RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3

प्रश्न 1.
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है। पुनः निकाले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती हैं तथा कलश में से एक गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंद की लाल होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इनमें से एक गेंद निकाली गई है। माना कि यह लाल रंग की है। इसे फिर कलश में रख दिया गया है।
∴ लाल रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{5}{10}\) ....... (1)
इसके पश्चात् दो लाल रंग की गेंद रख दी गईं। अब कलश में 7 लाल और 5 काली गेंदें हैं। दूसरी बार एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{7}{12}\) ....(2)
पुनः माना कि पहली बार में एक काली गेंद निकाली जाती है और फिर उसे कलश में रख दिया जाता है।
काली रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\) ....... (3)
इसके पश्चात् कलश में 2 काली गेंदें रख दी जाती हैं। अब कलश में 5 लाल और 7 काली गेंदें हैं। दूसरी बार में एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{12}\) ....... (4)
(1), (2), (3) व (4) का प्रयोग करते हुए
कलश में से दूसरी लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{12}+\frac{1}{2} \times \frac{5}{12}=\frac{7+5}{24}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 2.
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें एक गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बातं की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है?
हल:
माना कि पहले थैले के चुनने की घटना को E₁ से और दूसरे थैले को
चुनने की घटना को E₂ से व्यक्त करते हैं तथा लाल गेंद निकालने की घटना को E से दर्शाते हैं।
एक थैले को चुनने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
अर्थात् P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
पहले थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं
∴ पहले थैले से लाल गेंद चुनने की प्रायिकता
= \(\frac{4}{8}\) = \(\frac{1}{2}\)
अर्थात् P(E/E₁) = \(\frac{1}{2}\)
दूसरे थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं
∴ दूसरे थैले से एक लाल गेंद चुनने की प्रायिकता
= \(\frac{2}{8}\) = \(\frac{1}{4}\)
अर्थात् P(E/E₂) = \(\frac{1}{4}\)
अब हमें ज्ञात करना है कि लाल गेंद पहले थैले से निकाले जाने की प्रायिकता = P(E₁/E)
अब बेज़ प्रमेय से

प्रश्न 3.
यह ज्ञात है कि एक महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A-ग्रेड लिया। वर्ष के अन्त में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A-ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है?
हल:
माना कि E₁ : छात्रावास में रहने वाले छात्र
E₂ : छात्रावास में नहीं रहने वाले छात्र
P(E₁) = 60% = 0.6, P(E₂) = 40% = 0.4
A/E₁ = वह विद्यार्थी जो A-ग्रेड पाता है और छात्रावास में रहता है।
A/E₂ = वह विद्यार्थी जो A-ग्रेड पाता है और छात्रावास में नहीं रहता है।
P(A/E₁) = 30% = 0.3, P(A/E₂) = 20% = 0.2
P(E₁/A) = P(A-ग्रेड पाने वाला विद्यार्थी छात्रावास में रहता है)
अब बेज़ प्रमेय से

प्रश्न 4.
एक बहुविकल्पी प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। मान लें कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है| और अनुमान लगाने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है। मान लें कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?
हल:
माना कि घटना E₁ : विद्यार्थी उत्तर जानता है।
E₂ : विद्यार्थी अनुमान लगाता है।
E : उत्तर सही देता है।
अतः P(E₁) = \(\frac{3}{4}\), P(E₂) = \(\frac{1}{4}\)
P(E/E₁) = 1, P(E/E₂) = \(\frac{1}{4}\)
घटना E₁/E = विद्यार्थी जानता है कि उत्तर सही है।
अब बेज़ प्रमेय से

प्रश्न 5.
किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जांच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है। किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है। यदि किसी जनसमुदाय में 0.1% लोग उस रोग से ग्रस्त हैं तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है?
हल:
माना कि घटना
E₁ = व्यक्ति रोगी है
घटना E₂ = व्यक्ति रोगी नहीं है
घटना A = रक्त की जाँच की रिपोर्ट पोजीटिव है।
P(E₁) = P(व्यक्ति रोगी है) = 0.1% = 0.001
P(E₂) = P(व्यक्ति रोगी नहीं है) = 1 - 0.001 = 0.999
∴ P(A/E₁) = 99% = 0.99
P(A/E₂) = P(खत की जाँच की गई है पर रोगी नहीं है)
= 0.5% = 0.005
P(व्यक्ति रोगी है और असरदार रक्त जाँच हुई है)
= P (E₁/A)
अब बेज़ प्रमेय से

