RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 10.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 10.2

प्रश्न 1 से 8 तक, रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है-

प्रश्न 1.
x और y - अक्षों के समीकरण लिखिए ।
हल:
x - अक्ष पर y = 0
अत: x-अक्ष का समीकरण y = 0 होगा।
इसी प्रकार y - अक्ष पर x = 0
अतः y-अक्ष का समीकरण x = 0 होगा।

प्रश्न 2.
ढाल \(\frac{1}{2}\) और बिन्दु (- 4, 3) से जाने वाली ।
हल:
प्रश्नानुसार ढाल (m) = \(\frac{1}{2}\) तथा बिन्दु (-4, 3)
अतः ढाल तथा बिन्दु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण
या y - y₁ = m (x - x₁)
या y - 3 = \(\frac{1}{2}\) (x + 4)
या 2y - 6 = x + 4
या 2y = x + 10
या x - 2y + 10 = 0

प्रश्न 3.
बिन्दु (0, 0) से जाने वाली और ढाल m वाली।
हल:
रेखा बिन्दु (0, 0) से गुजरती है तथा इसका ढाल m है । अतः ऐसी रेखा का समीकरण
y - y₁ = m (x - x₁)
⇒ y - 0 = m (x - 0)
⇒ y = mx

प्रश्न 4.
बिन्दु ( 2, 2√3) से जाने वाली और x अक्ष से 75° के कोण पर झुकी हुई ।
हल:
रेखा बिन्दु (2, 2√3) से गुजरती है तथा बनने वाला कोण θ = 75°
∴ m = tan 75° = tan (45° + 30°)

अतः रेखा का समीकरण जो बिन्दु (x₁, y₁ ) से गुजरती हो तथ जिसका ढाल m हो
y - y₁ = m (x - x₁)
⇒ y - 2√3 = \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\) (x - 2)
⇒ (√3 - 1) (y - 2√3) = (√3 + 1) (x - 2)
⇒ √3y - 6 - y + 2√3 = √3x - 2√3 + x - 2
⇒ √3x - 2√3 + x - 2 = √3y - 6 - y + 2√3
⇒ √3x + x - √3y + y - 2√3 - 2√3 - 2 + 6 = 0
⇒ (√3 + 1)x - (√3 - 1)y = 4√3 - 4
⇒ (√3 + 1)x - (√3 - 1)y = 4(√3 - 1)

द्वितीय विधि:
प्रश्नानुसार, रेखा का x-अक्ष से झुकाव 75°
इसलिए रेखा का ढाल m = tan 75°

अब (x₁, y₁) से जाने वाली तथा m ढाल की रेखा का समीकरण
y - y₁ = m(x - x₁) ................... (1)
तब समीकरण (1) से,
∴ y - 2√3 = (2 + √3) (x - 2)
या (y - 2√3) = (2 + √3) x - (2 + √3) × 2
या (y - 2√3) = (2 + √3)x - 4 - 2√3
या y = (2 + √3)x - 4 - 2√3 + 2√3
∴ y = (2 + √3)x - 4
या (2 + √3)x - y = 4
अतः अभीष्ट रेखा का समीकरण
(2 + √3)x - y = 4

प्रश्न 5.
मूल बिन्दु के बाईं ओर x-अक्ष को 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने तथा ढाल - 2 वाली।
हल:
रेखा बिन्दु (- 3, 0) से गुजरती है। चूँकि रेखा मूल बिन्दु से 3 इकाई दूरी पर बाईं ओर x-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है तथा जिसका ढाल - 2 है। ऐसी ढाल वाली रेखा का समीकरण
y - y¹ = m (x - x₁)
या y - 0 = - 2 (x + 3)
या y = - 2x - 6
या 2x + y + 6 = 0

