RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए:
(i) 2, 7, 12, ....... 10 पदों तक।
हल-
दी गई A.P. है : 2, 7, 12, .....
यहाँ a = 2, d = 7 - 2 = 5
और n = 10
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d] का प्रयोग करने पर
∴ S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2 × 2 + (10 - 1)5]
= 5[4 + 45]
= 5 × 49
= 245
अतः 10 पदों तक का योग = 245

(ii) -37, -33, -29, ....... 12 पदों तक।
हल-
दी गई A.P. है : -37, -33, -29, .....
यहाँ a = -37, d = -33 + 37 = 4
और n = 12
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d] का प्रयोग करने पर
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [2 × (-37) + (12 - 1)4]
= 6 [-74 + 44]
= 6 × (-30)
= -180
अतः 12 पदों तक योग = -180

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ....... 100 पदों तक।
हल-
दी गई A.P. है : 0.6, 1.7, 2.8, .....
यहाँ a = 0.6, d = 1.7 - 0.6 = 1.1
और n = 100
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d] का प्रयोग करने पर
S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\) [2(0.06) + (100 - 1)1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1
= 5505
अतः 100 पदों तक योग = 5505

(iv) \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}\), ...... 11 पदों तक।
हल-

अतः श्रेणी के 11 पदों तक योग = \(\frac{33}{20}\)

प्रश्न 2.
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 27 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + ...... + 84
हल-
दी गई A.P. है:

(ii) 34 + 32 + 30 + ..... + 10
हल-
दी गई A.P. है : 34 + 32 + 30 + ..... + 10
यहाँ a = 34, d = 32 - 34 = -2
और l = a_n = 10
a + (n - 1)d = 10
या 34 + (n - 1) (-2) = 10
या -2(n - 1) = 10 - 34 = -4
या n - 1 = 12
या n = 12 + 1 = 13
अब, S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [34 + 10] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= \(\frac{13}{2}\) × 44
= 286
अतः 34 + 32 + 30 + ........... + 10 = 286

(iii) -5 + (-8) + (-11) + ..... + (-230)
हल-
दी गई A.P. है : -5 + (-8) + (-11) + .......... + (-230),
यहाँ a = -5, d = -8 + 5 = -3
और l = a_n = -230
या a + (n - 1)d = -230
या -5 + (n - 1) (-3) = -230
या -3(n - 1) = -230 + 5 = -225
या n - 1 = 75
या n = 75 + 1 = 76
अब, S₇₆ = \(\frac{76}{2}\) [-5 + (-230)] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= 38 (-235)
= -8930
अतः -5 + (-8) + (-11) + (-230) = -8930

प्रश्न 3.
एक A.P. में
(i) a = 5, d = 3, a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a = 5, d = 3, a_n = 50
∴ a_n = 50
a + (n - 1)d = 50
या 5 + (n - 1)3 = 50
या 3(n - 1) = 50 - 5 = 45
या n - 1 = 15
या n = 15 + 1 = 16
अब, S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= \(\frac{16}{2}\) [5 + 50]
= 8 × 55
= 440
अत: n = 16 तथा S_n = 440

(ii) a = 7, a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a = 7, a₁₃ = 35
∴ a₁₃ = 35
a + (n - 1)d = 35
या 7 + (13 - 1)d = 35
या 12d = 35 - 7 = 28
या d = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)
अब, S_n = \(\frac{13}{2}\) [7 + 35] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= \(\frac{13}{2}\) × 42
= 13 × 21
= 273
अत: d = \(\frac{7}{3}\) तथा S₁₃ = 273

(iii) a₁₂ = 37, d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a₁₂ = 3, d = 3
∴ a₁₂ = 37
a + (n - 1)d = 37
या a + (12 - 1)3 = 37
या a + 11 × 3 = 37
या a = 37 - 33 = 4
अब, S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [4 + 37] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= 6 × 41
= 246
अतः a = 4 तथा S₁₂ = 246

(iv) a₃ = 15, S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a₃ = 15, S₁₀ = 125
∴ a₃ = 15
a + (n - 1)d = 35
या a + (3 - 1)d = 15
या a + 2d = 15 ......(1)
\(\frac{10}{2}\)[2a + (10 - 1)d] = 125 [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a +(n - 1)d]
या 5[2a + 9d] = 125
या 2a + 9d = 25 ......(2)
(1) से a = 15 - 2d .....(3)
a का मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर
2(15 - 2d) + 9d = 25
या 30 - 4d + 9d = 25
या 5d = 25 - 30 = -5
या d = -1
d का मान (3) में प्रतिस्थापित करने पर
d = 15 - 2(-1)
= 15 + 2
= 17
अब, a₁₀ = 17 + (10 - 1) (-1) [∵ S_n = a + (n - 1)d]
= 17 - 9
= 8
अत: d = -1 तथा a₁₀ = 8

