RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 प्रायिकता विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 16 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
एक डिब्बे में 10 लाल, 20 नीली व 30 हरी गोलियाँ रखी हैं। डिब्बे से 5 गोलियाँ यादृच्छया निकाली जाती हैं । प्रायिकता क्या है कि
(i) सभी गोलियाँ नीली हैं?
(ii) कम से कम एक गोली हरी है ?
हल:
गोलियों की संख्या = 10 + 20 + 30 = 60
(i) 60 गोलियों में से 5 गोलियाँ निकालने के प्रकार = n(S) = ⁶⁰C₅
∴ n(S) = ⁶⁰C₅
20 नीली गोलियाँ हैं । इनमें से 5 गोलियाँ चुनने के प्रकार = ²⁰C₅
अत: 5 नीली गोलियाँ निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{{ }^{20} \mathrm{C}_5}{{ }^{60} \mathrm{C}_5}\)

(ii) P (कम से कम एक गोली हरी है )
= 1 - P (पाँचों गोलियाँ नीली या लाल हैं )
= 1 - \(\frac{{ }^{30} \mathrm{C}_5}{{ }^{60} \mathrm{C}_5}\)

प्रश्न 2.
ताश के 52 पत्तों की एक अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से 4 पत्ते निकाले जाते हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि निकाले गए पत्तों में 3 ईंट और एक हुकुम का पत्ता है?
हल:
52 पत्तों की ताश की गड्डी में से 4 पत्ते निकालने के प्रकार = ⁵²C₄
∴ n(S) = ⁵²C₄
3 ईंट के पत्ते निकालने के तरीके = ¹³C₃
1 हुकुम का पत्ता निकालने के तरीके = ¹³C₁
∴ 3 ईंट और 1 हुकुम का पत्ता निकालने के तरीके = ¹³C₃ × ¹³C₁
अतः अनुकूल परिणामों की संख्या = ¹³C₃ × ¹³C₁
अर्थात् 3 ईंट और एक हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{{ }^{13} \mathrm{C}_3 \times{ }^{13} \mathrm{C}_1}{{ }^{52} \mathrm{C}_4}\)

प्रश्न 3.
एक पासे के दो फलकों में से प्रत्येक पर संख्या '1' अंकित है, तीन फलकों में प्रत्येक पर संख्या '2' अंकित है और एक फलक पर संख्या '3' अंकित है । यदि पासा एक बार फेंका जाता है, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए-
(i) P(2)
(ii) P(1 या 3)
(iii) P(3-नहीं)
हल:
एक पासे को फेंके जाने पर कुल सम्भावित परिणाम = 6
(i) अंक 2, पासे के तीन फलकों पर अंकित है अत: 2 अंक प्राप्त करने के तरीके = 2
∴ P(2) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) दो फलकों पर अंक 1 अंकित है । अत: 1 अंक प्राप्त करने के तरीके = 2
3 अंक एक ही फलक पर अंकित है अत: 3 अंक प्राप्त करने के तरीके = 1
इस प्रकार 1 या 3 अंक प्राप्त करने के कुल तरीके = 2 + 1 = 3
अत: P (1 या 3) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(iii) पासे के छ: फलकों में से 3 केवल एक फलक पर ही अंकित है। अत: 3 प्राप्त न करने के तरीके = 6 - 1 = 5
∴ P(3-नहीं) = \(\frac{5}{6}\)

प्रश्न 4.
एक लाटरी में 10000 टिकट बेचे गए जिनमें दस समान इनाम दिए जाने हैं। कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता क्या है यदि आप (a) एक टिकट खरीदते हैं (b) दो टिकट खरीदते हैं (c) 10 टिकट खरीदते हैं?
हल:
लाटरी टिकटों की कुल संख्या = 10000
कुल इनामों की संख्या = 10
ऐसे टिकटों की संख्या जिन पर ईनाम नहीं है = 10000 - 10 = 9990
माना कि कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता P है तो

