RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5

प्रश्न 1.
एक पासे को 6 बार उछाला जाता है यदि 'पासे पर सम संख्या प्राप्त होना' एक सफलता है तो निम्नलिखित की प्रायिकताएँ क्या होंगी?
(i) तथ्यतः 5 सफलताएँ?
(ii) न्यूनतम 5 सफलताएँ?
(iii) अधिकतम 5 सफलताएँ?
हल:
माना कि प्रयोग में सफलता की प्रायिकता = p
एक पासे पर समसंख्याएँ 2, 4, 6 हैं।
प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता
सफलता की प्रायिकता (p) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
अर्थात् असफलता की प्रायिकता (q) = 1 - \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
एक पासे की 6 बार उछालने पर r सफलताओं की प्रायिकता
= ⁶C_r q^{6 - r} p^r

(i) तथ्यतः 5 सफलताओं की प्रायिकता p(r = 5)

(ii) न्यूनतम 5 सफलताओं की प्रायिकता
= P(5) + P(6) = P(5 सफलता) + P(6 सफलता)
= ⁶C₅ (q)^{6 - 5} p⁵ + ⁶C₆ (q)⁰ p⁶

(iii) अधिकतम 5 सफलताओं की प्रायिकता
= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
या = 1 - P(6) = 1 - \(\left(\frac{1}{2}\right)^6\) = 1 - \(\frac{1}{64}\) = \(\frac{63}{64}\)

प्रश्न 2.
पासों के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है। यदि 'पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक होना' एक सफलता मानी जाती है, तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि सफलता की प्रायिकता =p
पासे के एक जोड़े को उछालने पर n(S) = 36
1 जोड़े पासे से 6 द्विक बन सकते हैं:
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5,5), (6, 6)}
∴ एक द्विक प्राप्त होने की प्रायिकता
(p) = \(\frac{6}{36}\) = \(\frac{1}{6}\)
द्विक प्राप्त न होने की प्रायिकता
(q) = 1 - \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
पासे के जोड़े को 4 बार फेंका गया अर्थात् n = 4
r सफलताओं की प्रायिकता = ⁴C_r, q^{4 - r} p^r
सफलताओं की प्रायिकता P(2) = ⁴C₂, q² p²
= 6 × \(\left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2\) = \(\frac{25}{216}\)

प्रश्न 3.
वस्तुओं के एक ढेर में 5% त्रुटियुक्त वस्तुएँ हैं । इसकी क्या प्रायिकता है कि 10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ . नहीं होंगी?
हल:
एक त्रुटियुक्त वस्तु को प्राप्त करने की प्रायिकता
(p) = 5% = \(\frac{5}{100}\) = \(\frac{1}{20}\)
एक अच्छी वस्तु जो त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता
(q) = 1 - 20 = \(\frac{19}{20}\)
P(10 वस्तुओं के प्रतिदर्श में 1 से अधिक त्रुटियुक्त वस्तु न हो)
= P(0) + P(1)

प्रश्न 4.
52 ताश के पत्तों की एक भली-भांति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोत्तर प्रतिस्थापना सहित निकाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हो?
(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हों?
(ii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो?
हल:
हम जानते हैं कि एक ताश की गड्डी में कुल 52 पत्ते होते हैं और उसमें 13 पत्ते हुकुम के हैं।
एक हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता
(p) = \(\frac{{ }^{13} C_1}{{ }^{52} C_1}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
हुकुम का पत्ता न निकालने की प्रायिकता
(q) = 1 - \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)

(i) P(पाँचों पत्ते हुकुम के हों)

(ii) P(केवल तीन पत्ते हुकुम के हों)
= P(X = 3) = ⁵C₃ q² p³

(iii) P(कोई भी पत्ता हुकुम का नहीं हो)
= P (X = 0) = ⁵C₀ \(\left(\frac{3}{4}\right)^5\) = \(\frac{243}{1024}\)

प्रश्न 5.
किसी फैक्ट्री में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से
(i) एक भी नहीं
(ii) एक से अधिक नहीं
(iii) एक से अधिक
(iv) कम से कम एक 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएँगे।
हल:
P(एक बल्ब 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएगा) = 0.05
q(एक बल्ब 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज नहीं होगा)
= 1 - 0.05 = 0.95.

(i) P(पाँचों में से कोई भी बल्ब 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज नहीं होगा
P(X = 0) = ⁵C₀ (0.95)⁵ (0.05)⁰
= (0.95)⁵

(ii) P(एक से अधिक बल्ब फ्यूज नहीं होगा)
= P(0) + P(1)
(0.95)⁵ + ⁵C₁ (0.95)⁴ (0.05)
= (0.95)⁴ [0.95 + 5 × 0.05]
= (0.95)⁴ (0.95 + 0.25)
= (0.95)⁴ (1.2)

(iii) P(एक से अधिक बल्ब फ्यूज होगा)
P(X > 1) = 1 - P(X ≤ 1)
= 1 - {P(0) + P(1)}
= 1 - 1.2 (0.95)⁴

(iv) P(कम से कम एक बल्ब फ्यूज होता है)
= P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= 1 - P(0)
= 1 - (0.95)⁵

प्रश्न 6.
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिनमें से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है। यदि थैले से 4 गेंदें उत्तरोत्तर पुनः वापस रखते हुए निकाली जाती हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा हो।
हल:
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिन पर 0 - 9 तक अंक लिखे हैं।
P(0 अंक वाली गेंद प्राप्त होने) = \(\frac{1}{10}\)
q(1 से 9 तक वाली गेंद का निकालना) = 1 - \(\frac{1}{10} \) = \(\frac{9}{10}\)
गेंदें निकाली गईं अर्थात n = 4
P(उनमें से कोई भी 0 अंक वाली नहीं है)

