RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 10.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 10.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरणों को ढाल - अंत: खंड रूप में रूपान्तरित कीजिए और उनके ढाल तथा y - अंतः खण्ड ज्ञात कीजिए-
(i) x + 7y = 0
(ii) 6x + 3y - 5 = 0
(iii) y = 0
हल:
(i) x + 7y = 0
या 7y = - x
∴ y = - \(\frac{x}{7}\) + 0
(ढाल-अंत: खण्ड रूप y = mx + c)
∴ ढाल (m) = - \(\frac{1}{7}\) तथा y-अन्तःखण्ड = 0

(ii) 6x + 3y
या 3y = - 6x + 5
या y = - 2x + \(\frac{5}{3}\)
(ढाल-अंत: खण्ड रूप y = mx + c)
∴ ढाल (m) = - 2, तथा y-अन्तःखण्ड = \(\frac{5}{3}\)

(iii) y = 0
y = 0x + 0
(ढाल - अंत: खण्ड रूप y = mx + c)
∴ ढाल (m) = 0 तथा y - अन्त: खण्ड = 0

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समीकरणों को अंतः खण्ड रूप में रूपान्तरित कीजिए और अक्षों पर इनके द्वारा काटे गए अंतः खण्ड ज्ञात कीजिए-
(i) 3x + 2y 12 = 0
हल:
3x + 2y - 12 = 0
या 3x + 2y = 12

अतः अन्तःखण्ड a = 4 तथा b = 6

(iii) 3y + 2 = 0
हल:

(iii) 4x - 3y = 6
हल:

अर्थात् रेखा x-अक्ष को नहीं काटती है, अर्थात् x-अक्ष के समान्तर है और y-अक्ष पर काटा गया अन्तःखण्ड = \(\frac{-2}{3}\) है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समीकरणों को लंब रूप में रूपान्तरित कीजिए। उनकी मूल बिन्दु से लांबिक दूरियाँ और लंब तथा धन x-अक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए-
(i) x - √3 y + 8 = 0
हल:
x - √3 y + 8 = 0
या - x + √3 y = 8
अब A = - 1 तथा B = √3

यहाँ cos 120° = - \(\frac{1}{2}\), sin 120° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ - \(\frac{1}{2}\) तथा \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) के स्थान पर cos 120° तथा sin 120° रखने पर
x cos 120° + y sin 120° = 4
⇒ p = 4, ω = 120° = \(\frac{2 \pi}{3}\) रेडियन

(ii) y - 2 = 0
हल:
y - 2 = 0
या y = 2
अर्थात् यहाँ A = 0 तथा B = 1
∴ \(\sqrt{A^2+B^2}\) = \(\sqrt{0+1}\) = 1
∴ 0x + 1y = 2
या x cos 90° + y sin 90° = 2
जबकि ω = 90° तथा p = 2

(iii) x - y = 4
हल:
x - y = 4
यहाँ A = 1, B = 1

∴ x - y = 4 का लम्ब रूप
x cos 315° + y sin 315° = 2√2
∴ p = 2√2, ω = 315° = 2π - \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{7 \pi}{4}\) रेडियन

प्रश्न 4.
बिन्दु (- 1, 1) की रेखा 12 (x + 6) = 5(y - 2) से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखा 12(x + 6) = 5 (y − 2)
12x + 72 = 5y - 10
या 12x - 5y + 82 = 0
दिया गया बिन्दु = (- 1, 1)
∴ बिन्दु (- 1, 1) से रेखा 12x – 5y + 82 की लम्बवत दूरी

प्रश्न 5.
x - अक्ष पर बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिनकी रेखा \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\) = 1 से दूरियाँ 4 इकाई हैं।
हल:
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\) = 1 को 12 से गुणा करने पर
4x + 3y - 12 = 0
माना कि x अक्ष पर कोई बिन्दु (x₁, 0) है|
∴ बिन्दु (x₁, 0) से रेखा (i) की दूरी

