RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.1
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RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.1
प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक का प्रसार कीजिए:
प्रश्न 1.
(1 - 2x)5
हल:
हम जानते हैं कि
प्रश्नाव
(a + b)n = nCo an + nC1 an - 1 b + nC2 an - 2 b2 + ................... + nCr an - r br + ..................... + bn
प्रश्नानुसार (1 - 2x)5 = [1 + (- 2x)]5
सूत्र में a = 1, b = - 2x तथा n = 5 रखने पर
(1 - 2x)5 = 5Co + 5C1 (- 2x) + 5C2 (- 2x)2 + 5C3 (- 2x)3 + 5C4 (- 2x)4 + 5C5 (- 2x)5
= 1 + 5 (- 2x) + 10 (- 2x)2 + 10 (- 2x)3 + 5 (- 2x)4 + (- 2x)5
= 1 - 10x + 40x2 - 80x3 + 80x4 - 32x5
प्रश्न 2.
\(\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^5\)
हल:
द्विपद प्रमेय से हम जानते हैं कि
(a + b)n = nCo an + nC1 an - 1 b + nC2 an - 2 b2 + ......................... + nCr an - r br + ................... + bn
प्रश्न 3.
(2x - 3)6
हल:
द्विपद प्रमेय से हम जानते हैं कि
(a + b)n = nCo an + nC1 an - 1 b + nC2 an - 2 b2
प्रश्नानुसार (2x - 3)6 = [2x + (- 3)]6
= 6Co . (2x)6 (-3)0 + 6C1 (2x)5 ̧. (- 3)1 + 6C2 (2x)4 (- 3)2 + 6C3 (2x)3 (- 3x)3 + 6C4 (2x)2 (- 3x)4 + 6C5 (2x)1 (- 3x)5 + 6C6 (2x) (- 3)6
= 1 (2x)6 + 6 (2x)5 (- 3) + 15 (2x)4 (- 3)2 + 20 (2x)3 (- 3)3 + 15 (2x)2 (- 3)4 + 6 (2x) (- 3)5 + (- 3)6
= 64x6 - 576x5 + 2160x4 - 4320x3 + 4860x2 - 2916x + 729
प्रश्न 4.
\(\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^5\)
हल:
द्विपद प्रमेय के आधार पर हम जानते हैं कि
(a + b)n = nCo an + nC1 an-1 b + nC2 an - 2 b2 + ................. + nCr an-r br + .................. + bn
प्रश्न 5.
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^6\)
हल:
द्विपद प्रमेय के आधार पर हम जानते हैं कि
(a + b)n = nCo an + nC1 an - 1 b + nС2 an - 2. b2 + ................ + nCr an - r . br + ................. + bn
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 6.
(96)3
हल:
96 = 100 - 4 लिखने पर
(96)3 = (100 - 4)3
= 3C0 (100)3 - 3C1 (100)2 (4) + 3C2 (100)1 (4)2 - 3C3 (4)3
= 1000000 - 3 (10000) (4) + 3 (100) 16 - 64
= 1000000 - 120000 + 4800 - 64
= 1004800 - 120064.
= 884736
प्रश्न 7.
(102)5
हल:
102 = (100 + 2) लिखने पर
(102)3 = (100 + 2)5
= 3Co (100)5 + 5C1 (100)4 (2) + 5C2 (100)3 + 5C3 (100)2 (2)3 + 5C4 (100) (2)4 + 5C5 (2)5
= 10000000000 + 5 (100000000) (2) + 10 (1000000) (4) + 10 (10000) (8) + 5 (100) (16) + 32
= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32
= 11040808032
प्रश्न 8.
(101)4
हल:
101 = 100 + 1 लिखने पर
(100 + 1)4 = 4C0 (100)4 + 4C1 (100)3 (1) + 4C1 (100)3 (1)2 + 4C3 (100)1 (1)3 + 4C4 (1)4
= 100000000 + 4 (1000000) + 6 (10000) + 4 (100) + 1
= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1
= 104060401
प्रश्न 9.
