RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 प्रायिकता Ex 16.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 प्रायिकता Ex 16.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

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RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 16 प्रायिकता Ex 16.2

प्रश्न 1.
एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए घटना E 'पासे पर संख्या 4 दर्शाता है और घटना F' पासे पर सम संख्या दर्शाता है| क्या E और F परस्पर अपवर्जी हैं?
हल:
पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
पासे पर E (संख्या 4 पासे पर दर्शाता है )
F (सम संख्या) = {2, 4, 6}
∴ E ∩ F = {4} ∩ {2, 4, 6}
= {4} ≠ Φ
अर्थात् E और F अपवर्जी नहीं हैं।

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प्रश्न 2.
एक पासा फेंका जाता है । निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए-
(i) A : संख्या 7 से कम है।
(ii) B: संख्या 7 से बड़ी है।
(iii) C : संख्या 3 का गुणज है ।
(iv) D : संख्या 4 से कम है ।
(v) E : 4 से बड़ी सम संख्या है
(vi) F संख्या 3 से कम नहीं है ।
A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, E ∩E, D ∩ E, A - C, D - E, F', E ∩ F भी ज्ञात कीजिए ।
हल:
यहाँ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(i) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) B = Φ
(iii) C = {3, 6}
(iv) D = {1, 2, 3}
(v) E = {6}
(vi) F = {3, 4, 5, 6}

अब A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ Φ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ Φ = Φ
B ∪ C = Φ ∪ {3, 6} = {3, 6}
E ∩ F = {6} ∩ {3, 4, 5, 6} = {6}
D ∩ E = {1, 2, 3} ∪ {6} = Φ
A - C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {3, 6} = { 1, 2, 4, 5}
D - E = {1, 2, 3} - {6} = {1, 2, 3}
F′ = S - F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {3, 4, 5, 6} = {1, 2}
E ∩ F ́ = {6} ∩ {1, 2} = Φ

प्रश्न 3.
एक परीक्षण में पासे के एक जोड़े को फेंकते हैं और उन पर प्रकट संख्याओं को लिखते हैं । निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए-
A : प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।
B : दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है।
C : प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
इन घटनाओं के कौन-कौन से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं?
हल:
एक परीक्षण में जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 6 × 6 = 36
{(1, 1), (1, 2), (1, 3) ............ (6, 5), (6, 6)}
A = प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है । अर्थात् अंकों का योग 9, 10, 11, 12 लेने पर
= {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}

B = दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है अर्थात् कम से कम एक पासे पर संख्या 2 प्रकट होती है ।
{(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}

C = प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
= प्रकट संख्याओं का योग 9 और 12 है जो कि 3 का गुणज है।
= {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6)}

∴ A ∩ C = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
= {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6)}
A ∩ B = {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} ∩ {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (2, 1), (2, 3), (4, 2), (2, 4), (5, 2), (2, 5), (2, 6), (6, 2)} = Φ

तथा B ∩ C = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 5), (5, 2), (2, 6), (6, 2)} ∩ {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6)}
= Φ
A ∩ B = Φ, B ∩ C = Φ ⇒ A और B तथा B और C परस्पर अपवर्जी हैं। परन्तु An C≠ ¢ अत: A और C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

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प्रश्न 4.
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है । मान लीजिए कि घटना 'तीन चित दिखना' को A से, घटना' दो चित और एक पट दिखना' को B से, घटना 'तीन पट दिखना' को C से और घटना 'पहले सिक्के पर चित दिखना' को D से निरूपित किया गया है । बताइए कि इनमें से कौन सी घटनाएँ
(i) परस्पर अपवर्जी हैं?
(ii) सरल हैं ?
(iii) मिश्र हैं ?
हल:
जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है तो इस घटना का प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
अब A = तीन चित दिखना = {HHH}
B = दो चित और एक पट दिखना
= {HHT, HTH, THH}
C = तीन पट दिखना = {TTT}
D = पहले सिक्के पर चित दिखना
{HHH, HHT, HTH, HTT}
A ∩ B = {HHH} ∩ {HHT, HTH, THH} = Φ
A ∩ C = {HHH} ∩ {TTT} = Φ
A ∩ D = {HHH} ∩ {HHH HHT, HTH, HTT}
{HHH} ≠ Φ
B ∩ C = {HHT, HTH, THH} ∩ {TTT} = Φ
B ∩D = {HHT, HTH, THH} ∩ {HHH, HHT, HTH, HTT}
= {HHT, HTH} ≠ Φ
C ∩ D = {TTT} ∩ {HHH, HHT, HTH, HTT} = Φ
A ∩B ∩ C = {HHH} ∩ {HHT, HTH, THH} ∩ {TTT}
= Φ
अत: A ∩ B = Φ, A ∩ C = Φ, A ∩ D ≠ Φ, B ∩ C = Φ C ∩ D = Φ, A ∩ B∩ C = Φ
(i) ∴ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ = A और B, A और C, B और C, C और D तथा A, B और C
(ii) चूँकि A एवं C में केवल एक-एक ही प्रतिदर्श बिन्दु है, अतः A एवं C सरल घटनाएँ हैं ।
(iii) चूँकि घटना B और D में प्रत्येक के प्रतिदर्श बिन्दु एक से अधिक हैं, अत: B एवं D मिश्र घटनाएँ हैं ।

