RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
उदाहरण 9 पर ध्यान कीजिए। आहार में विटामिन A की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?
हल:
माना कि x पैकेट भोज्य A के और y पैकेट भोज्य B के खरीदे गए।
उदाहरण 9 के अनुसार दिए गए आंकड़ों से-

उद्देश्य फलन Z = 6x + 3y का अधिकतमीकरण
अवरोध 12x + 3y ≥ 240, 4x + 20 ≥ 460, 6x + 4y ≤ 300, x, y ≥ 0
या 4x + y ≥ 80, x + 5y ≥ 115, 3x + 2y ≤ 150, x, y ≥ 0

(i) 4x + y ≥ 280 का क्षेत्र
रेखा 4x + y = 80, बिन्दु A(20, 0), B(0, 80) से होकर जाती है।
4x + y ≥ 80 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 80 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् 4x + y ≥ 80 रेखा AB पर तथा उसके ऊपर का क्षेत्र है।

(ii) x + 5y ≥ 115 का क्षेत्र
रेखा x + 5y = 115, बिन्दु C(115, 0), D(0, 23) से होकर जाती है।
x + 5y ≥ 115 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 115 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् x + 5y ≥ 115 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर है या उसके ऊपर है।

(iii) 3x + 2 ≤ 150 का क्षेत्र
रेखा 3x + 2y = 150, बिन्दु E(50, 0), F(0, 75) से होकर जाती है।
3x + 2y ≤ 150 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 150 जो सत्य है।
अर्थात् 3x + 2y ≤ 150 के क्षेत्र बिन्दु रेखा EF पर हैं या उसके नीचे हैं।

(iv) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।

(v) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।

(vi) रेखा AB = 4x + y = 80, CD = x + 5y = 115 बिन्दु Q(15, 20) पर मिलती है।

(vii) रेखा CD = x + 5y = 115, EF = 3x + 2y = 150 बिन्दु R(40, 15) पर मिलती है।

(viii) रेखा AB = 4x + y = 80, EF = 3x + 2y = 150 बिन्दु P(2, 72) पर मिलती है।

समस्या का सुसंगत क्षेत्र PQR है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं P(2, 72), Q(15, 20) तथा R(40, 15)। अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	z का संगत मान Z = 6x + 3y
P(2, 72)	228
Q(15, 20)	150
R(40, 15)	285 → अधिकतम

इस प्रकार विटामिन की अधिकतम मात्रा 285 मात्रक है जब भोज्य P के 40 पैकेट और भोज्य Q के 15 पैकेट खरीदे जाएँ।

प्रश्न 2.
एक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलाता (मिश्रण) है। P प्रकार के चारे जिसका मूल्य ₹ 250 प्रति थैला जो कि पोषक तत्व A के 3 मात्रक, तत्व B के 2.5 मात्रक और तत्व C के 2 मात्रक रखता है जबकि Q प्रकार का चारा जिसका मूल्य ₹ 200 प्रति थैला है, पोषक तत्व A का 1.5 मात्रक, तत्व B का 11.25 मात्रक और तत्व C के तीन मात्रक रखता है। पोषक तत्वों A, B और C की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्रक, 45 मात्रक और 24 मात्रक हैं। प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो। मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है?
हल:
माना कि थैले P प्रकार के चारे के और थैले Q प्रकार के चारे के मिलाए जाते हैं।
प्रश्नानुसार दिए गए आँकड़ों से

अब उद्देश्य फलन Z = 250x + 200y का न्यूनतमीकरण करना है
अवरोध 3x + 1.5y ≥ 18, 2.5x + 11.25y ≥45, 2x + 3y ≥ 24,
और x, y ≥ 0
या 3x + \(\frac{15}{10}\)y ≥ 18, या \(\frac{25}{10}\)x + \(\frac{1125}{100}\)y ≥ 45
या 30x + 15y ≥ 180, या 250x + 1125y ≥ 4500
या 2x + y ≥ 12, या 2x + 9y ≥ 36
2x + 3y ≤ 24, x, y ≥ 0

(i) 2x + y ≥ 12 का क्षेत्र-
रेखा 2x + y = 12, बिन्दु A (6, 0), B(0, 12) से होकर जाती है।
2x + y ≥ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 12 जो सत्य नहीं है ।
अर्थात् 2x + y ≥ 12 के क्षेत्र बिन्दु AB या उसके ऊपर हैं।

