RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.2

प्रश्न 1.
यदि P(A) = \(\frac{3}{5}\) और P(B) = \(\frac{3}{5}\), और A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए।
हल:
A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तथा हम जानते हैं कि
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = \(\frac{3}{5} \times \frac{1}{5}\) = \(\frac{3}{25}\)

प्रश्न 2.
52 पत्तों की एक गड्डी में से यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए गए दो पत्ते निकाले गए। दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार ताश की गड्डी में कुल पत्ते = 52
काले रंग के पत्तों की संख्या = 26
हलकाले रंग का एक पत्ता निकालने की प्रायिकता
∴ P(A) = \(\frac{26}{52}\) = \(\frac{1}{2}\)
एक.पत्ता निकालने के बाद गड्डी में 51 पत्ते हैं जिनमें 25 काले पत्ते हैं।
∴ दूसरा काला पत्ता निकालने की प्रायिकता = \(\frac{25}{51}\)
अर्थात् बिना प्रतिस्थापन किए दो काले पत्ते निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2} \times \frac{25}{51}\) = \(\frac{25}{102}\)

प्रश्न 3.
संतरों के एक डिब्बे का निरीक्षण उसमें से तीन संतरों को यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए हुए निकाल कर किया जाता है। यदि तीनों निकाले गए संतरे अच्छे हों तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है अन्यथा अस्वीकृत कर देते हैं। एक डिब्बा जिसमें 15 संतरे हैं जिनमें से 12 अच्छे व 3 खराब संतरे हैं, के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
डिब्बे में कुल सन्तरे = 15 जिनमें 12 अच्छे और 3 खराब संतरे हैं। डिब्बा बिक्री के लिए स्वीकृत होगा यदि तीन निकाले गए सन्तरे अच्छे हों।
कुल अच्छे संतरे = 12
इनमें से तीन संतरे ¹²C₃ तरीकों से चुन सकते हैं।
कुल 15 सन्तरों में से तीन संतरे ¹⁵C₃ तरीकों से चुन सकते हैं। हल
अत: तीन अच्छे संतरे चुनने की प्रायिकता
= \(\frac{{ }^{12} \mathrm{C}_3}{{ }^{15} \mathrm{C}_3}=\frac{12 \times 11 \times 10}{1 \times 2 \times 3} \times \frac{1 \times 2 \times 3}{15 \times 14 \times 13}\)
= \(\frac{44}{91}\)

प्रश्न 4.
एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लें A घटना 'सिक्के पर चित प्रकट होता है' और B घटना 'पासे पर संख्या 3 प्रकट होती है' को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं या नहीं?
हल:
जब सिक्का और पासा उछाला जाता है तो प्रतिदर्श समष्टि
S = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T,5), (T, 6)}
⇒ n(S) = 12
A = (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6)}
⇒ n(A) = 6
तथा B = {(H, 3), (T, 3)} ⇒ n(B) = 2
∴ A ∩ B = {(H, 3)} ⇒ n(A ∩ B) = 1

∴ A, B स्वतंत्र हैं।

प्रश्न 5.
एक पासे पर 1, 2, 3 लाल रंग से और 4, 5, 6 हरे रंग से लिखे गए हैं। इस पासे को उछाला गया। मान लें A घटना 'संख्या सम है' और B घटना 'संख्या लाल रंग से लिखी गई है' को निरूपित करते हैं। क्या A और B स्वतन्त्र हैं?
हल:
घटना A संख्या सम है = {2, 4, 6} ⇒ n(A) = 3
प्रतिदर्श समष्टि = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ P(A) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
अब 1, 2, 3 को लाल रंग से और 4, 5, 6 को हरे रंग से लिखा गया है।
घटना B : संख्या लाल रंग से लिखी गई है
∴ P(B) = \(\frac{1}{2}\)
A ∩ B : संख्या 2 जो सम भी है और लाल रंग से लिखी है।
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\)
P(A) × P(B) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \neq \frac{1}{6}\)
= P(A ∩ B)
अर्थात् (A ∩ B) ≠ P(A) × P(B)
या A और B स्वतन्त्र नहीं हैं।