प्रश्न 5.
100 विद्यार्थियों में से 40 और 60 विद्यार्थियों के दो वर्ग बनाए गए हैं। यदि आप और आपका एक मित्र 100 विद्यार्थियों में हैं तो प्रायिकता क्या है कि
(a) आप दोनों एक ही वर्ग में हों?
(b) आप दोनों अलग-अलग वर्गों में हों?
हल:
माना कि 100 विद्यार्थियों में से 40 तथा 60 विद्यार्थियों के दो वर्ग A तथा B हैं ।
(a) माना कि मैं तथा मेरा मित्र दोनों एक ही वर्ग में आते हैं।
∴ 98 विद्यार्थियों में से 38 विद्यार्थी चुने जाते हैं । अत: 98 विद्यार्थियों में से 38 विद्यार्थी चुनने के तरीके = ⁹⁸C_{38
बिना किसी शर्त के 100 में से 40 विद्यार्थी चुनने के तरीके n(S) = ¹⁰⁰C40}

(i) दोनों के एक ही वर्ग (A) में प्रवेश की प्रायिकता = \(\frac{{ }^{98} \mathrm{C}_{38}}{{ }^{1100} \mathrm{C}_{40}}\)

(ii) यदि हम दोनों वर्ग B में प्रवेश लेते हैं तब 98 विद्यार्थियों में से 58 विद्यार्थी चुनने के तरीके = ⁹⁸C₅₈
तथा 100 विद्यार्थियों में से 40 विद्यार्थी चुनने के तरीके = ¹⁰⁰C₆₀
अतः प्रवेश की प्रायिकता

अतः यदि हम दोनों वर्ग A या वर्ग B में प्रवेश पाते हैं तो उसकी प्रायिकता
= \(\frac{26}{165}+\frac{59}{165}\)
= \(\frac{85}{165}=\frac{17}{33}\)

(b) हम दोनों विद्यार्थियों के विभिन्न वर्गों में प्रवेश पाने की प्रायिकता
= 1 - P (दोनों एक ही वर्ग के हों)
= 1 - \(\frac{17}{33}\) = \(\frac{17}{33}\)
= \(\frac{16}{33}\)

प्रश्न 6.
तीन व्यक्तियों के लिए तीन पत्र लिखवाए गए हैं और प्रत्येक के लिए पता लिखा एक लिफाफा है। पत्रों को लिफाफों में यादृच्छया इस प्रकार डाला गया कि प्रत्येक लिफाफे में एक ही पत्र है । प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में डाला गया है।
हल:
सही पत्र डाले जाने की कुल सम्भावनाएँ = 3 × 2 × 1 = 6
जिनके पत्र सही लिफाफे में न डाले जाने के प्रकार
= 2 × 1 × 1 = 2
अतः सही पत्र सही लिफाफे में डाले जाने की प्रायिकता
= \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
अतः कम से कम एक पत्र सही लिफाफे में डाले जाने की प्रायिकता
= 1 - \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 7.
A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A) = 0.54, P(B) = 0.69 और P(A ∩ B) = 0.35. ज्ञात कीजिए-
(i) P(A ∪ B)
(ii) P(A' ∩ B')
(iii) P(A ∩ B')
(iv) P(B ∩ A')
हल:
(i) P (A ∪ B)
हम जानते हैं कि
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 0.54 + 0.69 - 0.35
= 0.88

(ii) P(A' ∩ B') = P(A ∩ B)'
= 1 - P(A ∪ B)
= 1 - 0.88
= 0.12

(iii) P(A ∩ B) = P(A - B) = P(A) - P (A ∩ B)
= 0.54 - 0.39 = 0.19

(iv) P(B ∩ A')
= P(B - A) = P (B) - P (B ∩ A)
= 0.69 - 0.35
= 0.34

प्रश्न 8.
एक संस्था के कर्मचारियों में से 5 कर्मचारियों का चयन प्रबंध समिति के लिए किया गया है । पाँच कर्मचारियों का ब्यौरा निम्नलिखित है-