(ii) 2x + 9y ≥ 36 का क्षेत्र
2x + 9y = 36 बिन्दु C (18, 0), D(0, 4) से होकर जाती है।
2x + 9y ≥ 36 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 36 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् 2x + 9y ≥ 36 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर या उसके अपर स्थित हैं।

(iii) 2x + 3y> 24 का क्षेत्र
रेखा 2x +3y = 24 बिन्दु E(12, 0), F(0, 8) से होकर जाती हैं।
2x + 37y ≥ 24 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 24 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् 2x + 3 y ≥ 24 के क्षेत्र बिन्दु रेखा EF पर या उसके ऊपर स्थित हैं।

(iv) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसकी दायीं ओर हैं।

(v) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।

(vi) रेखा AB = 2x + y = 12, और EF = 2x + 3y = 24 बिन्दु P(3, 6) पर मिलती है।

(vii) रेखा CD = 2x + 9y = 36 और EF = 2x + 3y = 24 बिन्दु R(9, 2) पर मिलती है।
इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र YBPRCX है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं B(0, 12), P(3, 6), R(9, 2) तथा C(18,0)।
अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे-

कोनीय बिन्दु	Z का संगत मान Z = 250x + 200y
B(0, 12)	2400
P(3, 6)	1950 → न्यूनतम
R(9, 2)	2650
C(18, 0)	4500

अर्थात् Z का न्यूनतम मान 1950 है।
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
असमिका 250x + 200y < 1950 या 5x +4y < 39
यह रेखा \(\left(\frac{39}{4}, 0\right), \left(\frac{39}{4}, 0\right)\) से होकर जाती है और बिन्दु (3, 6) इस पर स्थित है।
इसमें x = 0, y = 0 रखने पर 0 < 39 जो सत्य है।
5x + 4y < 39 के क्षेत्र बिन्दु रेखा 5x + 4y = 39 के नीचे हैं| जिसका कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
अर्थात् Z का न्यूनतम मान 1950 तथा P प्रकार के 3 और Q प्रकार के 6 थैले मिलाए जाते हैं।

प्रश्न 3.
एक आहारविद् दो प्रकार के भोज्यों X और Y को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन A की कम से कम 10 मात्रक, विटामिन B की कम से कम 12 मात्रक और विटामिन C की 8 मात्रक हों। 1 kg भोज्यों में विटामिनों की मात्रा अग्रलिखित सारणी में दी गई है।

भोज्य X के 1 kg का मूल्य ₹ 16 और भोज्य Y के 1 kg का मूल्य ₹ 20 है। वांछित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि x kg भोज्य X का और y kg भोज्य Y का मिश्रण बनाया जाता है। |
भोज्य X का मूल्य ₹ 16 प्रति kg और भोज्य Y का मूल्य ₹ 20 प्रति kg है। इस मिश्रण का मूल्य ₹ 16x + 20y
अतः उद्देश्य फलन : न्यूनतमीकरण Z = 16x + 20y
अवरोध x + 29 ≥ 10, 2x + 2y ≥ 12, 3x +y ≥ 8, x, y ≥ 0

(i) x + 2y ≥ 10 का क्षेत्र-

रेखा x + 2y = 10, बिन्दु A(10, 0), B(0, 5) से होकर जाती है। x + 2y ≥ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 10 जो सत्य नहीं है। अर्थात् x + 2y ≥ 10 रेखा AB पर है या उसके ऊपर है।

(ii) 2x + 2y ≥ 12 या x + y ≥ 6 का क्षेत्र
रेखा x + y = 6, बिन्दु C(6, 0), D(0, 6) से होकर जाती है।
x + y ≥ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 26 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् x + y ≥ 6 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर है या उसके ऊपर है।

(iii) 3x + y ≥ 8 का क्षेत्र
रेखा 3x + y ≥ 8, बिन्दु E\(\left(\frac{8}{3}, 0\right)\), F(0, 8) से होकर जाती है। 3x + y ≥ 8 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 8 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् 3x + y ≥ 8 के क्षेत्र बिन्दु रेखा EF पर है या उसके ऊपर है।

(iv) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y-अक्ष पर और उसकी दायीं ओर हैं।

(v) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x-अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।

