RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

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RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

प्रश्न 1.
दी गयी आकृति में, PS कोण ∠QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}\) है।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q1

हल-
दिया है : एक ΔPQR है जिसमें PS कोण ∠QPR का समद्विभाजक है अर्थात् ∠1 = ∠2 है।
सिद्ध करना है : \(\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\)

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q1.1

रचना : R में से एक रेखा PS के समान्तर खींचिए जो QP को बढ़ाने पर T पर मिलती है।
उपपत्ति : ΔQRT में, PS || TR
∠2 = ∠3 (एकान्तर कोण)
∠1 = ∠4 (संगत कोण)
परन्तु ∠1 = ∠2 (दिया है)
∴ ∠3 = ∠4
ΔPRT में,
∠3 = ∠4 (सिद्ध कर चुके हैं)
PT = PR [∵ समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।]
ΔQRT में, PS || TR
\(\frac{Q P}{P T}=\frac{Q S}{S R}\) [आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]
\(\frac{Q P}{P R}=\frac{Q S}{S R}\) [∵ PT = PR]
\(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}\) (इतिसिद्धम)

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

प्रश्न 2.
दी गयी आकृति में, D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है जबकि BD ⊥ AC तथा DM ⊥ BC और DN ⊥ AB, सिद्ध कीजिए कि-
(i) DM2 = DN . MC
(ii) DN2 = DM . AN

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q2

हल-
दिया है : समकोण ΔABC में, DM ⊥ BC, DN ⊥ AB है।
सिद्ध करना है :
(i) DM2 = DN . MC
(ii) DN2 = DM . AN
उपपत्ति : BD ⊥ AC (दिया है)
∠BDC = 90°
∠BDM + ∠MDC = 90° ......(i)

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q2.1

ΔDMC में,
∠DMC = 90° [∵ DM ⊥ BC (दिया है)]
∠C + ∠MDC = 90° ......(ii)
(i) और (ii) से,
∠BDM + ∠MDC = ∠C + ∠MDC
∠BDM = ∠C
अब ΔBMD और ΔMDC में,
∠BDM = ∠C (सिद्ध कर चुके हैं)
∠BMD = ∠MDC (प्रत्येक 90°)
(i) ∴ ΔBMD ~ ΔMDC [AA समरूपता कसौटी से]
\(\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{BM}}=\frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{DM}}\)
या DM2 = BM × MC
या DM2 = DN . MC [∵ BM = DM] (इतिसिद्धम्)
(ii) इसी प्रकार ΔNDA ~ ΔNBD
\(\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{BN}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{DN}}\)
या DN2 = BN × AN
या DN2 = DM . AN (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 3.
दी गयी आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° है तथा AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 + 2BC . BD है।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q3

हल-
दिया है : ΔABC में, AD ⊥ BC जब BC को बढ़ाया जाता है।
∠ABC > 90° है।
सिद्ध करना है : AC2 = AB2 + BC2 + 2BC . BD

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q3.1

माना कि BC = a, CA = b, AB = c, AD = h और BD = x
समकोण त्रिभुज ΔADC में,
पाइथागोरस प्रमेय से, AC2 = CD2 + AD2
अर्थात् b2 = (x + a)2 + h2 ......(i)
समकोण त्रिभुज ΔADB में,
AB2 = DB2 + AD2
c2 = x2 + h2 ......(ii)
समीकरण (i) में से (ii) को घटाने पर
b2 - c2 = (x + a)2 + h2 - x2 - h2
⇒ b2 - c2 = x2 + 2ax + a2 + h2 - x2 - h2
⇒ b2 - c2 = a2 + 2ax
⇒ b2 = c2 + a2 + 2ax
अतः AC2 = AB2 + BC2 + 2BC . BD (इतिसिद्धम्)

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

प्रश्न 4.
दी गयी आकृति में, ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° है तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 - 2BC . BD है।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q4