प्रश्न 6.
तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा सिक्का अनभिनत है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है?
हल:
तीनों सिक्कों में से एक सिक्का चुनने की घटना
E₁ = पहला सिक्का चुना गया, E₂ = दूसरा सिक्का चुना गया, E₃ = तीसरा सिक्का चुना गया।
A = सिक्का उछालने पर चित का प्राप्त होना तीन सिक्कों में से एक सिक्का चुना गया
अर्थात् P(E₁) = \(\frac{1}{3}\), P(E₂) = \(\frac{1}{3}\), P(E₃) = \(\frac{1}{3}\)
पहले सिक्के के दोनों ओर चित है तब प्रायिकता (सिक्का उछालने पर चित का प्राप्त होना जबकि पहला सिक्का उछाला गया)
= P(A/E₁) = 1
दूसरा सिक्का इस प्रकार अनभिनत है कि
P(A/E₁) = 75% = 0.75 = \(\frac{3}{4}\)
तीसरा सिक्का अनभिनत है P(A/E₃) = \(\frac{1}{2}\)
P(सिक्के पर चित हो और पहला सिक्का हो) तो बेज़ प्रमेय से

प्रश्न 7.
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01, 0.03 और 0.15 हैं । बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना कि E₁ = स्कूटर चालक का बीमा होना।
E₂ = कार चालक का बीमा होना।
E₃ = ट्रक चालक का बीमा होना।
E = दुर्घटनाग्रस्त होना।
बीमाकृत स्कूटर चालकों की संख्या = 2000
बीमाकृत कार चालकों की संख्या = 4000
बीमाकृत ट्रक चालकों की संख्या = 6000
कुल बीमाकृत चालकों की संख्या = 2000 +4000 + 6000 = 12000
P(बीमाकृत स्कूटर चालक) = P(E₁) = \(\frac{2000}{12000}=\frac{1}{6}\)
P(बीमाकृत कार चालक) = P(E₂) = \(\frac{4000}{12000}=\frac{1}{3}\)
P(बीमाकृत ट्रक चालक) = P(E₃) = \(\frac{6000}{12000}=\frac{1}{2}\)
P(स्कूटर चालक का दुर्घटनाग्रस्त होना) = P(E/E₁) = 0.01
P(कार चालक का दुर्घटनाग्रस्त होना) = P(E/E₂) = 0.03
P(ट्रक चालक का दुर्घटनाग्रस्त होना) = P(E/E₃) = 0.15
P(दुर्घटनाग्रस्त कार चालक है) तो बेज़ प्रमेय से

प्रश्न 8.
एक कारखाने में A और B दो मशीनें लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% और मशीन B का 1% उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यादृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो, तो इस वस्तु के 'मशीन B' द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होंगी?
हल:
माना कि घटना
E₁ : मशीन A का उत्पादन
E₂ : मशीन B का उत्पादन
E : खराब उत्पादन
P(E₁) = P(मशीन A का प्रतिशत उत्पादन)
= 60% = 0.6
P(E₂) = P(मशीन B का प्रतिशत उत्पादन)
=40% = 0.4
P(E/E₁) = P(मशीन A का उत्पादन खराब है)
= 2% = 0.02
P(E/E₂) = P(मशीन B का उत्पादन खराब है)
= 1% = 0.01
हमें प्रायिकता ज्ञात करनी है कि खराब उत्पादन मशीन B का है।
अतः बेज़ प्रमेय से

प्रश्न 9.
दो दल एक निगम के निदेशक मण्डल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं। पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.6 तथा 0.4 हैं। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था।
हल:
माना कि E = पहले दल के जीतने की घटना
E₂ = दूसरे दल के जीतने की घटना
E = एक नए उत्पाद का प्रारम्भ होना
E/E₁ = पहला दल नया उत्पाद प्रारम्भ करेगा।
E/E₂ = दूसरा दल नया उत्पाद प्रारम्भ करेगा।
P(E₁) = 0.6,
P(E₂) = 0.4
P(E/E₁) = 0.7
P(E/E₂) = 0.3
अब बेज़ प्रमेय से P(E₂/E) = P
(नया उत्पाद दूसरे दल ने प्रारम्भ किया)