इस समूह से प्रवक्ता पद के लिए यादृच्छया एक व्यक्ति चयन किया गया। प्रवक्ता के पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आ का होने की क्या प्रायिकता है?
हल:
कुल व्यक्तियों की संख्या = 5
माना कि चुने गए व्यक्तियों में से पुरुष चुनने की घटना A तथ 35 वर्ष से अधिक को चुनने की घटना B है तो
P(A) = \(\frac{{ }^3 \mathrm{C}_1}{{ }^5 \mathrm{C}_1}\) = \(\frac{3}{5}\)
तथा P(B) = \(\frac{{ }^2 \mathrm{C}_1}{{ }^5 \mathrm{C}_1}\) = \(\frac{2}{5}\)
यदि A तथा B घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं तो
P (A ∩ B) = P(35 वर्ष से अधिक का पुरुष) = \(\frac{1}{5}\)
P(A ∪ B) = P(या तो पुरुष या 35 वर्ष से ऊपर)
= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= \(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)

प्रश्न 9.
यदि 0, 1, 3, 5 और 7 अंकों द्वारा 5000 से बड़ी चार अंकों की संख्या का यादृच्छया निर्माण किया गया हो तो पाँच से भाज्य संख्या के निर्माण की क्या प्रायिकता है जब,
(i) अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए ?
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की जाए ?
हल:
5000 से चार अंकों की बड़ी संख्या जो 0, 1, 3, 5, 7 से बनानी है ।
(i) जब अंकों की पुनरावृत्ति नहीं हो-
चार अंकों 5000 से बड़ी संख्या बनाने के लिए प्रथम अवयव 5 लेना होगा। शेष तीन स्थान चार अंकों से भरने के कुल प्रकार = 4 × 3 × 2 = 24
पुन: जब प्रथम स्थान पर 7 लें, तो शेष तीन स्थानों को भरने के कुल प्रकार = 4 × 3 × 2
अतः 4 अंकों की संख्या जो 5000 से अधिक हो की कुल संख्या
होगी = 24 + 24 = 48
∴ n(S) = 48
अब 5 से भाज्य होने के लिए अनुकूल स्थितियाँ निम्न प्रकार होंगी

ऊपर दिखाई गई प्रत्येक स्थिति में II एवं III स्थान को भरने की
अनुकूल स्थिति = \(\lfloor 3\) = 6
अतः 5 से भाज्य अंकों की कुल अनुकूल स्थितियाँ
= 6 + 6 + 6 = 18
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{18}{48 }= \frac{3}{8}\)

(ii) जब अंकों की पुनरावृत्ति हो -
चार अंकों की संख्या जो 5 हजार से बड़ी हो का प्रथम अवयव 5 या 7 होगा। शेष तीन स्थान भरने के प्रकार = 5 × 5 × 5 = 125
अत: 5 या 7 से प्रारम्भ 4 अंकों की संख्या = 125 + 125 = 250 5 से भाज्य होने की अनुकूल स्थितियाँ निम्न होंगी-

प्रत्येक स्थिति में बीच के दो स्थान भरने के प्रकार = 5 × 5 = 25
अतः 5 से भाज्य होने की अनुकूल स्थितियाँ = 4 × 25 = 100
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{100}{250}=\frac{2}{5}\)

प्रश्न 10.
किसी अटैची के ताले में चार चक्र लगे हैं जिनमें प्रत्येक पर 0 से 9 तक 10 अंक अंकित हैं। ताला चार अंकों के एक विशेष क्रम (अंकों की पुनरावृत्ति नहीं ) द्वारा ही खुलता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई व्यक्ति अटैची खोलने के लिए सही क्रम का पता लगा ले?
हल:
पहले स्थान पर कोई अंक 10 तरीकों से ही लगाया जा सकता है अर्थात् प्रश्नानुसार यहाँ 0, 1, 2, 3, ..........., 9 में से कोई भी अंक हो सकता है।
दूसरे, तीसरे व चौथे स्थान को क्रमश: 9 × 8 × 7 तरीकों से ही भरा जा सकता है ।
अतः यदि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए तो चार अंकों की संख्या बनने के कुल तरीके
= 10 × 9 × 8 × 7 = 5040
ताले को खोलने के लिए सही क्रम की केवल एक ही संख्या है।
अतः अटैची को खोलने का सही क्रम ज्ञात करने की प्रायिकता
(P) = \(\frac{1}{5040}\)