00, Rs. 1.00 तथा पैसे 50 है । तो कुल लाभ (Gross profit) ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रत्येक उत्पाद x, y, z की प्रत्येक इकाई का क्रय मूल्य क्रमशः 2.00, 1.00 तथा 0.50 रु. है।
इसे आव्यूह रूप में \(\left[\begin{array}{l} 2.00 \\ 1.00 \\ 0.50 \end{array}\right]\) लिखेंगे।
प्रत्येक बाजार में क्रय मूल्य इस प्रकार है:

पहले बाजार का लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य
= 46,000 - 31,000 = 15,000 रु.
दूसरे बाजार का लाभ = 53,000 - 36,000 = 17,000 रु.

प्रश्न 11.
आव्यूह x ज्ञात कीजिए, यदि X\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{ccc} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{array}\right]\) है|
हल:
माना कि

संगत अवयवों को समान रखने पर
a + 4b = - 7 ......... (i)
2a + 5b = - 8 ........... (ii)
3a + 6b = - 9 ........ (iii)
2 × (i) में से (ii) को घटाने पर
3b = - 14 + 8 = - 6 ∴ b = - 2
(i) से a = 1
a = 1, b = - 2 समीकरण (iii) को भी सन्तुष्ट करते हैं। दूसरी पंक्ति के संगत अवयवों को समान रखने पर
c + 4d = 2 .......... (iv)
2c + 5d = 4 .............. (v)
3c + 6d = 6 ............... (vi)
2 x (iv) में से (v) को घटाने पर
3d = 0 ∴ d = 0
समीकरण (iv) से c = 2
c = 2, d = 0 तीनों समीकरणों को सन्तुष्ट करते हैं।
∴ x = \(\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{array}\right]\)

प्रश्न 12.
यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB = BA है, तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABⁿ = BⁿA होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए (AB)ⁿ = AⁿBⁿ होगा।
हल:
(i) माना कि P(n) : ABⁿ = BⁿA जबकि AB = BA
लेकिन n = 1, AB = BA (दिया है)
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना कि P(n) सत्य है n = k के लिए
∴ AB^k = B^kA सत्य है।
दोनों पक्षों में B से गुणा करने पर
बायाँ पक्ष = AB^k. B = A(B^kB) = AB^{k + 1}
दायाँ पक्ष = (B^kA)B = B^k (AB)
= B^k (BA)
[∵ AB = BA दिया है]
= (B^kB) A = B^{k + 1} A
∴ AB^{k + 1} = B^{k + 1}A
⇒ P(n) सत्य है n = k + 1 के लिए
अतएव गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ∈ N के सभी मानों के लिए सत्य है।

(ii) माना कि P(n) : (AB)ⁿ = AⁿBⁿ
n = 1 रखने पर, बायाँ पक्ष = (AB)¹ = AB
दायाँ पक्ष = A¹B¹ = AB.
P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना कि P(n) सत्य है n = k के लिए
(AB)^k = A^kB^k.
दोनों पक्षों को AB से गुणा करने पर
बायाँ पक्ष = (AB)^k (AB) = (AB)^{k + 1}
दायाँ पक्ष = A^k B^k (AB)
= A^k B^k (BA)
[∵ AB = BA दिया है]
= A^k (B^k . B)A
= A^k (B^{k + 1} A)
[∵ ABⁿ = BⁿA पहले भाग से]
= (A^kA)B^{k + 1} = A^{k + 1} B^{k + 1}
अतः (AB)^{k + 1} = A^{k + 1} B^{k + 1}
∴ P(n) सत्य है n = k + 1 के लिए
गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ∈ N के सभी मानों के लिए सत्य है।

निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए:

प्रश्न 13.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right]\) इस प्रकार है कि A² = I, तो
(A) 1 + α² + βγ = 0
(B) 1 - α² + βγ = 0
(C) 1 - α² - βγ = 0
(D) 1 + α² - βγ = 0
उत्तर:
(C) 1 - α² - βγ = 0

हल:
A² = I
A.A = I

⇒ α² + βγ = 1 ⇒ 1 - α² - βγ = 0
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 14.
यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तो
(A)A एक विकर्ण आव्यूह है।
(B)A एक शून्य आव्यूह है।
(C) A एक वर्ग आव्यूह है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(B)A एक शून्य आव्यूह है।

हल:
माना कोई आव्यूह A है।
A' = A, ∵ A सममित है।
A' = - A, ∵ A विषम सममित है।
अतः A = - A ⇒ 2A = 0
⇒ A = 0
अत: A एक शून्य आव्यूह है।
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 15.
यदि A एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A² = A, तो
(I + A)³ - 7A बराबर है :
(A) A
(B) I - A
(C) I
(D) 3A
उत्तर:
(C) I

हल:
(I + A)³ - 7A
= I³ + 3I²A + 3IA² + A³ - 7A
= I + 3A + 3A² + A³ - 7A [∵ I³ और I² = 1 ]
= I + 3A + 3A + A³ - 7A [∵ A² = A]
= I + 6A + A².A - 7A
= I + 6A + A.A - 7A [∵ A² = A]
= I + 6A + A² - 7A
= I + 6A + A - 7A [∵ A² = A]
= I + 7A - 7A = I