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प्रश्न 5.
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं ।
(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं।
(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं।
हल:
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं-
A = कम से कम दो चित प्राप्त करना
= {HHH, HHT, HTH, THH}
B = कम से कम दो पट प्राप्त करना
= {TTT, TTH, THT, HTT}
यहाँ पर प्रतिदर्श समष्टि S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
यहाँ A ∩ B = Φ

(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं ।
A = अधिक से अधिक एक चित प्राप्त करना
= {TTT, TTH, THT, HTT}
B = तथ्यतः 2 चित प्राप्त करना
= {HHT, HTH, THH}
C = तथ्यत: 3 चित प्राप्त करना
= {HHH}
यहाँ पर A ∩ B = Φ, B ∩ C = Φ, C ∩ A = Φ जबकि A ∪ B ∪ C = s
अत: A, B एवं C तीन घटनाएँ परस्पर, अपवर्जी एवं निःशेष हैं।

(iii) दो घटनाएँ A और B जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं ।
A = अधिकतम दो पट प्राप्त करना
= {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT}
B = तथ्यतः 2 चित प्राप्त करना
= {HHT, HTH, THH }
A ∩ B = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT} ∪ {HHT, HTH, THH}
= {HHT, HTH, THH} ≠ Φ

(iv) दो घटनाएँ A और B जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं।
A = तथ्यतः एक चित प्राप्त करना
= {TTH, THT, HTT}
B = तथ्यतः 2 चित प्राप्त करना
= {HHT, HTH, THH }
यहाँ पर A ∩ B = Φ परन्तु A ∪ B ≠ S अत: A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं परन्तु निःशेष नहीं हैं ।

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(v) तीन घटनाएँ A, B तथा C जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं ।
A = तथ्यतः एक पट प्राप्त करना
= {HHT, HTH, THH}
B = तथ्यतः 2 पट प्राप्त करना
= {TTH, THT, HTT}
C = तथ्यत: 3 पट प्राप्त करना = {TTT}
यहाँ A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = Q तथा A ∪ B ∪ C ≠ S
अतः तीनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं परन्तु निःशेष नहीं हैं।

प्रश्न 6.
दो पासे फेंके जाते हैं । घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं-
A : पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B : पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C : पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना
निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए-
(i) A'
(iii) A या B
(v) A किन्तु C नहीं
(vii) B और C
(ii) B-नहीं
(iv) A और B
(vi) B या C
(viii) A ∩ B' ∩ C'
हल:
दो पासे फेंके जाने पर प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), ...................... (1, 6), (2, 1), (2, 2), ....................... (2, 6), (3, 1), (3, 2), ..................... (3, 6), (4, 1) (4, 2), ........................ (4, 6), (5, 1), (5, 2), .................... (5, 6), (6, 1), (6, 2), ..................., (6, 6)}
प्रश्नानुसार A = पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना ।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

B = पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना ।
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

C = पासों पर प्राप्त संख्या का योग ≤ 5 होना ।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

(i) A' = S - A
= {(1, 1), (1, 2), .................... (1, 6), (2, 1), (2, 2), .................... (2, 6), (3, 1), (3, 2), ...................., (3, 6), (4, 1), (4, 2), .................... (4, 6), (5, 1), (5, 2), .................... (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 6)} - {(2, 1), (2, 2), ...................., (2, 6), (4, 1), (4, 2), .................... (4, 6), (6, 1), (6, 2), .................... (6, 6)}
= {(1, 1), (1, 2), .................... (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 6), (5, 1), (5, 2), ................, (5, 6)}
= पहले पासे पर विषम संख्या का होना।
या A' = B ∵ S - A = B