प्रश्न 6.
मूल बिन्दु से ऊपर y - अक्ष को 2 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली और x - अक्ष की धन दिशा के साथ 30° का कोण बनाने वाली ।
हल:
मूल बिन्दु से ऊपर y-अक्ष पर 2 इकाई की दूरी पर बिन्दु (0, 2) होगा । अतः यह रेखा बिन्दु (0, 2) से गुजरती है तथा x-अक्ष की धन दिशा के साथ 30° का कोण बनाती है।
अतः m = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
अतः ऐसी रेखा का समीकरण y - y₁ = m(x - x₁)
या (y - 2) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) (x - 0)
या √3y - 2√3 = x
या x - √3y + 2√3 = 0

प्रश्न 7.
बिन्दुओं (- 1, 1) और (2, – 4) से जाते हुए ।
हल:
यह रेखा बिन्दुओं (- 1, 1) तथा (2, - 4) से गुजरती है अतः
इस रेखा की ढाल
m = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-4-1}{2+1}=\frac{-5}{3}\)
∴ रेखा का उपयुक्त समीकरण y - y₁ = m (x - x₁)
या y - 1 = - \(\frac{5}{3}\)(x + 1)
या 3y - 3 = - 5x - 5
या 5x + 3y + 2 = 0

प्रश्न 8.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी मूल बिन्दु से लांबिक दूरी 5 इकाई और लंब, धन x - अक्ष से 30° का कोण बनाती है ।
हल:
दी गई रेखा की मूल बिन्दु से लाम्बिक दूरी 5 इकाई है।
अर्थात् p = 5 तथा α = 30°
∵ रेखा का लाम्बिक रूप
x cos α + y sin α = p
या x cos 30° + y sin 30° = 5

या √3x + y = 10

प्रश्न 9.
∆ PQR के शीर्ष P ( 2, 1), Q ( - 2, 3) और R (4,5 ) हैं । शीर्ष R से जाने वाली माध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार तीन बिन्दु जो कि ∆ PQR के तीन शीर्ष P ( 2, 1), Q (-2, 3) तथा R ( 4, 5 ) हैं ।
∴ रेखा या भुजा PQ का मध्य बिन्दु (M) निर्देशांक होंगे
= \(\left[\frac{2+(-2)}{2}, \frac{1+3}{2}\right]\)
= (0, 2)

अब शीर्ष R (4, 5) तथा मध्य बिन्दु (0, 2) से जाने वाली रेखा
y - y₁ = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) (x - x₁)
या y - 5 = \(\frac{2-5}{0-4}\) (x - 4)
या 4 (y - 5) = 3 (x - 4)
या 4y - 20 = 3x - 12
या 3x - 4y + 8 = 0

प्रश्न 10.
(-3, 5) से होकर जाने वाली और बिन्दु (2, 5) और (-3, 6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
दी गई रेखा (-3, 5) बिन्दु से होकर जाती है तथा बिन्दु (2, 5) तथा (- 3, 6) से होकर जाने वाली रेखा पर लम्ब है अतः रेखा
BC की ढाल m = \(\frac{6-5}{-3-2}=-\frac{1}{5}\)

यदि AL माना कि
बिन्दु (- 3, 5) से BC पर लम्ब हो तो इसका ढाल माना कि m₁ है। ∵ रेखाएँ AL तथा BC परस्पर लम्ब हैं।
∴ AL का ढाल × BC का ढाल = - 1
या n₁ × \(\left(-\frac{1}{5}\right)\) = - 1
∴ m₁ = 5
अब रेखा AL का ढाल 5 है और A (-3, 5) से होकर जाती है।
∴ AL का समीकरण y - y₁ = m₁ (x - x₁)
या y - 5 = 5 (x + 3)
या y - 5 = 5x + 15
या 5x - y + 20 = 0

प्रश्न 11.
एक रेखा (1, 0) तथा ( 2, 3) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा खंड पर लंब है तथा उसको 1 : n के अनुपात में विभाजित करती है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक रेखा l है जो बिन्दुओं A (1, 0) तथा B (2, 3) को मिलाने वाली रेखा पर लम्ब है। ∴ रेखा AB की ढाल

