RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 द्विपद प्रमेय विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths in Hindi Medium & English Medium are part of RBSE Solutions for Class 11. Students can also read RBSE Class 11 Maths Important Questions for exam preparation. Students can also go through RBSE Class 11 Maths Notes to understand and remember the concepts easily.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
यदि (a + b) के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b और n ज्ञात कीजिए।
हल:
(a + b)n के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः an, nC1 an - 1 b तथा nC2 an -2 b2 हैं। प्रश्नानुसार
an = 729 ............... (1)
n an - 1 b = 7290 .................. (2)
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली 1

प्रश्न 2.
यदि (3 + ax)9 के प्रसार में x2 तथा x3 के गुणांक समान हों, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(3 + ax)9 = 9C0 (3)9 + 9C1 (3)8 (ax)1 + 9C2 (3)7 (ax)2 + 9C3 (3)6 (ax)3 + ..................... + 9C9 . (ax)9
उक्त प्रसार में x2 का गुणांक = 9C2 (3)7 (ax)2
तथा x3 का गुणांक = 9C3 (3)6 (ax)3
प्रश्नानुसार 9C2 (3)7 (ax)2 = 9C3 (3)6 (ax)3
या 9C2 (3) = 9C3 a
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली 2

प्रश्न 3.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए गुणनफल (1 + 2x)6 (1 - x)7 में x5 का गुणांक ज्ञात कीजिए ।
हल:
द्विपद प्रमेय के आधार पर
(1 + 2x)6 = 6C0 + 6C1 (2x)1 + 6C1 (2x)2 + 6C3 (2x)3 + 6C4 (2x)4 + 6C5 (2x)5 + 6C1 (2x)6
= 1 + 6 (2x) + 15 (4x22) + 20 (8x3) + 15 (16x4) + 6 (32) x5 + 64x6
= 1 + 12x + 60x2 + 160x3 + 240x4 + 192x5 + 64x6
इसी प्रकार
(1 - x)7 = 7Co - 7C1 x1 + 7C2 x2 - 7C3 x3 + 7C4 x4 - 7C5 x5 + 7C6 x6 - 7C7 x7
= 1 - 7x + 21x2 - 35x3 + 35x4 - 21x5 + 7x6 - x7
अतः प्रश्नानुसार (1 + 2x)6 . (1 - x)7
= (1 + 12x + 60x2 + 160x3 + 240x4 + 192x5 + 64x6) . (1 - 7x + 21x2 - 35x3 + 35x4 - 21x5 + 7x6 - x7)
इनके गुणनफल में से X वाले पदों को लेने पर
1 . (- 21x5) + (12x) (35x4) + (60x2) (- 35x2) + (160x3) (21x2) + (240x4) (-7x) + (192x5) . 1
अतः x5 वाले पदों का गुणांक = - (21) + (12) (35) + (60) (- 35) + (160) (21) + (240) (- 7) + 192
= - 21 +420 2100 + 3360 – 1680 + 192
= 3972 - 3801
= 171

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली 

प्रश्न 4.
यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि (an - bn) का एक गुणनखण्ड (a - b) है, जबकि n एक धन
पूर्णांक है। [संकेत : an = (a - b + b)n लिखकर प्रसार कीजिए। ]
हल:
a = b + (a - b)
∴ an = [b + (a - b)]n
= bn + nC1 bn - 1 (a - b) + nC2 bn - 2 (a - b)2 + ................ + nCn (a - b)n
∴ an - bn = nC1 bn - 1 (a - b) + nC2 bn - 2 (a - b)2 + .................. + nCn (a - b)n
= (a - b) [nC1 bn - 1 + nC2 bn - 2 (a - b) + ................. + nCn (a - b)n - 1]
स्पष्ट होता है कि an - bn का एक गुणनखण्ड (a - b) है।

प्रश्न 5.
(√3 + √2)6 - (√3 - √2)6 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(√3 + √2)6 - (√3 - √2)6
माना कि √3 = a तथा √2 = b
∴ (a + b)6 = a6 + 6C1 a5b + 6C2 a4 b2 + 6C3 a3 b3 + 6C5 ab5 +6C6 ab6
= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6 .................... (1)
इसी प्रकार (a - b)6 = a6 - 6a5b + 15a4b2 - 20a3b3 + 15a2b4 - 6ab5 + b6 .................... (2)
∴ (a + b)6 - (a - b)6 = 2 (6a5b + 20a3b3 + 6ab3) = 4ab (3a4 + 10a2b2 + 3b4)
यहाँ a व b का मान रखने पर
(√3+ √2)6 - (√3-√2)6
= 4√3 √2 |3(√3)4 + 10(√3)2 (√2)2 +3(√2)4]
= 4√6 (27 + 60 + 12)
= 4√6 × 99 = 396 √6