(vi) रेखा CD = x + y= 6 और EF = 3x + y = 8 बिन्दु P(1, 5) पर मिलती है।

(vii) रेखा AB = x + 2y = 10 और CD = x + y = 6 बिन्दु Q(2, 4) पर मिलती है।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र YFPQAX है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं F(0, 8), P(1, 5), Q(2, 4) तथा A(10, 0)।
अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	Z का संगत मान Z = 16x + 20y
F(0, 8)	160
P(1, 5)	116
Q(2,4)	112 → न्यूनतम
A(10,0)	160

Z का न्यूनतम मान ₹112 है । परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
∴ 16x + 20y < 112 पर विचार कीजिए ।
इसका कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है ⇒ Z का न्यूनतम मान ₹112 है। जिसके लिए भोज्य X के 2 kg और Y का 4 kg मिश्रण बनाना चाहिए|

प्रश्न 4.
एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने A और B बनाता है । इस उद्देश्य के लिए निर्माण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों में) निम्नलिखित है:

प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घण्टे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर ₹7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर ₹5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार के 30 खिलौने निर्मित होने चाहिए ।
हल:
माना कि A प्रकार के x और B प्रकार के खिलौने बनाए जाते हैं । y अब उद्देश्य फलन Z = 7.5x + 5y का अधिकतमीकरण करना है।
अवरोध 12x + 6y ≤ 360, 18x ≤ 360, 6x + 9y ≤ 360, x, y ≤ 0
या 2x + y ≤ 60, x ≤ 20, 2x + 3y ≤ 120, x, y ≥ 0

(i) 2x + y < 60 का क्षेत्र - रेखा 2x + y = 60, बिन्दु A ( 30, 0), B(0, 60) से होकर जाती है।
2x + y ≥ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 < 60 जो सत्य है।
अर्थात् 2x + y ≥ 60 रेखा AB पर है या उसके नीचे है।

(ii) x ≤ 20 के बिन्दु x = 0 और x = 20 के बीच में स्थित है।

(iii) 2x + 3y ≤ 120 का क्षेत्र - रेखा 2x + 3y = 120, बिन्दु C(60, 0), D(0, 40) से होकर जाती है ।
2x + 3y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 120 जो सत्य है। अर्थात् 2x + 3y ≤ 120 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर याँ उसके नीचे स्थित हैं

(iv) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y-अक्ष पर और उसकी दायीं ओर हैं।

(v) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।

(vi) रेखा AB = 2x + y = 60 और CD = 2x + 3y = 120 बिन्दु P ( 15, 30 ) पर मिलती है ।

(vii) रेखा x = 20, रेखा AB = 2x + y = 60 और Q(20, 20) पर मिलती है।
इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र ODPQR छायांकित किया गया है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं D(0, 40), P(15, 30), Q(20, 20) तथा R(20, 0)। अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	Z का संगत मान Z = 7.5x + 5y
O(0, 0)	0
D(0, 40)	200
P(15, 30)	262.50 → अधिकतम
Q(20, 20)	250
R(20,0)	150

स्पष्ट है कि अधिकतम लाभ ₹262.50 तब होगा यदि 15 खिलौने A प्रकार के और 30 खिलौने B प्रकार के बनाए जाएँ।

प्रश्न 5.
एक हवाई जहाज अधिकतम 200 यात्रियों को यात्रा करा सकता है। प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर ₹1000 और सस्ते श्रेणी के टिकट पर₹600 का लाभ कमाया जा सकता है। एयरलाइन कम से कम 20 सीटें प्रथम श्रेणी के लिए आरक्षित करती है। तथापि प्रथम श्रेणी की अपेक्षा कम से कम 4 गुने यात्री सस्ती श्रेणी के टिकट पर यात्रा करने को वरीयता देते हैं । ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने टिकट बेचे जाएँ ताकि लाभ का अधिकतमीकरण हो? अधिकतम लाभ कितना है?
हल:
माना कि प्रथम श्रेणी के x यात्री और सस्ती श्रेणी के y यात्री यात्रा करते हैं।
प्रथम श्रेणी के एक यात्री से रुपये 1000 का और सस्ती श्रेणी के एक यात्री से रुपये 600 का लाभ होता है।
अब उद्देश्य फलन Z = 1000x + 600y का अधिकतमीकरण करना
अवरोध x ≥ 20, x + y ≤ 200, y ≥ 4x, x, y ≥ 0

(i) x + y ≤ 200 का क्षेत्र- रेखा x + y = 200, बिन्दु (200, 0), (0, 200) से होकर जाती है।
x + y ≤ 200 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 200 जो सत्य है। अर्थात् x + y ≤ 200 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 200 पर और उसके नीचे हैं।