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि कोई लड़की एक पासा उछालती है । यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को तीन बार उछालती है और 'चितों' की संख्या नोट करती है यदि उसे 1, 2, 3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है, तो वह सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर 'चित' या 'पट' प्राप्त हुआ। यदि उसे एक चित प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
एक पासे को उछालने से 6(1, 2, 3,4,5,6) परिणाम प्राप्त होते हैं। माना कि घटना E₁ : 5 या 6 का प्राप्त होना
तथा E₂ : 1, 2, 3, 4 का प्राप्त होना
E: सिक्का/सिक्के उछालने पर चित प्राप्त होना
P(E₁) : P(पासा उछालने पर 5, 6 का प्राप्त होना)
= \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
P(E₂) : P(पासा उछालने पर 1, 2, 3, 4 का प्राप्त होना)
= \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)
तीन सिक्के उछालने पर कुल परिणाम {TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH} = 8 हैं।
एक चित प्राप्त होने के तरीके HTT, THT, TTH यानी 3 तरीके अर्थात् P(E/E₁) = P (पासा फेंकने पर 5, 6 प्राप्त होने तथा तीन सिक्के उछालने पर 1 चित का प्राप्त होना)
= \(\frac{3}{8}\)
जब एक सिक्का फेंका जाए तो चित आने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2}\)
अर्थात् P(A/E₁) = P(पासा फेंकने पर 1, 2, 3,4 आना तथा 1 सिक्के के फेंकने से चित आना)
= \(\frac{1}{2}\)
अत: बेज़ प्रमेय से

प्रश्न 11.
एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C मशीन ऑपरेटर हैं। प्रथम ऑपरेटर A, 1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा ऑपरेटर B और C क्रमश: 5% और 7% खराब सामग्री उत्पादित करता है। कार्य पर Aकुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना कि तीन मशीनों द्वारा समय के अनुसार घटनाएँ E₁, E₂, E₃ घटती
P(E₁) = P(पहले ऑपरेटर द्वारा कुल समय का उपयोग) = 50% = 0.5
P(E₂) = P(दूसरे ऑपरेटर द्वारा कुल समय का उपयोग) = 30% = 0.3
P(E₃) = P(तीसरे ऑपरेटर द्वारा कुल समय का उपयोग) = 20% = 0.2
घटना E खराब उत्पाद के होने की है,
अतः P(E/E₁) = 0.01, P(E/E₂) = 0.05, P(E/E₃) = 0.07
P(खराब उत्पाद पहले ऑपरेटर द्वारा बना है)
अतः बेज़ प्रमेय से

प्रश्न 12.
52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं, जो ईंट के पत्ते हैं । खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है?
अथवा
52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से तीन पत्ते निकाले जाते हैं, जो हुकुम के पत्ते हैं । खो गए पत्ते के हुकुम का होने की प्रायिकता क्या है ?
उत्तर:
\(\frac{10}{49}\)

हल:
माना कि
घटना E₁ = खोया हुआ पत्ता ईंट का पत्ता है।
ताश की गड्डी में कुल पत्ते = 52
ईंट के पत्तों की संख्या = 13
∴ P(E₁) = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)
घटना E₂ = खोया हुआ पत्ता ईंट का नहीं है।
ईंट के अतिरिक्त दूसरे पत्तों की संख्या = 39
∴ P(E₁) = \(\frac{39}{52}\) = \(\frac{3}{4}\)

(i) जब ईंट का पत्ता खो गया हो तब 51 पत्तों में से 12 पत्ते ईंट के रह जायेंगे।
∴ P(A/E₁) = \(\frac{{ }^{12} C_2}{{ }^{51} C_2}=\frac{12 \times 11}{51 \times 50}=\frac{22}{425}\)

(ii) जब ईंट का पत्ता न खोया गया हो तो 51 पत्तों में से 13 पत्ते ईंट के हैं।

प्रश्न 13.
A द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता \(\frac{4}{5}\) है। एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है कि चित प्रदर्शित हुआ। वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता है-
(A) \(\frac{4}{5}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) \(\frac{1}{5}\)
(D) \(\frac{2}{5}\)
उत्तर:
(A) \(\frac{4}{5}\)

हल:
माना कि E₁ : सिक्के पर चित प्रकट होना है।
तथा E₂ : सिक्के पर पट प्रकट होना है।
तब E₁ तथा E₂ परस्पर अपवर्जी तथा असंयुक्त हैं,
P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
माना कि E: A ने बताया कि चित प्रकट हुआ है।

अतः सही विकल्प (A) है

प्रश्न 14.
यदि A और B ऐसी घटनाएँ हैं कि A ⊂ B तथा P(B) ≠ 0, तो निम्न में से कौन ठीक है-
(A) P(A/B) = \(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}\)
(B) P(A/B) < P(A)
(C) P(A/B) ≥ P(A)
(D) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(C) P(A/B) ≥ P(A)

हल:
जब A ⊂ B तब
A ∩ B = A

अतः सही विकल्प (C) है।