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(ii) B-नहीं = B' = पहले पासे पर विषम संख्या का न होना ।
पहले पासे पर सम संख्या का होना = A

(iii) A या B = A ∪ B = {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना} ∪ {पहले पासे पर विषम संख्या का होना}
= S

(iv) A और B = A ∩ B
= {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना } ∩ { पहले पासे पर विषम संख्या का होना}
= Φ

(v) A किन्तु C - नहीं = {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना } - { पासों पर प्राप्त संख्या का योग ≤ 5}
∴ A - C
= {(2, 1), (2, 2), .............., (2, 6), (4, 1), (4, 2), ................. (4, 6), (6, 1), (6, 2), ................. (6, 6)} - {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
= {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), .............., (4, 6), (6, 1), (6, 2), ..............., (6, 6)}

(vi) B या C = B ∪ C = {x : x पहले पासे पर विषम संख्या होना} ∪ {पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5}
= {(1, 1), (1, 2), .............. , (1, 6), (3, 1), (3, 2), ................. , (3, 6), (5, 1), (5, 2), .................... (5, 6)} ∪ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

(vii) B और C = {(1, 1), (1, 2), ..............., (1, 6), (3, 1), (3, 2), ............., (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), .............., (5, 6) ∩ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3,2)}

(viii) A ∩ B' ∩ C' = {x : x पहले पासे पर सम संख्या होना} ∩ {पहले पासे पर विषम संख्या होना} ∩ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
परन्तु B’ = A ∴ A ∩ B' = A ∩ A = A
∴ A ∩ B' ∩ C' = {(2, 1), (2, 2), ..................... (2, 6), (4, 1), (4, 2), .........................., (4, 6), (6, 1), (6, 2), ................ (6, 6)} ∩ {(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), ..................., (4, 6), (5, 1), (5, 2), ..................., (5, 6), (6, 1), (6, 2), ..................., (6, 6)} (5, 2),
= {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

प्रश्न 7.
उपर्युक्त प्रश्न 6 को देखिए और निम्नलिखित में सत्य या
असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए ) -
(i) A और B परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं। = B'
(iii) A
(iv) A और C परस्पर अपवर्जी हैं।
(v) A और B ' परस्पर अपवर्जी हैं।
(vi) A, B, C परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ हैं ।
हल:
(i) A और B परस्पर अपवर्जी हैं। यह कथन सत्य है क्योंकि
A = पहले पासे पर सम संख्या का होना
B = पहले पासे पर विषम संख्या का होना
A तथा B में कोई भी घटना समान नहीं है । अतः
A ∩ B = Φ ⇒ A और B परस्पर अपवर्जी हैं।

(ii) A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं । यह कथन सत्य है क्योंकि
A = पहले पासे पर सम संख्या होना
B = पहले पासे पर विषम संख्या होना
A ∪ B = पहले पासे पर सम या विषम कोई भी संख्या हो सकती है तथा दूसरे पासे पर 1 से 6 तक कोई भी संख्या हो सकती है।
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
⇒ A, B परस्पर अपवर्जी तथा निःशेष घटनाएँ हैं ।

(iii) A = B' यह कथन सत्य है क्योंकि
B' = {पहले पासे पर विषम संख्या होना}'
= पहले पासे पर सम संख्या होना
= A.

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(iv) A और C परस्पर अपवर्जी हैं। यह कथन असत्य है क्योंकि
A = पहले पासे पर सम संख्या होना
C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
A और C में (2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1) समान घटनाएँ हैं।
∴ A ∩ C ≠ 0
अर्थात् A और C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

(v) A और B' परस्पर अपवर्जी हैं। यह कथन असत्य है क्योंकि B ́= A ∴ A ∩B ́ = A ∩ A = A ≠ Φ
अतः A और B ' परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

(vi) A’, B ́ व C परस्पर अपवर्जी और नि:शेष घटनाएँ हैं । यह कथन असत्य है क्योंकि
Á = B, B' = A ∴ Á ∩ B́ = B ∩ A = Φ
परन्तु Á ∩ C = B ∩C
= {x : x पहले पासे पर विषम संख्या होना} ∩ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)}
≠ Φ
B́ ∩ C = A ∩C
[∵ B́ = A]
= {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना} ∩ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
A तथा C दोनों में (2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1) समान घटनाएँ हैं।
∴ B' ∩ C ≠ Φ
⇒ A′, B ́ व C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं और न ही निःशेष घटनाएँ हैं ।

Bhagya
Last Updated on Dec. 28, 2022, 12:47 p.m.
Published Dec. 27, 2022