(ii) x ≥ 20 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x = 20 पर और उसके दायीं ओर हैं।

(iii) y ≥ 4x का क्षेत्र-
रेखा y = 4x, मूल बिन्दु (0, 0) और B(40, 160) से होकर जाती है।
y - 4x ≥ 0 में x = 0, y = 40 रखने पर 40 ≥ 20 जो सत्य है।
अर्थात् y - 4x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु OB पर या उसके ऊपर हैं।

(iv) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।

(v) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु :-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।

(vi) रेखा x = 20 और y = 4x बिन्दु C(20, 80) पर मिलती है।

(vii) रेखा y = 4x और x + y = 200 बिन्दु B(40, 160) पर मिलती है।

(viii) रेखा x = 20 और x + y = 200 बिन्दु A(20, 180) पर मिलती है।

इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र ABC है जिसे छायांकित किया गया है ।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं A (20, 180), B (40, 160) तथा C (20, 80)।
अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	Z का संगत मान Z = 1000x + 600y
A (20, 180)	128000
B(40, 160)	136000 → अधिकतम
C(20, 80)	68000

⇒ अधिकतम लाभ ₹1,36,000 पाने के लिए 40 यात्री प्रथम श्रेणी और 160 सस्ती श्रेणी में होने चाहिए ।

प्रश्न 6.
दो अन्न भण्डारों A और B की भण्डारण क्षमता क्रमशः 100 क्विंटल और 50 क्विंटल है। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमश: 60, 50 और 40 क्विंटल हैं। भण्डारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है-

परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
हल:
माना कि भण्डारण A से D दुकान पर x क्विंटल भण्डार और E को y क्विंटल भण्डार भेजा जाता है। भण्डार A में कुल 100 क्विंटल की भण्डारण क्षमता है।
∵ A से F दुकान को 100 - (x + y) क्विंटल भण्डार भेजा जाता है।
∴ D दुकान में कुल 60 क्विंटल भण्डार भेजा जा सकता है।
तथा भण्डार B से दुकान D में 60 -x क्विंटल भण्डार भेजा गया है।

∴ B से दुकान E को 50 - y क्विंटल भण्डार भेजा।
∵ भण्डार B में कुल 50 क्विंटल भण्डारण क्षमता है।
अर्थात् B से दुकान F में 50 - (60 - x + 50 - 9) = x + y - 60 क्विंटल भण्डार भेजा गया।
भण्डार A और B में दुकान D, E, F को भेजा गया भण्डार निम्न प्रकार है।

⇒ अवरोध x ≥ 0, y ≥ 0, 100 - x - y ≥ 0, x + y ≤ 100
60 - x ≥ 0 या x ≤ 60, 50 - y ≥ 0 या y ≤ 50
x + y - 60 ≥ 20 या x + y ≥ 60
कुल परिवहन व्यय
= 6x + 3y + 2.5 (100 - x - y) + 4(60 - x) + 2(50 - y) + 3(x + y - 60)
= 6x + 3y + 250 - 2.5x - 2.5y + 240 - 4x + 100 - 2y + 3x + 3y - 180
= 2.5x + 1.5y+ 410
(i) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसकी दायीं ओर हैं।

(ii) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर उसके ऊपर हैं।

(iii) x + y ≤ 100 का क्षेत्र

रेखा x + y = 100 बिन्दु
(100, 0) और (0, 100) से होकर जाती है।
x + y ≤ 100 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 100 जो सत्य है। अर्थात् x + y ≤ 100 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 100 पर या इसके नीचे हैं।

(iv) x ≤ 60 का क्षेत्र x = 60 पर और इसके बायीं ओर है।

(v) y ≤ 50 के क्षेत्र बिन्दु y = 50 पर और उसके नीचे हैं।

(vi) x + y ≥ 60 का क्षेत्र रेखा x + y = 60 बिन्दु (60, 0), (0, 60) से होकर जाती है।
x + y ≥ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 60 जो सत्य नहीं है। अर्थात् x + y ≥ 60 के क्षेत्र बिन्दु x + y = 60 पर और उसके ऊपर हैं।
इस प्रकार इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र ABCD है।
(a) रेखा AB = y = 50 और AD = x + y = 60 बिन्दु A(10, 50) पर मिलती है।
(b) रेखा BC = x + y = 100 और AB = y = 50 बिन्दु B(50, 50) पर मिलती है।
(c) रेखा CB = x + y = 100 और CD = x = 60 बिन्दु C(60, 40) पर मिलती है।
(d) रेखा CD = x = 60 और AD = x + y = 60 बिन्दु D(60, 0) पर मिलती है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं A(10, 50), B(50, 50), C(60, 40) तथा D(60, 0)। अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	Z का संगत मान Z = 2.5x + 1.5y + 410
A(10, 50)	510 → न्यूनतम
B(50,50)	610
C(60,40)	620
D(60,0)	560