∴ रेखा की ढाल = - \(\frac{1}{3}\)
∵ m₁ × m₂ = - 1
क्योंकि रेखा l, AB को C बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती है ∴ C बिन्दु के निर्देशांक

या 3 (n + 1) y - 9 = - (n + 1) x + (n + 2)
या (n + 1 ) x + 3 (n + 1) y = n + 2 + 9
या (n + 1 ) x + 3 (n + 1) y = n + 11

प्रश्न 12.
एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों से समान अंतःखण्ड काटती है और बिन्दु (2, 3) से जाती है।
हल:
माना कि वह रेखा निर्देशांक अक्षों से समान अंतःखण्ड a काटती है। ∴ रेखा के समीकरण का अंतःखण्ड रूप
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}\) = 1 ∵ b = a है
या x + y = a
∵ यह रेखा बिन्दु (2, 3) से होकर जाती है अतः
2 + 3 = a
⇒ a = 5
अतः रेखा x + y = 5

प्रश्न 13.
बिन्दु (2, 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा अक्षों से कटे अंतः खण्डों का योग 9 है।
हल:
माना कि बिन्दु (2, 2) से होकर जाने वाली रेखा से अक्षों पर a तथा b अन्त:खण्ड हैं। हम जानते हैं कि अंतःखण्ड के रूप में रेखा का समीकरण
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
∵ यह रेखा बिन्दु (2, 2) से होकर जाती है
∴ \(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\) = 1 ............. (1)
यह भी प्रश्नानुसार दिया है कि अंतःखण्डों का योग = 9
अर्थात् a + b = 9
⇒ b = 9 - a .......... (2)
b का मान समीकरण (1) में रखने पर
2\(\frac{2}{a}+\frac{2}{9-a}\) = 1
या 2 (9 - a) + 2a = a (9 - a)
या 18 - 2a + 2a = 9a - a²
या a² 9a + 18 = 0
या a² - 6a - 3a + 18 = 0
या a(a - 6) - 3 (a - 6) = 0
या (a - 6) + (a - 3) = 0
∴ a = 6, 3
∴ b = 3, 6
∴ अभीष्ट समीकरण
b = 3, 6
\(\frac{x}{6}+\frac{y}{3}\) = 1 या \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}\) = 1
या 3x + 6y = 18 या 6x + 3y = 18
या x + 2y = 6 या 2x + y = 6

प्रश्न 14.
बिन्दु (0, 2) से जाने वाली और धन x- अक्ष से 237 के कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। इसके समान्तर और y - अक्ष को मूल बिन्दु से 2 इकाई नीचे की दूरी पर प्रतिच्छेद करती हुई रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रथम स्थिति - एक रेखा बिन्दु (0, 2) से होकर जाती है तथा धन x-अक्ष से \(\frac{2 \pi}{3}\) का कोण बनाती है ।
∴ रेखा की ढाल = tan \(\frac{2 \pi}{3}\) = - √3
∴ रेखा का समीकरण y - y₁ = m (x - x₁)
या y - 2
या y - 2 = - √3(x - 0)
या y - 2 = - √3x
या √3x + y - 2 = 0

द्वितीय स्थिति:
यह रेखा बिन्दु (0, - 2) से होकर जाती है तब m = - √3 क्योंकि ये दोनों रेखाएँ समान्तर हैं। अतः रेखा का समीकरण
y - y₁ = m (x - x₁)
y + 2 = - √3 (x - 0)
या y + 2 = - √3 x
या √3x + y + 2 = 0

प्रश्न 15.
मूल बिन्दु से किसी रेखा पर डाला गया लम्ब रेखा से बिन्दु (- 2, 9) पर मिलता है, रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि रेखा AB पर मूल बिन्दु से डाला गया लम्ब AB को (- 2, 9) पर मिलता है।
∴ OP की ढाल = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{9-0}{-2-0}=-\frac{9}{2}\)
परन्तु AB ⊥ OP

