RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.2

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = \(\frac{1}{x}\) द्वारा परिभाषित फलन f : R* → R* एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R* सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रान्त R* को N से बदल दिया जाए, जबकि सहप्रान्त पूर्ववत् R* ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
हल:
(a) (i) f(x) = \(\frac{1}{x}\)
∴ यदि f(x₁) = f(x₂) ⇒ \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\)
= x₁ = x₂ ∀ x₁, x₂ ∈ R
⇒ प्रान्त के भिन्न-भिन्न अवयवों के भिन्न-भिन्न प्रतिबिम्ब हैं।
∴ f एकैकी फलन है।

(ii) हमें दिया है y = \(\frac{1}{x}\), ∴ x = \(\frac{1}{y}\), y ≠ 0 ⇒ \(\frac{1}{y}\)
[क्योंकि \(\frac{1}{y}\) अशून्य वास्तविक संख्या है] सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव, प्रान्त में एक और केवल एक ही अवयव का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक फलन है।
⇒ f एक एकैकी तथा आच्छादक फलन है।

(b) जब प्रान्त को R* को N से बदल दिया जाए तथा सहप्रान्त R* वही रहे तो f : N → R*
यदि f(x₁) = f(x₂) ⇒ \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\) = x₁ = x₂ ∈ N ⇒ f एकैकी है।
परन्तु हो सकता है कि प्रत्येक सहप्रान्त का अवयव प्रान्त के अवयव का प्रतिबिम्ब न हो।
जैसे \(\frac{3}{2}\), सहप्रान्त में है तब f\(\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)
जबकि \(\frac{2}{3}\) ∉ N अर्थात् \(\frac{2}{3}\) प्रान्त में नहीं है।
⇒ f आच्छादक नहीं है।
इस प्रकार f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :
(i) f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
(ii) f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
(iii) f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है।
(iv) (x) = x³ द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
(v) f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
हल:
(i) f: N → N और f(x) = x²
(a) f(x₁) = (x₂) = x₁ = x₂
⇒ (x₁ - x₂) (x₁ + x₂) = 0
⇒ x₁ - x₂ = 0
⇒ x₁ = x₂
क्योंकि x₁ + x₂ > 0 ∀ x₁, x₂ ∈ N
∴ f एकैकी है।

(b) आच्छादक-यहाँ का परिसर
f(N) = {1², 2², 3², 4²,...}
= {1, 4, 9, 16,....}
≠ N (सहप्रान्त)
N आच्छादक फलन नहीं है।

(ii) f : Z → Z जबकि f(x) = x²
(a) f(- 1) = f(1) = 1 ⇒ - 1 और 1 का प्रतिबिम्ब भिन्न नहीं है।
⇒ f एकैकी नहीं है। साथ ही सहप्रान्त में ऐसे अवयव हैं जो प्रान्त के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे सहप्रान्त में अवयव, 2, 3, 5, 6 आदि प्रान्त के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं।
⇒ f आच्छादक नहीं है।
अतः f एकैकी नहीं है और न ही आच्छादक है।

(iii) f : R → R जबकि (x) = x²
(- 1)² = 1² ⇒ f(- 1) = f(1) = 1
अतः - 1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है जबकि - 1 ≠ 1
∴ f एकैकी नहीं है। साथ ही - 2 सहप्रान्त में है परन्तु यह प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
⇒ f आच्छादक नहीं है।
∴ f न तो एकैकी और न ही आच्छादक है।

(iv) f : N → N जबकि f(x) = x
f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁³ = x₂³
⇒ x₁³ - x₂³ = 0
⇒ (x₁ - x₂) (x₁² + x₂² + x₁x₂) = 0
⇒ x₁ - x₂
क्योंकि x₁² + x₂² + x₁x₂ > 0
∴ f(x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂, ∀ x₁, x₂ ∈ N
∴ f एकैकी है। साथ ही सहप्रान्त के बहुत से ऐसे अवयव हैं जो प्रान्त के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे 2, 3, 4, आदि ये प्रान्त के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। अतः f आच्छादक नहीं है।
⇒ f एकैकी है परन्तु अच्छादक नहीं है।