Z का न्यूनतम मान है 100 रु. जब भण्डार A से दुकान D पर 10 क्विंटल और दुकान E को 50 क्विंटल भण्डार भेजा जाए।
⇒ भण्डार A से दुकान D, E, Fको क्रमशः 10,50, 40 क्विंटल और भण्डार B से दुकान D, E, F को क्रमश: 50, 0, 0 क्विंटल भण्डार भेजने से न्यूनतम परिवहन व्यय 510 रु. होगा।

प्रश्न 7.
एक तेल कारखाने में दो डिपो A और B हैं जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लीटर और 4000 लीटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पम्पों D, E, F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500. लीटर, 3000 लीटर और 3500 लीटर की हैं। डिपो से पेट्रोल पम्पों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार हैं:

यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है। ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
हल:
माना कि डिपो A से D पेट्रोल पम्प के x लीटर और E पेट्रोल पम्प के y लीटर तेल की आपूर्ति होती है।
डिपो A की कुल क्षमता 7000 लीटर है।
अतः डिपो A पेट्रोल पम्प F के 7000 - (x +y) लीटर तेल की आपूर्ति करता है।
अर्थात् 7000 - (x + y) ≥ 20 ∴ x + y ≤ 7000 ...... (i)
पेट्रोल पम्प D की माँग 4500 लीटर तेल की है।
∴ डिपो B से 4500 - x लीटर तेल की आपूर्ति होती है।
अर्थात् 4500 - x ≥ 0 या x ≤ 4500 ...... (ii)
पेट्रोल पम्प E को 3000 लीटर तेल की आवश्यकता है।
∴ डिपो B पेट्रोल पम्प E को 3000 - y लीटर तेल आपूर्ति करता है।
अर्थात् 3000 - y ≥0 या y ≤ 3000 ......... (iii)
पेट्रोल पम्प F को 3500 लीटर तेल की आवश्यकता है।
∴ F को डिपो A द्वारा आपूर्ति 7000 - (x + y) हो चुकी है।

या डिपो B पेट्रोल पम्प F को 3500 - (7000 - x - y)
= - 3500 + x + y लीटर तेल की आपूर्ति होती है।
अर्थात् - 3500 + x + y ≥ 0 या x + y ≥ 3500 ...... (iv)
∴ इस समस्या में अवरोध निम्न प्रकार हैं
x + y ≤ 7000, x ≤ 4500, y ≤ 3000, x + y ≥ 3500, x, y ≥ 0
परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर प्रति किलोमीटर ₹ 1 है।
अर्थात् परिवहन व्यय प्रति लीटर प्रति किलोमीटर ₹0.1 है।
परिवहन व्यय जानने के लिए निम्न सारणी की सहायता लेने पर

परिवहन व्यय
Z = 0.7x + 0.6y + 0.3(7000 - x - y) + 0.3(4500 - x) + 0.4(3000 - y) + 0.2 (x + y-3500) = 0.3x + 0.1y + 3950
अब उद्देश्य फलन Z का न्यूनतमीकरण करना है

(i) x + y ≤ 7000 का क्षेत्र
रेखा x + y = 7000, बिन्दु A(7000, 0), B(0, 7000) से होकर जाती है।
x + y ≤ 7000 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 7000 जो सत्य
अर्थात् x + y ≥ 7000 रेखा x + y = 700 पर और उसके नीचे का क्षेत्र है।

(ii) x ≤ 4500 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x = 4500 पर और उसके बायीं ओर स्थित हैं।

(iii) y ≤ 3000 के क्षेत्र बिन्दु रेखा y = 3000 पर और उसके नीचे हैं।

(iv) x + y ≥ 3500 का क्षेत्र रेखा x + y = 3500, बिन्दु (3500, 0), (0, 3500) से होकर जाती है।
x + y ≥ 3500 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 3500 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् x + y ≥ 3000 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 3500 पर हैं या उसके ऊपर हैं।