प्रश्न 7.
एक सत्य-असत्य प्रकार के 20 प्रश्नों वाली परीक्षा में मान लें कि एक
विद्यार्थी एक न्याय्य सिक्के को उछाल कर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो तो वह प्रश्न का उत्तर 'सत्य' देता है और यदि पट प्रकट हो तो 'असत्य' लिखता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम से कम 12 प्रश्नों का सही उत्तर
देता है।
हल:
माना कि X : चित आने की संख्या है।
तब n = 20, p = \(\frac{1}{2}\) अर्थात् P(सिक्का उछालने पर चित आता है) = \(\frac{1}{2}\)
तथा q (सिक्का उछालने पर चित नहीं आता है) = 1 - \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
अतः सत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
असत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
अभीष्ट प्रायिकता
P(X ≥ 12) = P(X = 12) + P(X = 13) + ...... + P(X = 20)

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि X का बंटन B(6, \(\frac{1}{2}\)) द्विपद बंटन है। दर्शाइए कि X = 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
[संकेत- P(X = 3) सभी P(X),X,= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से अधिकतम है।]
हल:
यहाँ पर X की द्विपद बंटन है जहाँ

अतः X = 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।

प्रश्न 9.
एक बहु-विकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न हैं जिनमें प्रत्येक के तीन सम्भावित उत्तर हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगाकर चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा?
हल:
तीन सम्भावित उत्तरों में से एक उत्तर सही है।
P(उत्तर सही है) = \(\frac{1}{3}\) = p (मान लिया)
P(उत्तर सही नहीं है) = 1 - \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\) = q
P(4 या 5 प्रश्नों के उत्तर सही हैं)।
= P(4) + P(5)
= ⁵C₄ q p⁴ + ⁵C₅ p⁵
p, q का मान रखने पर

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक लाटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{100}\) है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह (a) न्यूनतम एक बार (b) तथ्यतः एक बार (c) न्यूनतम दो बार इनाम जीत लेगा।
हल:
प्रत्येक टिकट से जीतने की प्रायिकता (p) = \(\frac{1}{100}\)
1 99 और हारने की प्रायिकता (q) = 1 - \(\frac{1}{100}\) = \(\frac{99}{100}\)
(a) अत: न्यूनतम एक बार जीतने की प्रायिकता
= 1 - \(\left(\frac{99}{100}\right)^5\)

(b) तथ्यतः एक बार जीतने की प्रायकिता
= ⁵⁰C₁ q^{50 - 1} p

(c) न्यूनतम दो बार जीतने की प्रायिकता
= P(2) + P(3) + ...... + P(50)
= 1 - [P(0) + P(1)]

प्रश्न 11.
एक पासे को 7 बार उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
एक पासे को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
एक 5 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\) = p
5 न आने की प्रायिकता = 1 -  \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\) = q
तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता
= ⁷C₂ q⁵ p², (∵ n = 7)

प्रश्न 12.
एक पासे को छ: बार उछालने पर अधिकतम 2 बार छः आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
एक पासे को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
एक छः प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\) = p
तथा एक छः न प्राप्त होने की प्रायिकता
= 1 - \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\) = q
एक पासे को छ: बार उछाला गया। अधिकतम दो बार 6 प्राप्त हुआ।
∴ अधिकतम दो बार 6 प्राप्त होने की प्रायिकता
= P(0) + P(1) + P(2)
= q⁶ + ⁶C₁ q⁵ p + ⁶C₂ q⁴ p²

प्रश्न 13.
यह ज्ञात है कि किसी विशेष प्रकार की निर्मित वस्तुओं की संख्या में 10% खराब है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस प्रकार की 12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब हों?
हल:
प्रश्नानुसार निर्मित वस्तुओं में खराब वस्तु होने की प्रायिकता
(p) = 10% = \(\frac{1}{10}\)
खराब वस्तु न होने की प्रायिकता
(q) = 1 - \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{9}{10}\)
12 वस्तुओं में से 9 वस्तुएँ खराब होने की प्रायिकता

प्रश्न 14.
एक बॉक्स में 100 बल्ब हैं जिसमें 10 त्रुटियुक्त हैं। 5 बल्ब के नमूने में से किसी भी बल्ब के त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता है-
(A) 10^-1
(B) \(\left(\frac{1}{2}\right)^5\)
(C) \(\left(\frac{9}{10}\right)^5\)
(D) \(\frac{9}{10}\)
उत्तर:
(C) \(\left(\frac{9}{10}\right)^5\)

हल:

प्रश्न 15.
एक छात्र की तैराक न होने की प्रायिकता \(\frac{1}{5}\) है। तब 5 छात्रों में से 4 छात्रों की तैराक होने की प्रायिकता है
(A) ⁵C₄\(\left(\frac{4}{5}\right)^4\left(\frac{1}{5}\right)\)
(B) \(\left(\frac{4}{5}\right)^4\left(\frac{1}{5}\right) \)
(C) ⁵C₁\(\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^4\)
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(A) ⁵C₄\(\left(\frac{4}{5}\right)^4\left(\frac{1}{5}\right)\)

हल:
छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता
p = \(\frac{1}{5}\)
इसलिए छात्र के तैराक होने की प्रायिकता
q = 1 - \(\frac{1}{5}\)
q = \(\frac{4}{5}\)
छात्रों का प्रायिकता बंटन जो तैराक हैं
= \(\left(\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\right)^5\)
अतः प्रश्न से अभीष्ट प्रायिकता
P(X = 4) = ⁵C₄(p)^{5 - 4} × (q)⁴

अतः सही विकल्प (A) है।