RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

प्रश्न 1.
आकृति (i) और (ii) में, DE || BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए :

हल-
(i) में ΔABC में DE || BC ......(दिया है)
∴ \(\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}\)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]

(ii) ΔABC में, DE || BC .....(दिया है)
∴ \(\frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}\)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]

∴ AD = 2.4 cm

प्रश्न 2.
किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है :
(i) PE = 3.9 सेमी., EQ = 3 सेमी., PF = 3.6 सेमी. और FR = 2.4 सेमी.
(ii) PE = 4 सेमी., QE = 4.5 सेमी., PF = 8 सेमी. और RF = 9 सेमी.
(iii) PQ = 1.28 सेमी., PR = 2.56 सेमी., PE = 0.18 सेमी. और PF = 0.36 सेमी.
हल-
प्रश्नानुसार ΔPQR में दो बिन्दु क्रमशः E और F भुजाओं PQ और PR पर स्थित हैं। अतः

(i) PE = 3.9 सेमी., EQ = 3 सेमी., PF = 3.6 सेमी., FR = 2.4 सेमी.

∴ EF, QR के समान्तर नहीं है।
(ii) PE = 4 सेमी., QE = 4.5 सेमी., PF = 8 सेमी. और RF = 9 सेमी.

∴ आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से EF || QR
(iii) PQ = 1.28 सेमी., PR = 2.56 सेमी., PE = 0.18 सेमी., PF = 0.36 सेमी.
EQ = PQ - PE = 1.28 - 0.18 = 1.10 सेमी.
FR = PR - PF = 2.56 - 0.36 = 2.20 सेमी.

∴ आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से EF || QR

प्रश्न 3.
आकृति में यदि LM || CB और LN || CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AD}}\) है।

हल-
प्रश्नानुसार ∆ABC में,
ML || BC (दिया है)
∴ \(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}\) ......(i)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
पुनः ∆ADC में, LN || DC (दिया है)
∴ \(\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{ND}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}\) .......(ii)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
(i) और (ii) से,

प्रश्न 4.
आकृति में DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F E}}=\frac{\mathbf{B E}}{\mathbf{E C}}\) है।

हल-
प्रश्नानुसार ∆ABC में, DE || AC (दिया है)
∴ \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}\) ......(i)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]
पुनः ∆ABE में, DF || AE (दिया है)
∴ \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}\) ......(ii)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]
(i) और (ii) से,
\(\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}\) (इति सिद्धम्)

प्रश्न 5.
आकृति में DE || OQ और DF || OR है।| दर्शाइए कि EF || QR है।

हल-
दिया है : ∆POR में, DE || OQ
DF || OR (दिया है)
सिद्ध करना है : EF || QR
उपपत्ति : ∆PQO में,
ED || QO (दिया है)
∴ \(\frac{P D}{D O}=\frac{P E}{E Q}\) ..... (i)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]
पुनः ∆POR में,
DF || OR (दिया है)
∴ \(\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DO}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\) ......(ii)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]
(i) और (ii) से,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{F R}\)
∆PQR में, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
∴ EF || QR (इति सिद्धम्)

प्रश्न 6.
आकृति में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

हल-
दिया है : ∆PQR में बिन्दु A, B और C क्रमशः OP, OQ और OR पर इस प्रकार स्थित हैं कि AB || PQ, AC || PR
सिद्ध करना है : BC || QR
उपपत्ति : ∆OPQ में,
AB || PQ (दिया है)
∴ \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}\) ......(i)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]
पुनः ∆OPR में,
AC || PR (दिया है)
∴ \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}\) ......(ii)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]
(i) और (ii) से,
\(\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}\)
∴ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से, ∆OQR में BC || QR है। (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 7.
प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
हल-
दिया है : ∆ABC में, D, AB का मध्य बिन्दु है अर्थात् AD = DB है।
BC के समान्तर रेखा l, AC को E पर तथा AB को D पर प्रतिच्छेद करती है अर्थात् DE || BC है।

सिद्ध करना है : E, AC का मध्य बिन्दु है।
उपपत्ति : D, AB का मध्य बिन्दु है।
अर्थात् AD = DB (दिया है)
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}\) = 1 ......(i)
पुनः ∆ABC में DE || BC
∴ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) [आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]
∴ 1 = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) [(i) से]
∴ AE = EC
∴ E, AC का मध्य बिन्दु है। (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 8.
प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए . कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं)।
हल-
दिया है : ∆ABC में, D और E क्रमशः AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं जिससे कि AD = BD और AE = EC हैं।
D और E को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति : D, AB का मध्य बिन्दु है। (दिया है)
अर्थात् AD = BD
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}\) = 1 .......(i)
पुनः E, AC का मध्य बिन्दु है। (दिया है)
∴ AE = EC
\(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) = 1 .......(ii)
(i) और (ii) से, \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम के प्रयोग से,
DE || BC (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 9.
ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) हैं।
हल-
दिया है : ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC है।
विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है : \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\)
रचना : O में से FO || DC || AB खींचिए।
उपपत्ति : अब ∆DAB में, FO || AB (रचना से)
∴ \(\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{FA}}=\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{OB}}\) .......(i)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]
पुनः ∆DCA में, FO || DC (रचना से)
\(\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{FA}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OA}}\) .......(ii)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]
(i) और (ii) से, \(\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{OB}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OA}}\)
या \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) (इतिसिद्धम्)

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) है। दर्शाइए कि ABCD एक समलम्ब है।
हल-
दिया है : चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) है।

सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है।
रचना : 'O' से रेखा EO || AB खींची, जो AD को E पर मिलती है।
उपपत्ति : ∆DAB में,
EO || AB
∴ \(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{OB}}\) ......(i)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]

(i) और (ii) से, \(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{AO}}\)
∴ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से
EO || DC
साथ ही, EO || AB
⇒ AB || DC
∴ चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD (इतिसिद्धम्)