⇒ |4x₁ - 12| = 20
⇒ 4x₁ - 12 = ± 20
+ चिह्न लेने पर 4x₁ - 12 = 20
4x₁ = 20 + 12
4x₁ = 32 ∴ x₁ = 8
∴ बिन्दु = (8, 0)
- चिह्न लेने पर 4x₁ - 12 = - 20
4x₁ = - 20 + 12
4x₁ = - 8
x₁ = - 2
∴ बिन्दु = ( - 2, 0)
अत: x-अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु (8, 0) या (- 2, 0) है।

प्रश्न 6.
समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए-
(i) 15x + 8y - 34 = 0 और 15x + 8y + 31 = 0
(ii) l (x + y) + p = 0 और l(x + y) - r = 0
हल:
(i) दी गई रेखाएँ 15x + 8y - 34 = 0
तथा 15x + 8y + 31 = 0
यहाँ A = 15, B = 8, C₁ = - 34, C₂ = 31
∴ समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी

(ii) दी गई रेखाएँ l(x + y) + p = 0
या lx + ly + p = 0
तथा l(x + y) - r = 0
या lx + ly - r = 0
यहाँ A = l, B = l, C₁ = p, C₂ = - r
∴ समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी (d) = \(\frac{\left|C_1-C_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

प्रश्न 7.
रेखा 3x - 4y + 2 = 0 के समान्तर और बिन्दु ( - 2, 3) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि रेखा 3x - 4y + 2 = 0 के समान्तर किसी रेखा का समीकरण है-
3x – 4y + k = 0
∵ यह रेखा बिन्दु (- 2, 3) से होकर जाती है अतः
या 3 (-2) - 4 (3) + k = 0
या - 6 - 12 + k = 0
k = 18
∴ रेखा का अभीष्ट समीकरण 3x - 4y + 18 = 0

प्रश्न 8.
रेखा x - 7y + 5 = 0 पर लंब और x - अंत: खण्ड 3 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
दी गई रेखा x - 7y + 5 = 0 की प्रवणता = \(\frac{1}{7}\)
इस रेखा के लम्बवत् रेखा की प्रवणता = [∵ m₁m₂ = - 1]
तब x-अन्तःखण्ड 3 वाली अर्थात् (3, 0) से जाने वाली और - 7 प्रवणता वाली रेखा का समीकरण
y - y₁ = m (x - x₁)
⇒ y - 0 = - 7 (x - 3)
⇒ y = - 7x + 21
⇒ 7x + y - 21 = 0

प्रश्न 9.
रेखाओं √3x + y और x + √3y = 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ √3x + y = 1 .............. (1)
तथा x + √3y = 1 .................... (2)
समीकरण (1) से m₁ = - √3
तथा समीकरण (2) से m₂ = - \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
माना कि दोनों रेखाओं के बीच कोण θ है ∴

∴ θ = 30°
∴ दोनों रेखाओं के बीच कोण = 30° = \(\frac{\pi}{6}\) रेडियन

प्रश्न 10.
बिन्दुओं (h, 3) और (4, 1) से जाने वाली रेखा, रेखा 7x 9y - 19 = 0 को समकोण पर प्रतिच्छेद करती है। h का मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि किसी रेखा AB के दिए गए बिन्दु A (h, 3) तथा B (4, 1) हैं।
अतः m₁ = \(\frac{1-3}{4-h}\) = \(\frac{-2}{4-h}\)
तथा दी गई रेखा 7x - 9y - 19 = 0
∴ m₂ = \(\frac{-7}{-9}\) = \(\frac{7}{9}\)
यदि रेखाएँ लम्बवत् हों तो 1 + m₁m₂ = 0
या 1 + \(\left[\frac{(-2)}{4-h}\left(\frac{7}{9}\right)\right]\) = 0
= 0
⇒ 9 (4 – h) - 14 = 0
⇒ 36 - 9h - 14 = 0
⇒ 9h = 36 - 14
या 9h = 22
∴ h = \(\frac{22}{9}\)