अब AB रेखा की ढाल \(\frac{2}{9}\) है तथा यह P (- 2, 9) से होकर जाती है अतः
∴ AB का समीकरण y - y₁ = m (x - x₁)
या y - 9 = \(\frac{2}{9}\) (x + 2)
या 9y - 81 = 2x + 4
या 2x - 9y + 85 = 0

प्रश्न 16.
ताँबे की छड़ की लम्बाई L (सेमी. में ) सेल्सियस ताप C का रैखिक फलन है। एक प्रयोग में यदि L = 124.942 जब C = 20 और L = 125.134 जब C = 110 हो, तो L को C के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना कि C, x - अक्ष के अनुदिश तथा L, y-अक्ष के अनुदिश है तो xy - तल में दो बिन्दु (20, 124.942) तथा ( 110, 125.134) स्थित हैं। दो बिन्दु रूप सूत्र से बिन्दु (C, L) के द्वारा सन्तुष्ट होने वाला समीकरण होगा-

प्रश्न 17.
किसी दूध भण्डार का स्वामी प्रति सप्ताह 980 लीटर दूध, 14 रुपए प्रति लीटर के भाव से और 1220 लीटर दूध 16 रुपए प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है। विक्रय मूल्य तथा माँग के मध्य के सम्बन्ध को रैखिक मानते हुए यह ज्ञात कीजिए कि प्रति सप्ताह का कितना दूध 17 रुपए प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है?
हल:
प्रश्नानुसार दूध के भाव तथा दूध की मात्रा में रैखिक सम्बन्ध है । माना कि यह रेखा दो बिन्दुओं ( 14,980) तथा ( 16,1220) से होकर गुजरती है । अतः इस रेखा का समीकरण

या y - 980. = 120 (x - 14 )
या y = 120 (x - 14) + 980
यदि x का मान 17 हो अर्थात् दूध का भाव 17 रुपए हो ते
y = 120 (17 - 14) + 980
= 120 × 3 + 980
= 360 + 980
∴ y = 1340
अर्थात् 17 रुपए प्रति लीटर के भाव से 1340 लीटर दूध सकेगा।

प्रश्न 18.
अक्षों के बीच रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु P (a, b) है। दिखाइ कि रेखा का समीकरण \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2 है।
हल:
माना कि बिन्दु A (C, 0) तथा बिन्दु B (0, d ) है। ∴ रेखा AI का मध्य बिन्दु

प्रश्न 19.
अक्षों के बीच रेखाखण्ड को बिन्दु R (h, k), 1 : 2 के अनुपात में विभक्त करता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
बिन्दु R (h, k) अक्षों के बीच
रेखाखण्ड AB को AR : RB = 1 : 2 के अनुपात में विभक्त करता है। माना कि अक्षों पर अंत: खण्ड OA = a और OB = b है। ∴ A तथा B बिन्दु के निर्देशांक (a, 0) और (0, b) हैं।

प्रश्न 20.
रेखा के समीकरण की संकल्पना का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि तीन बिन्दु (3, 0), (- 2, - 2) और (8, 2) सरेख हैं।
हल:
माना कि दिए हुए बिन्दु क्रमश: A (3, 0), B (- 2, - 2) त C (8, 2) हैं। अतः रेखा AB का समीकरण
y - y₁ = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
या y - 0 = \(\frac{-2-0}{-2-3}\) (x - 3)
या 5y = 2x - 6
या 2x - 5y - 6 = 0
यदि बिन्दु C (8, 2) इस रेखा पर पड़ता है तो इसके निर्देशां इस समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे ।
∴ 2 × 8 - 5 × 2 - 6 = 0
या 16 - 16 = 0
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अत: बिन्दु (8, 2) भी बिन्दुओं ( 3, 0) तथा (- 2, - 2) कं मिलाने वाली रेखा पर है। इससे प्रतीत होता है कि दिये गये बिन्दु एक रेखा पर हैं ।
अत: बिन्दु (3, 0), (−2, – 2) व (8, 2) संरेख हैं ।