(v) f: Z → Z जबकि f(x) = x³
f(x₁) = (x₂)
x₁³ = x₂³ ⇒ x₁ = x₂, ∀ x₁, x₂ ∈ Z
f एकैकी है। साथ ही f के सहप्रान्त के बहुत से अवयव हैं जो प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे 2, 3, 5, आदि
∴ f आच्छादक नहीं है।
⇒ f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन f: R → R. न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
हल:
f: R → R जबकि (x) = [x] = महत्तम पूर्णांक फलन
f(1.3) = 1, f(1.6) = 1
∴ 1.3 और 1.6 का प्रतिबिम्ब एक ही है। इसलिए f एकैकी नहीं है। साथ ही. प्रान्त f में x ∈ R का प्रतिबिम्ब एक पूर्णांक है। अतः सहप्रान्त का अवयव जो पूर्णांक न हो, वह प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
⇒ f न ही एकैकी है और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = |x| द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f: R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ |x| बराबर x, यदि x धन या शून्य है तथा |x| बराबर - x, यदि x ऋण है।
हल:
f : R → R जबकि f(x) = |x|
अतः f(-1) = |- 1| = 1, f(1) = |1| = 1
- 1 और 1 का एक ही प्रतिबिम्ब है जबकि - 1 ≠ 1, अतः fएकैकी नहीं है।
साथ ही सहप्रान्त की कोई भी ऋणात्मक संख्या f-प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। अत: f आच्छादक नहीं है।
⇒ f न एकैकी है और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि f : R → R,

द्वारा प्रदत्त चिह्न फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल:
f: R → R जबकि

अतः (1) = [12) = 1
1 और 2 का एक ही - प्रतिबिम्ब है जबकि 1 + 2 अतः f- एकैकी नहीं है।
1, 0, - 1 ही प्रतिबिम्ब है। अन्य कोई भी संख्या प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
अतःf आच्छादक नहीं है।
⇒ f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा : f = {(1; 4), (2,5), (3,6)} A से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।
हल:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7}
f: A → B इस प्रकार है कि f= {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
A के भिन्न-भिन्न अवयवों के भिन्न-भिन्न प्रतिबिम्ब B में है।
∴ f एकैकी है क्योंकि (1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6

प्रश्न 7.
निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
(i) f(x) = 3 - 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
(ii) f(x) = 1 + x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
हल:
(i) f: R → R इस प्रकार है कि f(x) = 3 - 4x
अतः (x₁) = f(x₂) = 3 - 4x₁ = 3 - 4x₂ = x₁ = x₂, V x₁, x₂ ∈ R अतः f एकैकी. फलन है।
तथा (x) = y = 3 - 4x
∴ x = \(\frac{3-y}{4}\) ∈ R
∴ y के प्रत्येक मान के लिए x का एक ही मान है। अर्थात् सहप्रान्त के प्रत्येक अवयव का प्रान्त में पूर्व प्रतिबिम्ब विद्यमान है।
∴ f आच्छादक है।
⇒ f एकैकी है तथा आच्छादक है।

(ii) f : R → R इस प्रकार है कि f(x) = 1 + x²
अतः f(- 1) = 1 + 1 = 2,
f(1) = 1 + 1 = 2
f(- 1) = f(1)
- 1 और 1 दोनों का एक प्रतिबिम्ब है जबकि -1 ≠ 1 अत: f एकैकी नहीं है।
साथ ही सहप्रान्त की कोई भी ऋणात्मक संख्या प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। अत: f आच्छादक नहीं है।
⇒ f न ही एकैकी है और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि
f: A × B → B × A, इस प्रकार कि f(a, b) = (b, a)
एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
हल:
f: (A - B) → (B × A) इस प्रकार है कि f(a, b) = (b, a) ∀ (a, b) ∈ A × B
अत: f(a₁, b₂) = f(a₂, b₂) = (b₁, a₁) = (b₂, a₂)
∴ b₁ = b₂ और a₁ = a₂
अतः f एकैकी है। साथ ही सहप्रान्त का सदस्य (p, q) प्रान्त के (q, p) का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक है।
⇒ f एकैकी तथा आच्छादक है।

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए, यदि n विषम है

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल:
f : N → N इस प्रकार परिभाषित है कि

अत: f(1) = \(\frac{1+1}{2}\) = 1, f(2) = \(\frac{2}{2}\) = 1
1 और 2 का f- प्रतिबिम्ब 1 है जबकि 1 ≠ 2, अतःf एकैकी नहीं है। साथ ही सहप्रान्त का प्रत्येक सदस्य प्रान्त के किसी न किसी सदस्य का प्रतिबिम्ब है। जैसे 1, संख्या 1 और 2 का प्रतिबिम्ब है। अतः f आच्छादक है।
⇒ f एकैकी नहीं है परन्तु आच्छादक है।

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि A = R - {3} तथा B = R - {1} हैं। f(x) = \(\left(\frac{x-2}{x-3}\right)\) द्वारा परिभाषित फलन f: A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल:
f:R - {3} → R - {1}, f(x) =\(\left(\frac{x-2}{x-3}\right)\), माना A = R - {3}, B = R - {1)
एकैकी-माना x₁, x₂ A, इस प्रकार है कि f(x₁) = f(x₂)
⇒ f(x₁) = f(x₂)
\(\frac{x_1-2}{x_1-3}=\frac{x_2-2}{x_2-3}\)
⇒ (x₁ - 2)(x₂ - 3) = (x₁ - 3)(x₂ - 2)
⇒ x₁x₂ - 3x₁ - 2x₂ + 6 = x₁x₂ - 2x₁ - 3x₂ + 6
⇒ -3x₁ - 2x₂ = -2x₁ - 3x₂
⇒ - 3x₁ + 2x₁ = - 3x₂ + 2x₂
⇒ -x₁ = —x₂ अतः फलन f एकैकी है।

आच्छादक: माना y = f(x) = \(\frac{x-2}{x-3}\)
⇒ y (x - 3) = x - 2
⇒ xy - 3y = x - 2
⇒ y - x = 3y - 2
⇒ x = \(\frac{3 y-2}{y-1}\), y ≠ 1
अर्थात् सहप्रान्त B में y के प्रत्येक मान का पूर्व प्रतिबिम्ब प्रान्त A में विद्यमान है, अतः दिया गया फलन आच्छादक है। अतः f-एकैकी आच्छादक है।

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि f : R → R, f(x) = x⁴ द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए :
(A)f एकैकी आच्छादक है
(B) f बहुएक आच्छादक है
(C) f एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है
(D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल:
f : R → R, f (x) = x⁴
- 2, 2 ∈ R
f (-2) = (-2)⁴ = 16
और f (2) = (2)⁴ = 16
f (-2) = f (2) परन्तु - 2 ≠ 2
अतः फलन एकैकी नहीं है। पुनःf का प्रतिबिम्ब समुच्चय R = [0, ∞] ≠ R
अतः फलन - आच्छादक नहीं है। अतः फलन न एकैकी है और न आच्छादक है। .
अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 12.
मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है। सही उत्तर चुनिए :
(A) f एकैकी आच्छादक है
(B) f बहुएक आच्छादक है
(C) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(D) fन तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल:
f: R → R, f(x) = 3x
माना x₁x₂ ∈ R इस प्रकार है कि f (x₁) = f (x₂)
∴ f (x₁) = f (x₂) ⇒ 3x₁ = 3x₂ ⇒ x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।
पुनः माना y = f (x) = 3x
⇒ x = \(\frac{1}{3}\)y ∈ R, ∀ y ∈R
अर्थात् y ∈ R के प्रत्येक अवयव का पूर्व प्रतिबिम्ब प्रान्त R में विद्यमान है। अतः फलन आच्छादक है। अतः f एकैकी आच्छादक है। अतः सही विकल्प (A) है।