हल-
दिया है : एक ΔABC जिसमें ∠ABC < 90° तथा AD ⊥ BC है।
सिद्ध करना है : AC2 = AB2 + BC2 - 2BC . BD
उपपत्ति : ΔADC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें D पर समकोण है।
AC2 = CD2 + DA2 .......(i) (पाइथागोरस प्रमेय से)
साथ ही ΔADB समकोण Δ है D पर समकोण है।
AB2 = AD2 + DB2 .......(ii)
(i) से AC2 = AD2 + (CB - BD)2
या AC2 = AD2 + CB2 + BD2 - 2CB × BD
या AC2 = (BD2 + AD2) + CB2 - 2CB × BD
या AC2 = AB2 + BC2 - 2BC × BD [(ii) के प्रयोग से]
(इतिसिद्धम्)

प्रश्न 5.
दी गयी आकृति में, AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि
(i) AC2 = AD2 + BC . DM +\( \left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
(ii) AB2 = AD2 - BC . DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
(iii) AC2 + AB2 = 2AD2 + \(\frac{1}{2}\)BC2

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q5

हल-
दिया है : ΔABC में, AM ⊥ BC, AD, ΔABC की एक माध्यिका है।
सिद्ध करना है :
(i) AC2 = AD2 + BC . DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
(ii) AB2 = AD2 - BC . DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
(iii) AC2 + AB2 = 2AD2 + \(\frac{1}{2}\)BC2
उपपत्ति : ΔAMC में,
AC2 = AM2 + MC2
AC2 = AM2 + (MD + DC)2
AC2 = AM2 + MD2 + DC2 + 2MD × DC
AC2 = (AM2 + MD2) + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) + 2 . MD \(\left(\frac{B C}{2}\right)\) [∵ AD एक माध्यिका है।]
AC2 = AD2 + BC × MD + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\)
∴ AC2 = AD2 + BC . MD + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\) (इतिसिद्धम्) .....(i)
(ii) समकोण त्रिभुज AMB में,
AB2 = AM2 + BM2
= AM2 + (BD - MD)2
= AM2 + BD2 + MD2 - 2BD × MD

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q5.1

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के. योग के बराबर होता है।
हल-

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q6

दिया है : माना कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2
उपपत्ति : समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को परस्पर विभाजित करते हैं।
अर्थात् OB और OD क्रमशः त्रिभुज ABC और ADC की माध्यिका है।
∴ AB2 + BC2 = 2BO2 + \(\frac{1}{2}\)AC2 .......(i)
और AD2 + CD2 = 2DO2 + \(\frac{1}{2}\)AC2 ......(i)
(i) और (ii) को जोड़ने पर,
AB2 + BC2 + AD2 + CD2 = 2(BO2 + DO2) + \(\frac{1}{2}\) (AC2 + AC2)
AB2 + BC2 + AD2 + CD2 = 2(\(\frac{1}{4}\)BD2 + \(\frac{1}{4}\)BD2) + AC2
[∵ BO = \(\frac{1}{2}\) BD, OD = \(\frac{1}{2}\) BD]
AB2 + BC2 = 2 × \(\frac{1}{2}\) BD2 + AC2
∴ AB2 + BC2 + AD2 + CD2 = BD2 + AC2
अर्थात् एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
(इतिसिद्धम्)

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

प्रश्न 7.
दी गयी आकृति में, एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔAPC ~ ΔDPB
(ii) AP . PB = CP . DP