(99)5
हल:
99 = 100 - 1 लिखने पर
(99)5 = (100 - 1)5
= 5Co (100)5 - 5C1 (100)4 . 1 + 5C2 (100)3 . (1)2 - 5C3 (100)2 . (1)3 + 5C4 (100)1 (1)4 - 5C5 (1)5
= (100)5 - 5 × (100)4 + 10 × (100)3 - 10 × (100)2 + 5 × 100 - 1
= 10000000000 - 500000000 + 10000000 - 100000 + 500 - 1
= 10010000500 - 500100001
= 9509900499
प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौनसी संख्या बड़ी (1.1)10000 या 1000.
हल:
द्विपद प्रमेय की सहायता से (1.1)10000 का विस्तार करने पर
(1.1)10000 = (1 + 0.1)10000
= 10000Co + 10000C1 (0.1) + 10000C2 (0.1)2 + अन्य धनात्मक पद
= 1 + 10000 × (0.1 ) + अन्य धनात्मक पद
= 1 + 1000 + अन्य धनात्मक पद
= 1001 + अन्य धनात्मक पद
जो कि 1000 से बड़ी संख्या प्राप्त होगी। अतः
(1.1)10000 > 1000
प्रश्न 11.
(a + b)4 - (a - b)4 का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके (√3 + √2)4 - (√3 - √2)4 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार (a + b)4 - (a - b)4
= [4Co a4 + 4C1 a3b + 4C2 a2b2 + 4C1 ab3 + 4C4 b4] - [4Co a4 - 4C1 a3b + 4C2 a2b2 - 4C3 ab3 + 4C4 b4]
= (a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4) - (a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4)
= 2 [4a3b - 4ab3]
= 8ab (a2 + b2)
इसमें प्रश्नानुसार a = √3 तथा b = √2 रखने पर
(√3 + √2)4 - (√3 - √2)4
= 8. √3 . √2 [(√3)2 + (√2)2]
= 8.√6 (3 + 2)
= 8 √6 (5) = 40 √6
प्रश्न 12.
(x + 1)6 + (x - 1)6 का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा (√2 + 1)6 + (√2 - 1)6 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार (x + 1)6 + (x - 1)6
= [6Co x6 + 6C1 x5 + 6C2 x4 + 6C3 x3 + 6C4 x2 + 6C5 x + 6C6]
= (x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1) + (x6 - 6x5 + 15x4 - 20x3 + 15x2 - 6x + 1)
= 2[x6 + 15x4 + 15x2 + 1]
अब x = √2 रखने पर
(√2 + 1)6 + (√2 - 1)6 = 2[(√2)6 + 15(√2)4 + 15 (√2)2 + 1]
= 2 [8 + 15 (4) + 15 (2) + 1]
= 2 [8 + 60 + 30 + 1]
= 2 × 99 = 198
प्रश्न 13.
दिखाइए कि 9n + 1 - 8n - 9, 64 से विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:
प्रश्नानुसार = 9n + 1 - 8n - 9
n = 1 रखने पर = 91 + 1 - 8(1) - 9 = 92 - 8 - 9
= 81 - 17 = 64
n = 1 रखने पर
= 92 + 1 - 8(2) - 9
= 93 - 16 - 9 = 729 - 25
= 704 = 11(64)
इसी प्रकार n = 3, 4, 5, ............... रखने पर मान प्राप्त होंगे।
अब 9n + 1 - 8n - 9 = 9 (8 + 1)n - 8n - 9
= 9 [nC0 + nC1 . 8 + nC2 . 82 + .................... + nCn . 8n] - 8n - 9
= 9[1 + 8n + nC2 . 82 + .................... + nC2 . 8n] - 8n - 9
= 9 + 72n + 9 . nC2 . 82 + .................... + 9 . nCn . 8n - 8n - 9
= 64n + 9 . nC2 . 82 + .................... + 9 . nCn . 8n
= 82 [n + 9 {nC2 + nC3 . 8 + .......................... + nCn . 8n - 2}]
जो कि 64 से विभाज्य है, जहाँ n एक धनपूर्णांक है।
प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि \(\sum_{r=0}^n\) 3r nCr = 4n
हल:
L.H.S. = \(\sum_{r=0}^n\) 3r nCr
= nC0 + nC1 . 3 + nC2 . 32 + nC3 . 33 + ....................... + nCn . 3n
= 1 + nC1 . 3 + nC2 . 32 + nC3 . 33 + .................. + nCn . 3n
= (1 + 3)n = 4n = R.H.S.
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