(v) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।

(vi) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु -अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।

(vii) x + y = 3500 रेखा y = 0 और y = 3000 से क्रमशः
B(3500, 0) और A(500, 3000) पर मिलती है।

(viii) x + y = 7000 रेखा x = 4500 और y = 3000 से क्रमशः
C(4500, 2500) और D(4000, 3000) मिलती है।

(ix) रेखा x = 4500, x-अक्ष पर E(4500, 0) पर मिलती है। इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र ABECD है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं A(500, 3000), B(3500, 0), E(4500, 0), C(4500, 2500) तथा D(4000, 3000)। अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	z का संगत मान Z = 0.3x + 0.1y + 3950
A(500,3000)	4400 → न्यूनतम
B(3500,0)	5000
E(4500,0)	5300
C(4500, 2500)	5550
D(4000, 3000)	5450

परिवहन व्यय ₹4400 रु. न्यूनतम होगा जब डिपो A पेट्रोल पम्प D, E, F को क्रमश: 500, 3000, 3500 लीटर तेल की आपूर्ति करे और डिपो B पेट्रोल पम्प D, E, F को 4000, 0, 0 लीटर तेल की सप्लाई करे।

प्रश्न 8.
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है। मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फॉस्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दी गई है। परीक्षण संकेत देते हैं कि बाग को कम से कम 240 kg फॉस्फोरिक अम्ल, कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है।
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?

हल:
माना कि ब्रांड P के x थैले और ब्रांड Q के y थैले मिलाए जाते हैं।
इन थैलों में नाइट्रोजन की मात्रा = 3x + 3.5y
∴ उद्देश्य फलन Z = 3x + 3.5y का मान न्यूनतम करना है।
मिश्रण में फॉस्फोरिक अम्ल की मात्रा = (x + 2y) kg
या x + 2y ≥ 240
मिश्रण में पोटाश की मात्रा
= 3x + 1.5y
या 3x + 1.5y ≥ 270
मिश्रण में क्लोरीन की मात्रा
= 1.5x + 2y
या 1.5x + 2y ≤ 310

समस्या में अवरोध इस प्रकार हैं
x + 2y ≥ 240, 3x + 1.5y ≥ 270, 1.5x + 2y ≤ 0, 310, x, y ≥ 0

(i) x + 2y ≥ 240 का क्षेत्र-
रेखा x + 2y = 240 बिन्दु A(240, 0), B(0, 120) से होकर जाती है।
x + 2y ≥ 240 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 240 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् x + 2y ≥ 240 के क्षेत्र बिन्दु AB पर और उसके ऊपर हैं।

(ii) 3x + 1.5y ≥ 270-
रेखा 3x + 1.5y = 270 बिन्दु C(90,0) और D(0, 180) से होकर जाती है।
3x + 1.5y ≥ 270 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 270 जो सत्य नहीं है।
अर्थात् 3x + 1.5y ≥ 240 के क्षेत्र बिन्दु CD पर या इसके ऊपर है।

(iii) 1.5x + 2y ≤ 310 का क्षेत्र
रेखा 1.5x + 2y = 310 बिन्दु E (206\(\frac{2}{3}\), 0) और F(0, 155) से होकर जाती है।
1.5x + 2y ≤ 310 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 310 जो सत्य है।
अर्थात् 2.5x + 2y ≤ 310 के क्षेत्र बिन्दु EF पर या इसके नीचे हैं।

(iv) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु रेखा -अक्ष पर उसके दायीं ओर हैं।

(v) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x-अक्ष पर उसके ऊपर हैं।

(vi) AB = x + 2y = 240 और CD = 3x + 1.5y = 270, Q(40, 100) पर मिलती है।

(vii) AB = x + 2y = 240 तथा EF = 1.5x + 2y = 310 बिन्दु R(140, 50) पर मिलती है।

(viii) CD = 3x + 1.5y = 270 और EF = 1.5x + 2y = 310 बिन्दु P(20, 140) पर मिलती है।
इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र त्रिभुज PQR है।
अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं P(20, 140), Q(40, 100) तथा R(140, 50)। अब इन बिन्दुओं पर Z का मान अग्रांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	Z का संगत मान Z = 3x + 3.5y
P(20, 140)	550
Q(40, 100)	470 → न्यूनतम
R(140,50)	595

