RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.4

निम्नलिखित प्रश्न 1 से 6 तक प्रत्येक में, अतिपरवलयों के शीर्षो नाभियों के निर्देशांक, उत्केन्द्रता और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए-

प्रश्न 1.
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1
उत्तर:
अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1
अनुप्रस्थ अक्ष x - अक्ष के अनुदिश है।
a² = 16, b² = 9
c² = a² + b² = 16 + 9 = 25
a = 4, b = 3 तथा c = 5
शीर्षों के निर्देशांक = (± a, 0) = (± 6, 0)
नाभियों के निर्देशांक = (± c, 0) = (±5, 0)
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{5}{4}\)
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 9}{4}=\frac{9}{2}\)

प्रश्न 2.
\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{27}\) = 1
उत्तर:
अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{27}\) = 1
अनुप्रस्थ अक्ष y - अक्ष के अनुदिश है।
यहाँ a² = 9, b² = 27
c² = a² + b² = 9 + 27 = 36
a = 3, b = 3√3 तथा c = 6
शीर्षों के निर्देशांक = (0, ±a) = (0, ±3)
नाभियों के निर्देशांक = (0, ±c) = (0, ±6)
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{6}{3}\) = 2
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 27}{3}\) = 18

प्रश्न 3.
9y² - 4x² = 36
उत्तर:
अतिपरवलय का समीकरण 9y² - 4x² = 36
या \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}\) = 1
अनुप्रस्थ अक्ष y - अक्ष के अनुदिश है।
यहाँ a² = 4, b² = 9
∴ c² = a² + b² = 4 + 9 = 13
∴ a = 2, b = 3 तथा c = \(\sqrt{13}\)
शीर्षों के निर्देशांक = (0, ±a) = (0, ±2)
नाभियों के निर्देशांक = (0, ±c) = (0, ±sqrt{13})
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 9}{2}\) = 9

प्रश्न 4.
16x² - 9y² = 576
उत्तर:
अतिपरवलय का समीकरण 16x² - 9y² = 576
या \(\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}\) = 1
अनुप्रस्थ अक्ष x - अक्ष के अनुदिश है।
यहाँ a² = 36, b² = 64
c² = a² + b² = 36 + 64 = 100
a = 6, b = 8 तथा c = 10
शीर्षों के निर्देशांक = (± a, 0) = (± 6, 0)
नाभियों के निर्देशांक = (± c, 0) = (±10, 0)
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\)
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 64}{6}=\frac{64}{3}\)

प्रश्न 5.
5y² - 9x² = 36
उत्तर:
अतिपरवलय का समीकरण 5y² - 9x² = 36
या \(\frac{y^2}{36 / 5}-\frac{x^2}{4}\) = 1
अनुप्रस्थ अक्ष y - अक्ष के अनुदिश है।

प्रश्न 6.
49y² - 16x² = 784
हल:
अतिपरवलय का समीकरण 49y² - 16x² = 784
या \(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{49}\) = 1
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है ।
यहाँ a² = 16, b² = 49
c² = a² + b² = 16 + 49 = 65
a = 4, b = 7 तथा c = \(\sqrt{65}\)
शीर्षों के निर्देशांक = (0, ± a) = (0, ± 4)
नाभियों के निर्देशांक = (0, ± c) = (0, ± \(\sqrt{65}\))
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{65}}{4}\)
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 49}{4}=\frac{49}{2}\)

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 15 तक प्रत्येक में, दिए गए प्रतिबन्धों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए-

प्रश्न 7.
शीर्ष (± 2, 0), नाभियाँ (± 3, 0)
हल:
प्रश्नानुसार अनुप्रस्थ अक्ष X- अक्ष के अनुदिश है ।
यहाँ a = 2, c = 3, ∵ c² = a² + b²
9 = 4 + b²
या b² = 5
अतः अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1
या \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}\) = 1

प्रश्न 8.
शीर्ष (0, ±5), नाभियाँ (0, ± 8)
हल:
प्रश्नानुसार अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है ।
यहाँ a = 5, c = 8, ∵ c² = a² + b²
∵ 64 = 25 + b²
या b² = 39 तथा a² = 25
∴ अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{39}\) = 1 होगा ।