प्रश्न 6.
मान लें E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(E) = \(\frac{3}{5}\), P(F) = \(\frac{3}{10}\) और P(E ∩ F) = \(\frac{1}{5}\), तब क्या E तथा F स्वतन्त्र हैं?
हल:

P(E ∩ F) ≠ P(E) × P(F)
∴ E और F स्वतन्त्र नहीं हैं।

प्रश्न 7.
A और B ऐसी घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(A ∪ B) = \(\frac{3}{5}\) तथा P(B) = p . p का मान ज्ञात कीजिए यदि
(i) घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं,
(ii) घटनाएँ स्वतंत्र हैं।
हल:
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = p, P(A ∪ B) = \(\frac{3}{5}\)
मान लीजिए
P(A ∩ B) = x,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

(i) यदि घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं तो P(A ∩ B) = 0
∴ p - 0 = \(\frac{1}{10}\)
∴ p = \(\frac{1}{10}\)

(ii) घटनाएँ स्वतन्त्र हैं यदि
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
x = \(\frac{1}{2}\) × p ....(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर

प्रश्न 8.
मान लें A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तथा P(A) = 0.3, और P(B) = 0.4, तब
(i) P(A ∩ B)
(ii) P(A ∪ B)
(iii) P(A/B)
(iv) P(B/A) ज्ञात कीजिए।
हल:
A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तथा प्रश्नानुसार
P(A) = 0.3, P(B) = 0.4

(i) P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= 0.3 × 0.4 = 0.12

(ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.7 - 0.12
= 0.58

(iii) P(A/B) = \(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}\) = \(\frac{0.12}{0.4} \) = \(\frac{12}{40}\) = 0.3

(iv) P(B/A) = \(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}\) = \(\frac{0.12}{0.3}\) = \(\frac{12}{30}\) = 0.4

प्रश्न 9.
दी गई घटनाएँ A और B ऐसी हैं जहाँ P(A) = \(\frac{1}{4}\), P(B) = \(\frac{1}{2}\), P(A ∩ B) = \(\frac{1}{8}\), तब PA- नहीं और B- नहीं) ज्ञात कीजिए।
हल:
घटना A- नहीं और B- नहीं का अर्थ है = Ā ∩ B̄
प्रश्नानुसार
P(A) = \(\frac{1}{4}\), P(B) = \(\frac{1}{2}\), P(A ∩ B) = \(\frac{1}{8}\)
अब Ā ∩ B̄ = \(\overline{\mathrm{A} \cup \mathrm{B}}\) (डी-मार्गन नियम)
P(Ā ∩ B̄) = P(\(\overline{\mathrm{A} \cup \mathrm{B}}\)) = 1 - P(A ∪ B)....(1)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= \(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{2+4-1}{8}=\frac{5}{8}\)
इसका मान (1) में रखने पर
∴ P(Ā ∩ B̄) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

प्रश्न 10.
मान लें A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं और P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{7}{12}\) और P(A- नहीं और B- नहीं) = \(\frac{1}{4}\), क्या A और B स्वतंत्र घटनाएँ है?
हल:
प्रश्नानुसार
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{7}{2}\)
⇒ P(A- नहीं और B- नहीं)
= P(Ā ∩ B̄) = P(\(\overline{\mathrm{A} \cup \mathrm{B}}\))
= 1 - P(A ∪ B)
= 1 - {P(A) + P(B) - P(A ∩ B)}
∵ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

∴ A और B स्वतंत्र नहीं हैं।

प्रश्न 11.
A और B स्वतंत्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A) = 0.3, P(B) = 0.6,
(i) P(A और B)
(ii) P(A और B- नहीं)
(iii) P(A या B)
(iv) P(A और B में से कोई भी नहीं) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 A और B स्वतंत्र हैं
(i) ∴ P(A और B) = P(A M B) = P(A) × P(B)
= 0.3 × 0.6 = 0.18
∴ P(A और B) = 0.18

(ii) P(A और B नहीं) = P(A ∩ B')
= P(A) × P(B̄)
= P(A) × (1 - P(B))
= 0.3 × (1 - 0.6)
= 0.3 × 0.4 = 0.12

(iii) P(A या B) = P(A ∪ B)
= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 0.3 + 0.6 - 0.18
= 0.9 - 0.18 = 0.72

(iv) P(A और B में कोई भी नहीं)
= P(Ā ∩ B̄) = P(Ā).P(B̄)
= (1 - P(A)) (1 - P(B))
(क्योंकि A, B स्वतंत्र हैं, इसलिए Ā, B̄ भी स्वतंत्र हैं।)
अतः P(A और B में कोई भी नहीं)
= (1 - 0.3) (1 - 0.6)
= 0.7 × 0.4 = 0.28

प्रश्न 12.
एक पासे को तीन बार उछाला जाता है तो कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
सम संख्या 2, 4, 6 एक पासे को 3 तरीकों से आ सकती है।
एक पासे के उछालने पर प्रतिदर्श परिणाम = {1,2,3,4,5,6}
∴ सम आने की प्रायिकता
= \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
∴ एक सम संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
तीनों पासों पर सम संख्या आने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
तीनों पासों को उछालने पर कम से कम एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता
= 1 - \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{7}{8}\)

प्रश्न 13.
दो गेंदें एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किए निकाली जाती हैं। बॉक्स में 10 काली और 8 लाल गेंदें हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) दोनों गेंदें लाल हों
(ii) प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो
(iii) एक काली तथा दूसरी लाल हो।
हल:
(i) कुल लाल गेंद = 8
कुल गेंदें = 8 + 10 = 18
कुल काली गेंद = 10
माना कि R : लाल गेंद तथा B : काली गेंद है।
अतः पहले उछाल में
P(R) = \(\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\)
क्योंकि गेंद फिर मिला दी जाती है इसलिए दूसरे उछाल में
P(R) = \(\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\)
इसलिए P(दोनों) गेंदें लाल आने पर
= \(\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{16}{81}\)

(ii) पहले उछाल पर

(iii) P(एक काली तथा एक लाल)
= P(BR या RB)
= P(BR) + P(RB)
= \(\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}+\frac{4}{9} \times \frac{5}{9}\)
= \(\frac{20+20}{81}\) = \(\frac{40}{81}\)

प्रश्न 14.
एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{3}\) हैं। यदि दोनों स्वतंत्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करते हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) समस्या हल हो जाती है
(ii) उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।
हल:
A और B द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{3}\) न हल करने की प्रायिकता क्रमशः 1 - \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\), 1 - \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\) है।

(i) समस्या हल न होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
∴ समस्या हल होने की प्रायिकता
= 1 - \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)

(ii) यदि समस्या के हल होने को S और न हल होने को F से निरूपित करें तो तथ्यतः उस समस्या को SF + FS ढंग से हल किया जाएगा।
इसकी प्रायिकता = \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 15.
ताश के 52 पत्तों की एक सुमिश्रित गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ E और F स्वतंत्र हैं?
(i) E: निकाला गया पत्ता हुकुम का है
F : निकाला गया पत्ता इक्का है
हल:
ताश की गड्डी में 52 पत्ते हैं।
उस गड्डी में 13 पत्ते हुकुम के हैं
∴ P(E) = P(एक पत्ता हुकुम का निकाला गया)
= \(\frac{{ }^{13} C_1}{{ }^{52} C_1}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
∵ ताश की गड्डी में 4 इक्के हैं।
∴ P(F) = P(निकाला गया पत्ता इक्का है)
= \(\frac{{ }^4 \mathrm{C}_1}{{ }^{52} \mathrm{C}_1}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
या P(F) = \(\frac{1}{13}\)
ताश की गड्डी में हुकुम का इक्का एक होता है।
∴ P(E ∩ F) = P(हुकुम का इक्का निकाला गया)
= \(\frac{1}{52}\)
P(E) × P(F) = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{13}\) = P(E ∩ F)
अतः P(E ∩ F) = P(E) × P(F)
⇒ E और F स्वतंत्र हैं।

(ii) E: निकाला गया पत्ता काले रंग का है ।
F : निकाला गया पत्ता एक बादशाह है
हल:
ताश की गड्डी में काले रंग के पत्ते = 26
∴ P(E) = P(काले रंग का पत्ता निकालना)
= \(\frac{26}{52}\) = \(\frac{1}{2}\)
ताश की गड्डी में कुल बादशाह = 4
∴ P(F) = P(निकाला गया पत्ता एक बादशाह है)
= \(\frac{4}{52}\) = \(\frac{1}{13}\)
काले रंग के बादशाहों की संख्या = 2
∴ P(E ∩ F) = P(काले रंग का बादशाह निकालना)
=\( \frac{2}{52}\) = \(\frac{1}{26}\)
P(E) × P(F) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{13}=\frac{1}{26}\) = P(E ∩ F)
∴ P(E ∩ F) = P(E) × P(F)
⇒ E और F स्वतंत्र हैं।

(iii) E : निकाला गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है
F : निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है।
हल:
ताश की गड्डी में बादशाह व बेगम की संख्या = 8
∴ P(E) = P(बादशाह या बेगम का पत्ता निकालना)
= \(\frac{8}{52}\) = \(\frac{2}{13}\)
बेगम व गुलाम के पत्तों की संख्या = 8
∴ P(F) = P(बेगम या गुलाम का पत्ता निकालना)

E और F स्वतंत्र नहीं हैं।

प्रश्न 16.
एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्रा को यादृच्छया चुना जाता है।
(a) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है।
(b) यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(c) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि हिन्दी और E अंग्रेजी के अखबार पढ़ने को व्यक्त करते है|
प्रश्नानुसार

(a) P(H ∪ E) = P(H) + P(E) - P(H ∩ E)
= 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8
इसलिए न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की प्रायिकता
= 1 - P(H ∪ E) = 1 - 0.8 = 0.2
= \(\frac{1}{5}\) 
इससे स्पष्ट है कि \(\frac{1}{5}\) अर्थात् 20% विद्यार्थी अखबार नहीं पढ़ते।

(b) P(यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तथा हिन्दी का अखबार भी पढ़ती है)
= P(E/H)
= \(\frac{(\mathrm{E} \cap \mathrm{H})}{\mathrm{P}(\mathrm{H})}=\frac{0.2}{0.6}=\frac{1}{3}\)

(c) P(यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तथा अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ती है)
P(H/E) = \(\frac{P(H \cap E)}{P(E)}\)
∴ P(E/H) = \(\frac{0.2}{0.4}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 17.
यदि पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता निम्नलिखित में से क्या है-
(A) 0
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{12}\)
(D) \(\frac{1}{36}\)
उत्तर:
(D) \(\frac{1}{36}\)

हल:
n(S) = 6 × 6 = 36
घटना E : "प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या है।"
इसलिए E = {(2, 2)}
चूँकि मात्र 2 ही सम अभाज्य संख्या है। = P(E) = 36
अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 18.
दो घटनाओं A और B को परस्पर स्वतंत्र कहते हैं यदि
(A) A और B परस्पर अपवर्जी हैं
(B) P(A' B') = [1 - P(A)] [1 - P(B)]
(C) P(A) = P(B)
(D) P(A) + P(B) = 1
उत्तर:
(B) P(A' B') = [1 - P(A)] [1 - P(B)]

हल:
यदि A और B परस्पर स्वतंत्र हैं
तब P (A ∩ B) = P (A) P(B)
या P(A' ∩ B') = P (A ∪ B)'
= 1 - P (A ∪ B)
= 1 - {P(A)+ P(B) - P(A ∩ B)}
= 1 - P(A) - P(B) + P(A ∩ B)
= 1 - P (A) - P(B) + P(A) P(B)
= 1 - P(A) - P(B) (1 - P (A))
= (1 - P (A) (1 - P (B))