⇒ x = 40, y = 100 पर Z का मान न्यूनतम है।
नाइट्रोजन की न्यूनतम मात्रा 470 kg है।

प्रश्न 9.
उपरोक्त प्रश्न 8 पर ध्यान दीजिए। यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
हल:
प्रश्न 8 के हल से, Z = 3x + 3.5y
बिन्दु (140, 50) पर Z का मान अधिकतम है। नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा 595 kg. है। जब 140 थैले ब्राण्ड P के और 50 थैले ब्राण्ड Q के मिलाये जाएँ।

प्रश्न 10.
एक खिलौना कम्पनी, A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है। मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है कि सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक से अधिक माँग A प्रकार की गुड़ियों से आधी है। इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अधिक है। यदि कम्पनी A और B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमशः₹12 और ₹16 का लाभ कमाती है। लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए?
हल:
माना कि कम्पनी A प्रकार की x तथा B प्रकार की y गुड़ियों का उत्पादन करती है।
कम्पनी को A प्रकार की गुड़ियों पर ₹12 और B प्रकार की गुड़ियों पर ₹16 का लाभ होता है।
कुल लाभ = 12x + 16y
इस प्रकार उद्देश्य फलन Z = 12x + 16y का अधिकतमीकरण करना है।
दोनों प्रकार की गुड़ियों का अधिकतम उत्पादन = 1200
∴ x + y ≤ 1200 .... (i)
A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन B प्रकार की गुड़िया 3 गुने से अधिक 600 गुड़िया अधिक है।
या x - 3y ≥ 600 ......(ii)
B प्रकार की गुड़ियों की माँग अधिक से अधिक A प्रकार की गुड़ियों से आधी है।
या y ≤ \(\frac{x}{2}\) ........... (iii)
इस प्रकार अवरोध ये हैं
x + y ≤ 1200, x - 3y ≥ 600, y ≤ \(\frac{x}{2}\), x, y ≥ 0

(i) x + y ≤ 1200 का क्षेत्र-
रेखा x + y = 1200 बिन्दु A(1200, 0) और B(0, 1200) से होकर जाती है।
x + y ≤ 1200 में x = 0, y= 0 रखने पर 0 ≤ 1200 जो सत्य है।
अर्थात् x + y ≤ 1200 के क्षेत्र बिन्दु AB पर और उसके नीचे हैं।

(ii) x - 3y ≤ 600 का क्षेत्र-
रेखा x - 3y = 600 बिन्दु C(600, 0), D(0, - 200) से होकर जाती है।
x - 3y ≤ 600 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 600 जो सत्य है।
अर्थात् x + 3y ≤ 600 CD पर और मूल बिन्दु की ओर है। अर्थात् CD के ऊपर हैं।

(iii) y ≤ \(\frac{x}{2}\) या 2y - x ≤ 0 का क्षेत्र
रेखा 2y - x = 0 मूल बिन्दु O और P(800, 400) से होकर जाती है।
2y - x ≤ 0 में x = 200, y = 0 रखने पर - 200 ≤ 0 जोकि सत्य है।
अर्थात् 2y - x ≤ 0 के क्षेत्र बिन्दु OP पर और बिन्दु (200, 0) की ओर है।
अर्थात् इसका क्षेत्र OP के नीचे है।

(iv) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।

(v) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x-अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।

(vi) रेखा AB = x + y = 1200 और OP : 2y - x = 0 बिन्दु P(800, 400) पर मिलती है।

(vii) रेखा CD = x - 3y = 600 और AB = x + y = 1200 बिन्दु Q(1050, 150) पर मिलती है।
इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र OPQC छायांकित है। अर्थात् कोनीय बिन्दु हैं P(800, 400),Q(1050, 150) तथा C(600,0)। अब इन बिन्दुओं पर Z का मान निम्नांकित सारणी के अनुसार ज्ञात करेंगे

कोनीय बिन्दु	Z का संगत मान Z = 12x + 16y
P(800, 400)	16000 → अधिकतम
Q(1050, 150)	15000
C(600,0)	7200

अधिकतम लाभ ₹16000 जो x = 800, y = 400 पर होता है। इस प्रकार अधिकतम लाभ ₹16000 पाने के लिए A प्रकार को 800 और B प्रकार की 400 गुड़ियों का उत्पादन करना चाहिए।