प्रश्न 9.
शीर्ष (0, ± 3), नाभियाँ (0, ± 5)
हल:
प्रश्नानुसार अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है ।
यहाँ a = 3, c = 5
∵ c² = a² + b²
25 = 9 + b² या b² = 16
b² = 16 तथा a² = 9
∴ अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}\) = 1 होगा ।

प्रश्न 10.
नाभियाँ (±5, 0), अनुप्रस्थ अक्ष की
हल:
प्रश्नानुसार अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई
⇒ a = 4 ∴ a² = 16
नाभियाँ = (±5, 0) अर्थात् c = 5 ∵ c² = a² + b²
⇒ 25 = 16 + b²
b² = 9
∴ अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1 होगा।

प्रश्न 11.
नाभियाँ (0, ±13), संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 24 है।
हल:
प्रश्नानुसार अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है।
∵ यहाँ c = 13 ⇒ c² = 169
संयुग्मी अक्ष की लम्बाई = 2b = 24 ∴ b = 12 तथा b² = 144
c² = a² + b²
169 = a² + 144
a² = 25
अतः अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}\) = 1 होगा।

प्रश्न 12.
नाभियाँ (±3√5,0), नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई 8 है।
हल:
प्रश्नानुसार नाभियाँ = (±3√5, 0)
अत: अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है ।
तथा c = 3√5 ∴ c² = 9 × 5 = 45
c² = a² + b²
⇒ 45 = a² + b² ..........(1)
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई = \(\frac{2 b^2}{a}\) = 8
समीकरण (1) व (2) से a² + 4a - 45 = 0
या a² + 9a - 5a - 45 = 0
या a (a + 9) - 5 (a + 9 ) = 0
या (a + 9) (a - 5) = 0
a = -9 या 5 परन्तु a ≠ - 9
a = 5 तथा a² = 25
b² = 4a = (4) (5) = 20
b² = 20
∴ अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}\) = 1 होगा।

प्रश्न 13.
नाभियाँ (± 4, 0), नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई 12 है।
हल:
प्रश्नानुसार नाभियाँ = (±4, 0) ⇒ अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
∵ c = 4 ∵ c² = 16
या c² = a² + b²
∴ a² + b² = 16 ..........(1)
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई = \(\frac{2 b^2}{a}\) = 12
b² = 6a ..........(2)
समीकरण (1) व (2) से a² + 6a - 16 = 0
या a² + 8a - 2a - 16 = 0
या a(a + 8) - 2(a + 8) = 0
या a(a + 8)(a - 2) = 0
a = -8 या 2 परन्तु a ≠ - 8
a = 2 ∴ a² = 4
समीकरण (2) से b² = 6a
= 6.2 = 12
∴ अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}\) = 1

प्रश्न 14.
शीर्ष (± 7, 0), e = \(\frac{4}{3}\)
हल:
प्रश्नानुसार शीर्ष (±7, 0) ⇒ अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश
है। यहाँ a = 7 ∴ a² = 49

प्रश्न 15.
नाभियाँ (0, ±√10), हैं तथा (2, 3) से होकर जाता है ।
हल:
प्रश्नानुसार नाभियाँ = (0, ±√10) ⇒ अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है । तथा
c = √10 या c² = 10
c² = a² + b²
a² + b² = 10 .....(1)
माना कि अतिपरवलय का समीकरण
\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}\) = 1
यह बिन्दु (2, 3) से होकर जाता है ।
\(\frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}\) = 1
या 9b² - 4a² = a²b²
समीकरण (1) से b² का मान रखने पर
9 (10 - a²) - 4a² = a²(10 - a²)
या 90 - 9a² - 4a² = 10a² - a⁴
या a⁴ - 23a² + 90 = 0
या a⁴ - 18a² - 5a² + 90 = 0
या a²(a² - 18) - 5(a² - 18)
या a² = 18, b² = 10 - a² = 10 - 18 = -ve
∴ a² = 18 a² = 5, b² = 10 - 5 = 5
अतः अतिपरवलय का समीकरण
\(\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{5}\) = 1
या y² - x² = 5