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (x₁, y₁) से जाने वाली और रेखा Ax + By + C = 0 के समान्तर रेखा का समीकरण A (x - x₁) + B (y - y₁) = 0 है |
हल:
माना कि रेखा Ax + By + C = 0 के समान्तर रेखा का समीकरण है-
Ax + By + k = 0 ................. (1)
∵ यह रेखा बिन्दु (x₁, y₁) से होकर जाती है अतः
Ax₁ + By₁ + k = 0 ............. (1)
⇒ k = - Ax₁ - By₁
समीकरण (1) में k का यह मान रखने पर
Ax + By - Ax₁ - By₁ = 0
या A (x - x₁) + B (y - y₁) = 0
यही अभीष्ट रेखा का समीकरण है।

प्रश्न 12.
बिन्दु (2, 3) से जाने वाली दो रेखाएँ परस्पर 60° के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं । यदि एक रेखा की ढाल 2 है तो दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि दूसरी रेखा की ढाल m है । हम जानते हैं कि
tan θ = \(\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\)
यहाँ θ = 60°, m₁ = m तथा m₂ = 2
∴ tan 60° = ±\(\frac{m-2}{1+2 m}\) = √3
+ चिह्न लेने पर m - 2 = √3 (1 + 2m)
m - 2 = √3 + 2√3m
या m - 2√3m = 2 + √3
या m(1 - 2√3) = 2 + √3
या m = \(\frac{2+\sqrt{3}}{1-2 \sqrt{3}}\)
∴ बिन्दु (2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण
y - 3 = \(\frac{2+\sqrt{3}}{1-2 \sqrt{3}}\) (x - 2)
या y - 3 = -\(\frac{2+\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}-1}\) (x - 2)
या (2√3 - 1)y - 6√3 + 3 = -(2 + √3)x + 4 + 2√3
या (√3 + 2)x + (2√3 - 1)y - 8√3 - 1 = 0
- चिह्न लेने पर \(\frac{m-2}{1+2 m}\) = √3
या (2√3 + 1)m = 2 - √3
∴ m = \(\frac{2-\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}+1}\)
अत: बिन्दु (2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण
y - 3 = \(\frac{2-\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}+1}\) (x - 2)
2-√3 2√3+1(x-2)
या (2√3 + 1)y - 6√3 - 3 = (2 - √3)x - 4 + 2√3
या (2 - √3)x - (2√3 + 1)y + 8√3 - 1 = 0
- (√3 - 2)x - (2√3 + 1)y = 1 - 8√3
या (√3 - 2)x + (2√3 + 1)y = 8√3 - 1

प्रश्न 13.
बिन्दुओं (3, 4) और (- 1, 2) को मिलाने वाली रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।

हल:
माना कि रेखा AB के बिन्दु A(3, 4) तथा B (- 1, 2) हैं।
इससे रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु
= \(\left[\frac{3-1}{2}, \frac{4+2}{2}\right]\) = (1, 3)
AB की ढाल (m) = \(\frac{2-4}{-1-3}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\)
∵ रेखा CD, AB रेखा
∴ CD रेखा का ढाल = \(\frac{1}{m}\) = - 2
अतः अभीष्ट लम्ब समद्विभाजक रेखा CD का समीकरण
y - y₁ = m(x - x₁) सूत्र से
y - 3 = 2(x – 1)
⇒ y - 3 = 2x + 2
⇒ 2x + y = 3 + 2
⇒ 2x + y = 5

प्रश्न 14.
बिन्दु (- 1, 3) से रेखा 3x – 4y - 16 = 0 पर डाले गए लम्बपाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल:
दी गई रेखा माना
AB = 3x – 4y – 16 = 0
या y = \(\frac{3}{4}\) x - 4
∴ इसकी ढाल = माना कि बिन्दु C (- 1, 3) से रेखा AB पर डाला गया लम्ब CD है अर्थात्