प्रश्न 6.
\(\left(a^2+\sqrt{a^2-1}\right)^4+\left(a^2-\sqrt{a^2-1}\right)^4\) का मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली 6
अन्य पदों की उपेक्षा करने पर
= 2 [a3 + 6a2 \(\left(\sqrt{a^2-1}\right)^2 + \left(\sqrt{a^2-1}\right)^4\)]
= 2 [a3 + 6a2 (a2 - 1) + (a2 - 1)2]
= 2 [a8 + 6a6 - 6a4 + a4 - 2a2 + 1]
= 2 [a8 + 6a6 - 5a2 - 2a2 + 1]
= 2a8 + 12a6 - 10a4 - 4a2 + 2

प्रश्न 7.
(0.99)5 के प्रसार के पहले तीन पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
(0.99)5 = (1 - 0.01)5
[5C0 (1)3 + 5C1 (1)4 (- 0.01) + 5C2 (1)3 (- 0.01)2 + 5C3 (1)2 (- 0.01)3 + 5C4 (1) (- 0.01)4 + 5C5 (- 0.01)3
प्रथम तीन पदों का प्रयोग करने पर
= [5C0 (1)3 + 5C1 (1)4 (- 0.01) + 5C2 (1)3 (- 0.01)2]
= 1 + 5 (- 0.01) + 10 (- 0.01)2
= 10.05 + 0.001
= 1.001 - 0.05
= 0.951 (लगभग)

प्रश्न 8.
यदि \(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n\) के प्रसार में आरम्भ से 5वें और अन्त से 5वें पद का अनुपात √6 : 1 हो तो n ज्ञात कीजिए ।
हल:
(a + b)n के विस्तार में व्यापक पद Tr+1 = nCr an-r. br
अतः \(\left[\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right]^n\) के विस्तार में आरम्भ से पाँचवाँ पद
T5 = T4+1= nC4 (4√2 )n-4\(\left[\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right]^4\) = nC4 \((2)^{\frac{n-4}{4}} \cdot\left(\frac{1}{3}\right)\)
प्रसार में पदों की कुल संख्या = n+ 1
अतः अन्त से 5वाँ पद = प्रारम्भ के [(n + 1) - 5 + 1]वें पद के
बराबर
अन्त से 5वां पद = प्रारम्भ से (n - 3 ) वाँ पद
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली 5

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली

प्रश्न 9.
\(\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4\), x ≠ 0 का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए ।
हल:
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली 3
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली 4

प्रश्न 10.
(3x2 - 2ax + 3a2)3 का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए ।
हल:
(3x2 - 2ax + 3a2)3
माना कि 2ax + 3a2 = y
(3x2 - 2ax + 3a2)3 = (3x2 + y)3
= 3C0 (3x2)3 + 3C1 (3x2)2. y + 3C2 (3x2)1 . y2 + 3C3 y3
= 27x6 + 3 (9x4) y + 3 (3x2) y2 + y3
= 27x6 + 27x4y + 9x2y2 + y3
= 27x6 + 27x4 (− 2ax + 3a2) + 9x2 (− 2ax + 3a2)2 +(-2ax + 3a2)3
= 27x6 - 54ax5 + 81a2x4 + 9x2 [(4a2x2) - 2 (ax) (3a2) + 9a4] + (3a2)3 - 3 (3a2)3 (2ax) + 3 (3a2) (2ax)2 - (2ax)3
= 27x6 - 54ax3 + 81a2x2 + 36a2x2 - 108a3x3 + 81a4x2 + 27a6 − 54a3. x + 36a2x2 - 8a3x3
= 27x6 - 54ax2 + 117a2x4 - 116a3x3 + 117a4x2 - 54a3x + 27a6

Prasanna
Last Updated on Feb. 4, 2023, 3:49 p.m.
Published Feb. 4, 2023