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q7

हल-
दिया है : एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q7.1

सिद्ध करना है :
(i) ΔAPC ~ ΔDPB
(ii) AP . PB = CP . DP
उपपत्ति : (i) ΔAPC और ΔDPB में,
∠1 = ∠2 (शीर्षाभिमुख कोण)
∠3 = ∠4 (एक ही वृत्तखण्ड के कोण)
∴ ΔAPC ~ ΔDPB [AA समरूपता कसौटी से] (इतिसिद्धम्)
(ii) ΔAPC ~ ΔDPB (सिद्ध कर चुके हैं)
अतः \(\frac{A P}{D P}=\frac{P C}{P B}\) यदि दो त्रिभज समरूप हों तो उनकी संगत भुजायें समानुपाती होती हैं।
AP . PB = PC . DP (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 8.
दी गयी आकृति में, एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔPAC ~ ΔPDB
(ii) PA . PB = PC . PD

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q8

हल-
दिया है : एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ΔPAC ~ ΔPDB
(ii) PA . PB = PC . PD

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q8.1

उपपत्ति : (i) ΔPAC और ΔPDB से,
∠P = ∠P (उभयनिष्ठ कोण)
∠PAC = ∠PDB (∵ चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण अन्तः सम्मुख कोण के बराबर होता है।)
∴ ΔPAC ~ ΔPDB [AA समरूपता कसौटी से] (इतिसिद्धम्)
(ii) ΔPAC ~ ΔPDB (ऊपर सिद्ध किया है)
\(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}=\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}\) यदि दो Δ समरूप हैं तो उनकी संगत भुजायें समानुपाती होती हैं।
∴ PA × PB = PC × PD (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 9.
दी गयी आकृति में, त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q9
हल-
दिया है : ΔABC में, भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
सिद्ध करना है : AD, कोण ∠BAC का समद्विभाजक है।
अर्थात् ∠1 = ∠2
रचना : C में से CE || DA खींचिए जो BA को बढ़ाने पर E पर मिले।
उपपत्ति : ΔBCE में,
AD || CE .....(रचना से)

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q9.1

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}\)
परन्तु \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ AE = AC
ΔACE में, AE = AC
⇒ ∠3 = ∠4 ......(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
चूँकि CE || DA और BAE इन्हें प्रतिच्छेद करती है तब
∠2 = ∠4 ......(एकान्तर कोण)
तथा CE || DA और BAE उन्हें प्रतिच्छेद करती है,
∠1 = ∠3 .......(संगत कोण)
इस प्रकार, ∠3 = ∠4
⇒ ∠4 = ∠1
∠3 = ∠1
परन्तु ∠4 = ∠2
⇒ ∠1 = ∠2
AD, ∠BAC को समद्विभाजित करता है। (इतिसिद्धम्)

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

प्रश्न 10.
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा कांटा पानी की सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाज़िमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी की सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति )? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकण्ड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Q10

हल-
समकोण त्रिभुज ABC में,
AB = 1.8 m, BC = 2.4 m, ∠B = 90°
पाइथागोरस प्रमेय से,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = (1.8)2 + (2.4)2
⇒ AC2 = 3.24 + 5.76 = 9
⇒ AC2 = (3)2
⇒ AC = 3 m
अब नाज़िमा डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींचे, तो डोरी की लम्बाई कम होती है।
= 5 × 12
= 60 cm
= 0.6 m; 12 सेकण्ड में,
माना कि 12 सेकण्ड के बाद काँटे की स्थिति D है।
∴ AD = AC - (12 सेकण्ड में तय दूरी)
= (3 - 0.6) m
= 2.4 m
अब, समकोण त्रिभुज ∆ABD में,
पाइथागोरस प्रमेय से,
AD2 = AB2 + BD2
⇒ (2.4)2 = (1.8)2 + BD2
⇒ BD2 = 5.76 - 3.24
⇒ BD2 = 2.52 m
⇒ BD = 1.587 m ~ 1.59 m
∴ नाज़िमा द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी = BD + 1.2 m
= (1.59 + 1.2) m
= 2.79 m
अतः डोरी की लम्बाई और नाजिमा द्वारा तय की गई दूरी 3 m और 2.79 m है।

Raju
Last Updated on June 2, 2022, 3:16 p.m.
Published June 1, 2022