AB ⊥ CD
∴ CD की ढाल = - \(\frac{1}{m_1} \)= -\(\frac{1}{3 / 4}\) = -\(\frac{4}{3}\)
∴ रेखा CD का समीकरण
y - y₁ = m (x - x₁)
या y - 3 = - \(\frac{4}{3}\) (x + 1)
या 3y + 9 = - 4x - 4
या 4x + 3y - 5 = 0
हम जानते हैं कि रेखा AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु ही CD
रेखा का लम्बंपाद D है । अत:
3x - 4y = 16 .................. (1)
4x + 3y = 5 ................. (2)
समीकरण (1) को 3 से तथा (2) को 4 से गुणा करने पर
9x – 12y = 48
16x + 12y = 20
जोड़ने पर
25x = 68
∴ x = \(\frac{68}{25}\)
x का यह मान - समीकरण (1) में रखने पर

प्रश्न 15.
मूल बिन्दु से रेखा y = mx + c पर डाला गया लम्ब रेखा बिन्दु (- 1, 2) पर मिलता है। m और c के मान ज्ञात कीजि
हल:
∵ बिन्दु (- 1, 2) रेखा y = mx + c पर स्थित है।
∴ 2 = - m + c
या m - c = - 2 ....... (1)

तथा OP रेखा की ढाल = - \(\frac{1}{m}\)
∴ OP रेखा का समीकरण
y - 0 = - \(\frac{1}{m}\) (x - 0)
या x + my = 0
∵ बिन्दु (- 1, 2) रेखा AB तथा OP दोनों पर पड़ता है अतः
- 1 + 2m = 0
समीकरण (1) में m = \(\frac{1}{2}\) रखने पर

प्रश्न 16.
यदि p और 9 क्रमशः मूल बिन्दु से रेखाओं x cos θ - y sin θ = k cos 2θ और x sec θ + y cosec θ k, पर लंब की लम्बाइयाँ हैं तो सिद्ध कीजिए कि p² + 4q² = k².
हल:
दी गई रेखाएँ
तथा
x cos θ - y sin θ = k cos 2θ
तथा x sec θ + y cosec θ = k
मूल बिन्दु (0, 0) से रेखा x cos θ - y sin θ = k cos 2θ की दूरी
या x cos θ - y sin θ - k cos 2θ = 0 की दूरी

k cos 2θ = p दिया है। ........ (1)
इसी प्रकार मूल बिन्दु (0, 0) से x sec θ + y cosec θ = k की दूरी
या sec θ + y cosec θ - k = 0

= k sin θ cos θ = 9 दिया है।
[∵ sin² θ + cos² θ = 1]
या \(\frac{1}{2}\)k × 2 sin θ cos θ = q
या k sin 2θ = 2q ............... (2)
समीकरण (1) व (2) को वर्ग करके जोड़ने पर
k² cos² 2θ + k² sin² 2θ = p² + (2q)²
⇒ k²(cos²2θ + sin²2θ) = p² + 4q²
⇒ k² x 1 = p² + 4q²
⇒ k² = p² + 4q²
या p² + 4q² = k² 

प्रश्न 17.
शीर्षों A (2, 3), B ( 4, - 1 ) और C (1, 2) वाले त्रिभुज ABC के शीर्ष A से उसकी सम्मुख भुजा पर लम्ब डाला गया है । लम्ब की लम्बाई तथा समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि ∆ ABC के शीर्ष A से भुजा BC पर AD लम्ब डाला गया है।

रेखा BC का समीकरण

अर्थात् रेखा AD बिन्दु A से जाती है तथा ढाल 1 है|
∴ AD का समीकरण y - y₁ = m (x - x₁)
या y - 3 = 1 (x - 2)
या y - 3 = x - 2
या x - y + 1 = 0

प्रश्न 18.
यदि मूल बिन्दु से उस रेखा पर डाले लम्ब की लम्बाई हो जिस पर अक्षों पर कटे अंत: खण्ड a और b हों, तो दिखाइए कि \(\frac{1}{p^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)
हल:
उस रेखा का समीकरण जो अक्षों से a तथा b अन्तःखण्ड काटती हो
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
∴ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) - 1 = 0
मूल बिन्दु (0, 0) से इस प्रकार रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई