RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.3

निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 9 तक प्रत्येक दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लम्बाइयाँ, उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए-

प्रश्न 1.
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}\) = 1
हल:
प्रश्नानुसार \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}\) = 1 की तुलना में \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 से करने पर
a² = 36, b² = 16
∴ c² = a² - b² = 36 - 16 = 20
∴ c = 2√5, e = \(\frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
∴ नाभियों के निर्देशांक (± c, 0) = (±2√5, 0)
शीर्ष (± a, 0) = (± 6, 0)
दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 × 6 = 12
लघु अक्ष की लम्बाई = 26 = 2 × 4 = 8
c _ 2√5 _ √5
उत्केन्द्रता e = \(\frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
नाभिलम्ब जीवा = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 16}{6}=\frac{16}{3}\)

प्रश्न 2.
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}\) = 1
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}\) = 1 की तुलना मानक दीर्घवृत्त
\(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 से करने पर
यहाँ a² = 25, b² = 4, ∴ a = 5, b = 2
c² = a² - b² = 25 - 4 = 21
∴ c = √21
नाभियों के निर्देशांक (0, ± c) = (0, ± √21)
शीर्ष के निर्देशांक (0, ± a) = (0, ± 5)
दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 × 5 = 10
लघु अक्ष की लम्बाई = 2b = 2 × 2 = 4
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{5}\)
नाभिलम्ब जीवा = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 4}{5}=\frac{8}{5}\)

प्रश्न 3.
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1 की तुलना मानक दीर्घवृत्त
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 से करने पर से
= 1
यहाँ a = 16, b2 = 9 ∴ a = 4 तथा b = 3
c² = a² - b² = 16 - 9 = 7
∴ c = √7
नाभियों के निर्देशांक = (± c, 0) = (±√7, 0)
शीर्षों के निर्देशांक = (± a, 0) = (± 4, 0)
दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 × 4 = 8
लघु अक्ष की लम्बाई = 2b = 2 × 3 = 6
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)
नाभिलम्ब जीवा = \(\frac{2 b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{9}{2}\)

प्रश्न 4.
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}\) = 1
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}\) = 1 की तुलना मानक दीर्घवृत्त
\(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 से करने पर
यहाँ a² = 100, b² = 25 ∴ a = 10 तथा b = 5
c² = a² - b² = 100 - 25 = 75
∴ c = 5√3
अतः नाभियों के निर्देशांक : (0, ± c) = (0, ±5√3)
शीर्षों के निर्देशांक = (0, ± a) = (0, ± 10)
दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 × 10 = 20
लघु अक्ष की लम्बाई = 2b = 2 × 5 = 10
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{5 \sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
नाभिलम्ब जीवा = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 25}{10}\) = 5

प्रश्न 5.
\(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{36}\) = 1
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{36}\) = 1 की तुलना मानक दीर्घ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 से करने पर
यहाँ a² = 49, b² = 36 ∴ a = 7 तथा b = 6
c² = a² - b² = 49 - 36 = 1
∴ c = √13
नाभियों के निर्देशांक = (± c, 0) = (±√13, 0)
शीर्षों के निर्देशांक = (± a, 0) = (± 7, 0)
दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 × 7 = 14
लघु अक्ष की लम्बाई = 2b = 2 × 6 = 12
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{\sqrt{13}}{7}\)
नाभिलम्ब जीवा = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 36}{7}=\frac{72}{7}\)

प्रश्न 6.
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{400}\) = 1
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{400}\) = 1 की तुलना मानक
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 से करने पर
a² = 400, b² = 100 ∴ a = 20 तथा b = 10
c² = a² - b² = 400 - 100 = 300
∴ c = 10√3 प्राप्त होगा
नाभि के निर्देशांक = (0, ± c) = (0, ± 10√3)
शीर्षों के निर्देशांक = (0, ± a) = (0, ± 20)
दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 × 20 = 40
लघु अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 × 10 = 40
नाभिलम्ब जीवा = \(\frac{2 b^2}{a}\) = \(\frac{2 \times 100}{20}\) = 10
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{10 \sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

प्रश्न 7.
36 x² + 4y² = 144
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण 36x² + 4y² = 144
या \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{36}\) = 1 की तुलना मानक दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 से करने पर
a = 6 तथा b = 2
c² = a² - b² = 36 - 4 = 32
∴ c = 4√2
नाभियों के निर्देशांक (0, ± c) = (0, ±4√2)
शीर्षों के निर्देशांक (0, ± a) = (0, ± 6 )
दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 × 6 = 12
लघु अक्ष की लम्बाई = 2b = 2 × 2 = 4
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{4 \sqrt{2}}{6}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)
नाभिलम्ब जीवा = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 4}{6}=\frac{4}{3}\)

प्रश्न 8.
16x² + y² = 16
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण 16x² + y² = 16
या \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 4}{6}=\frac{4}{3}\) = 1 की तुलना मानक दीर्घवृत्त है \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1
a = 4, b = 1
c = √a² - b² = √16 - 1 = √15 प्राप्त होगा
नाभियों के निर्देशांक = (0, ± c) = (0, ± √15)
शीर्षों के निर्देशांक = (0, ± a) = (0, ± 4)
दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 × 4 = 8
लघु अक्ष की लम्बाई = 2b = 2 × 1 = 2
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{15}}{4}\)
नाभिलम्ब जीवा = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 1}{4}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 9.
4x² + 9y² = 36
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण 4x² + 9y² = 36
या \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\) = 1
यहाँ a² = 9, b² = 4 ∴ a = 3 तथा b = 2
c² = a² - b² = 9 - 4 = 5
∴ c = √5
नाभियों के निर्देशांक = (± c, 0) = (± √5, 0)
शीर्षों के निर्देशांक = (± a, 0) = (± 3, 0)
दीर्घ अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 × 3 = 6
लघु अक्ष की लम्बाई = 2b = 2 × 2 = 4
उत्केन्द्रता (e) = \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
नाभिलम्ब जीवा = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 4}{3}=\frac{8}{3}\)

निम्नलिखित प्रश्नों 10 से 20 तक प्रत्येक में, दिए प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए

प्रश्न 10.
शीर्षों (± 5, 0), नाभियाँ (± 4, 0)
हल:
यहाँ a = 5, c = 4, ∵ c² = a² - b²
या 16 = 25 - b²
∴ b² = 25 - 16 = 9
तथा a² = 25
∴ दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}\) = 1

प्रश्न 11.
शीर्षों (0, ± 13), नाभियाँ (0, ± 5 )
हल:
नाभियाँ y-अक्ष पर स्थित हैं अतः माना दीर्घवृत्त का समीकरण
\(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 .................. (1)
प्रश्नानुसार a = 13, c = 5 ∴ c² = a² - b²
25 = 169 - b²
या b² = 169 - 25 = 144
तथा a² = 169
∴ दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{169}\) = 1

प्रश्न 12.
शीर्षों (± 6, 0), नाभियाँ (± 4, 0)
हल:
चूँकि नाभियाँ, x-अक्ष पर हैं अतः माना दीर्घवृत्त का समीकरण
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 .................. (1)
प्रश्नानुसार a = 6, c = 4 ∴ c² = a² - b²
या 16 = 36 - b²
∴ b² = 36 - 16 = 20
∴ a² = 36
∴ दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}\) = 1 होगा

प्रश्न 13.
दीर्घ अक्ष के अन्त्य बिन्दु (± 3, 0), लघु अक्ष के अन्त्य बिन्दु (0, ± 2)
हल:
प्रश्नानुसार दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है। अतः माना दीर्घवृत्त का समीकरण
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 .......... (1)
प्रश्नानुसार a = 3, b = 2 ∴ a² = 9 तथा b² = 4
∴ दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\) = 1

प्रश्न 14.
दीर्घ अक्ष के अन्त्य बिन्दु (0, ± √5 ), लघु अक्ष के अन्त्य बिन्दु (± 1, 0)
हल:
प्रश्नानुसार दीर्घ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है ।
यहाँ a = √5, b = 1 ∴ a² = 5 तथा b² = 1
∴ दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{5}\) = 1

प्रश्न 15.
दीर्घ अक्ष की लम्बाई 26, नाभियाँ (± 5, 0)
हल:
प्रश्नानुसार दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है
∴ 2a = 26 ∴ a = 13 या a² = 169
c = 5, c² = 25 = a² - b² = 169 - b²
∴ b² = 169 25 = 144
∴ a² = 169 तथा b² = 144
∴ दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}\) = 1

प्रश्न 16.
दीर्घ अक्ष की लम्बाई 16, नाभियाँ (0, ± 6)
हल:
प्रश्नानुसार दीर्घ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है ।
∴ 2a = 16 ∴ a = 8 तथा a² = 64
c = 6 ∴c² = 36
c² = a² - b² ⇒ 36 = 64 - b²
∴ b² = 64 - 36 = 28
∴ दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{28}+\frac{y^2}{64}\) = 1

प्रश्न 17.
नाभियाँ (± 3, 0), a = 4
हल:
प्रश्नानुसार दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है ।
∴ c = 3, a = 4
∴ c² = a² - b² ⇒ 9 = 16 - b²
या b² = 16 - 9 = 7
∴ दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}\) = 1

प्रश्न 18.
b = 3, c = 4, केन्द्र मूल बिन्दु पर, नाभियाँ x अक्ष पर
हल:
प्रश्नानुसार b = 3 तथा c = 4
∴ b² = 9 तथा c² = 4
नाभियाँ x-अक्ष पर हैं अतः दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
c² = a² - b² या 16 = a² - 9
∴ a² = 16 + 9 = 25
∴ दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}\) = 1

प्रश्न 19.
केन्द्र (0, 0) पर, दीर्घ अक्ष, y- अक्ष पर और बिन्दुओं ( 3, 2) और (1, 6) से जाता है।
हल:

प्रश्न 20.
दीर्घ अक्ष, x- अक्ष पर और बिन्दुओं (4, 3) और (6, 2) से जाता है।
हल: