RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 शंकु परिच्छेद विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 शंकु परिच्छेद विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 11 शंकु परिच्छेद विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
यदि एक परवलयाकार परावर्तक का व्यास 20 सेमी. और गहराई 5 सेमी. है। नाभि ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार माना कि परवलयाकार परावर्तक AOB का व्यास AB = 20 सेमी.

∴ AM 10 सेमी.
परावर्तक की गहराई
OM = 5 सेमी.
यदि OX तथा OY निर्देश अक्ष हों तो बिन्दु A (5, 10) परवलय
AOB पर स्थित है । अब माना कि परवलय का समीकरण
y² = 4ax
∵ बिन्दु (5, 10) इस पर स्थित है अत:
10² = 4a × 5 या 100 = 20a
∴ a = 5
अतः परवलय की नाभि (a, 0) = (5,0) होंगे।
∵ बिन्दु A (5, 10) और नाभि (5, 0) के x निर्देशांक समान हैं
अतः बिन्दु नाभि परावर्तक के व्यास AB के मध्य बिन्दु पर स्थित । अतः परावर्तक की नाभि ( 5, 0) है।

प्रश्न 2.
एक मेहराब परवलय के आकार का है और इसका अक्ष ऊर्ध्वाधर है। मेहराब 10 मीटर ऊँचा है और आधार में 5 मीटर चौड़ा है, यह परवलय के दो मीटर की दूरी पर शीर्ष से कितना चौड़ा होगा?
हल:

प्रश्नानुसार मेहसब परवलयाकार आकृति का है। माना कि OX तथा OY इसके निर्देश अक्ष हैं तथा परवलय का समीकरण है-
y² = 4ax
मेहराब की ऊँचाई OL = 10 मीटर
चौड़ाई AB = 5 मीटर
∴ LB = \(\frac{1}{2}\) AB = \(\frac{5}{2}\)
बिन्दु B के निर्देशांक (10, \(\frac{5}{2}\))

प्रश्न 3.
एक सर्वसम भारी झूलते पुल की केबिल (cable) परवलय के रूप में लटकी हुई है। सड़क पथ जो क्षैतिज है 100 मीटर लम्बा है तथा केबिल से जुड़े ऊर्ध्वाधर तारों पर टिका हुआ है, जिसमें सबसे लम्बा तार 30 मीटर और सबसे छोटा तार 6 मीटर है। मध्य से 18 मीटर दूर सड़क पथ से जुड़े समर्थक ( support- ing) तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि निर्देश अक्ष OX तथा OY हैं ।

AOB परवलयाकार केबिल है अतः इसका समीकरण x = 4ay सबसे छोटा तार OL 6 मीटर
सबसे बड़ा तार BM = 30 मीटर
शीर्ष O से रेखा LM की दूरी = 6 मीटर
सड़क की लम्बाई AB = 100 मीटर
यदि मध्य बिन्दु C हो तो
CB = \(\frac{1}{2}\) AB = \(\frac{1}{2}\) × 100 = 50 मीटर
OC = CL - OL = 30 - 6 = 24 मीटर
अत: B के निर्देशांक (50, 24) होंगे। चूँकि ये परवलय पर स्थित हैं, अत:
(50)² = 4a × 24
⇒ 4a = \(\frac{50 \times 50}{24}\) = \(\frac{625}{6}\)
∴ परवलय का समीकरण x² = \(\frac{625}{6}\) y
OY से 18 मीटर दूर एक बिन्दु R है । माना कि OX से R की दूरी b है ।
∴ R के निर्देशांक = (18, b)

आधार LM से R की दूरी = RS = RP + PS
= 3.11 + 6 = 9.11 मीटर

प्रश्न 4.
एक मेहराब अर्द्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का है। यह 8 मीटर चौड़ा और केन्द्र से 2 मीटर ऊँचा है। एक सिरे से 1.5 मीटर दूर बिन्दु - पर मेहराब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि ABC एक अर्द्ध-दीर्घवृत्ताकार मेहराब है जिसकी चौड़ाई
AC = 8 मीटर तथा ऊँचाई OB = 2 मीटर है।

यह भी माना कि OX तथा OY निर्देश अक्ष हैं। ABC एक अर्द्ध- दीर्घवृत्ताकार रूप का है जहाँ a = 4 तथा b = 2 मीटर
∴ दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}\) = 1
या \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}\) = 1
बिन्दु C से 15 मीटर की दूरी पर एक बिन्दु Q है। अत: Q बिन्दु की O से दूरी
= 4.00 - 1.5 = 2.5 मीटर
अब माना कि बिन्दु Q पर मेहराब की ऊँचाई h है।
∴ P (2.5, h) दीर्घवृत्त पर स्थित है अतः

h = 1.56 मीटर (लगभग)
अतः एक सिरे 1.5 मीटर दूर बिन्दु पर मेहराब की ऊँचाई 1.56 मीटर है।

प्रश्न 5.
एक 12 सेमी. लम्बी छड़ इस प्रकार चलती है कि इसके सिरे निर्देशांकों को स्पर्श करते हैं। छड़ के बिन्दु P का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए, जो x - अक्ष के सम्पर्क वाले सिरे से 3 सेमी. दूर है।
हल:
माना कि OX तथा OY निर्देश अक्ष हैं। इन अक्षों पर रेखा AB = 12 सेमी. स्पर्श करते हुए चलती है।

∆ AOB में AB² = OA² + OB²
या (12)² = a² + b²
या a² + b² = 144 .................. (1)
क्योंकि माना कि OA = a तथा OB = b अक्षों पर अंतः खण्ड हैं। बिन्दु P (x, y ) AB छड़ को 3 : 9 = 1 : 3 के अनुपात में प्रश्नानुसार विभाजित करता है, जबकि बिन्दु A तथा B के निर्देशांक क्रमश: (a, 0) और (0, b) हैं ।
∴ बिन्दु P के निर्देशांक

प्रश्न 6.
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय x² = 12y के शीर्ष को इसकी नाभिलम्ब जीवा के सिरों को मिलाने वाली रेखाओं से बना है।
हल:
परवलय का समीकरण x² = 12y
नाभि के निर्देशांक (a, 0) = (3, 0)
क्योंकि 4a = 12

∴ OF = 3 इकाई
नाभिलम्ब की लम्बाई = 4a = 12
∆ AOB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × OF × AB
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × 12
= 18 वर्ग इकाई

प्रश्न 7.
एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुए अंकित करता है कि उससे दो झण्डा चौकियों की दूरियों का योग सदैव 10 मीटर रहता है और झण्डा चौकियों के बीच की दूरी 8 मीटर है। व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना दौड़ पथ का केंद्र मूल बिन्दु 0 है। x अक्ष जो बिन्दुओं A और A से होकर इस प्रकार जाता है कि A'A, x- अक्ष के अनुदिश है। माना F और F' दो झण्डा चौकियाँ हैं, जिनकी बीच की दूरी 8 मीटर है और O, FF' का मध्य बिन्दु है।

तब OF = OF' = 4 मीटर
∴ F' तथा F के निर्देशांक क्रमश: (- 4, 0) तथा ( 4, 0) हैं ।

पुनः वर्ग करने पर
16x² + 625 - 200x = 25(x² + 16 - 8x + y²)
⇒ 225 = 9x² + 25y²
∴ \(\frac{9 x^2}{225}+\frac{25 y^2}{225}\) = 1 या \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}\) = 1
जो कि एक दीर्घवृत्त का अभीष्ट बिन्दुपथ है।

प्रश्न 8.
परवलय y² = 4 ax, के अन्तर्गत एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है। त्रिभुज की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि परवलय y² = 4ax के अन्तर्गत एक समबाहु त्रिभुज बनाया गया है तथा इसकी भुजा की लम्बाई p है।
अब ∆ OAC में
OA² = OC² + AC²
या p² = OC² + \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)