(v) d = 5, S₉ = 75, दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है d = 5, S₉ = 75
∵ S₉ = 75

(vi) a = 2, d = 8, S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a = 2, d = 8, S_n = 90
∵ S_n = 90
\(\frac{n}{2}\)[2a + (n - 1)d] = 90
या \(\frac{n}{2}\)[2 × 2 + (n - 1)8] = 90
या n[2 + 4n - 4] = 90
या 4n² - 2n - 90 = 0
या 2n² - n - 45 = 0
या 2n² - 10n + 9n - 45 = 0
S = -2
P= -45 × 2 = -90
या 2n(n - 5) + 9(n - 5) = 0
या (2n + 9) (n - 5) = 0
अर्थात् 2n + 9 = 0 या n - 5 = 0
अर्थात् n = \(-\frac{9}{2}\) or n = 5
∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता इसलिए n = \(-\frac{9}{2}\) को छोड़ने पर,
∴ n = 5
अब, a_n = a₅ = a + (n - 1)d
= 2 + (5 - 1)8
= 2 + 32
= 34
अतः n = 5 तथा a_n = 34

(vii) a = 8, a_n = 62, S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a = 8, a_n = 62, S_n = 210
∵ S_n = 210
या \(\frac{n}{2}\) [a + a_n] = 210
या \(\frac{n}{2}\) [8 + 62] = 210
या \(\frac{n}{2}\) × 70 = 210
या n = 6
अब, a_n = 62
या 8 + (6 - 1) d = 62 [∵ T_n = a + (n - 1)d]
या 5d = 62 - 8 = 54
या d = \(\frac{54}{5}\)
अतः n = 6 तथा d = \(\frac{54}{5}\)

(viii) a_n = 4, d = 2, S_n = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a_n = 4, d = 2, S_n = -14
∵ a_n = 4
∴ a + (n - 1)d = 4
a + (n - 1)2 = 4
a + 2n - 2 = 4
a = 6 - 2n ......(1)
और S_n = -14
या \(\frac{n}{2}\) [a + a_n] = -14
या \(\frac{n}{2}\) [6 - 2n + 4] = -14 [∵ (1) के प्रयोग से]
या \(\frac{n}{2}\) [10 - 2n] = -14
या 5n - n² + 14 = 10
या n² - 5n - 14 = 0 ⇒ S = -5
या n² - 7n + 2n - 14 = 0 ⇒ P = 1 × -14 = -14
या n² - 7n + 2n - 14 = 0
या n(n - 7) + 2(n - 7) = 0
या (n - 7) (n + 2) = 0
अर्थात् n - 7 = 0 या n + 2 = 0
∴ n = 7 या n = -2
∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता।
∵ n = -2 को छोड़ने पर
∴ n = 7
n का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
a = 6 - 2 × 7
a = 6 - 14 = -8
अतः a = -8 तथा n = 7

(ix) a = 3, n = 8, S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a = 3, n = 8, S = 192
∵ S = 192
S₈ = 192 [∵ n = 8]
या \(\frac{8}{2}\)[2 × 3 + (8 - 1)d] = 192 [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n - 1)d]]
या 4[6 + 7d] = 192
या 6 + 7d = 48
या 7d = 48 - 6 = 42
या d = 6

(x) l = 28, S = 144 दिया है। और कुल पद 9 हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है l = 28, S = 144 और कुल पद 9 हैं।
∴ n = 9; l = a₉ = 28; S₉ = 144
∵ a_n = 28
या a + (9 - 1)d = 28 [∵ a_n = a + (n - 1)d]
या a + 8d = 28 ......(1)
और S₉ = 144
\(\frac{9}{2}\) [a + 28] = 144 [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
या a + 28 = \(\frac{144 \times 2}{9}\) = 32
या a = 32 - 28 = 4

प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P. : 9, 17, 25, ..... के कितने पद लेने चाहिए?
हल-
दिया है : A.P. 9, 17, 25, .....
यहाँ a = 9, d = 17 - 9 = 8
क्योंकि S_n = 636
या \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d] = 636
या \(\frac{n}{2}\) [2(9) + (n - 1)8] = 636
या \(\frac{n}{2}\) [18 + 8n - 8] = 636
या n[4n + 5] = 636
या 4n² + 5n - 636 = 0
या a = 4, b = 5, c = -636
D = (5)² - 4 × 4 × (-636)
= 25 + 10176
= 10201

∵ n ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अतः n = \(-\frac{53}{4}\) को छोड़ने पर
∴ n = 12
अतः दी गई A.P. के 12 पदों का योग 636 है।

प्रश्न 5.
किसी A.P. का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 हैं। पदों की संख्या और सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a = 5; l = a_n = 45
और S_n = 400
∵ a_n = 45
या a + (n - 1)d = 45
या 5 + (n - 1)d = 45
या (n - 1)d = 45 - 5 = 40
या (n - 1)d = 40 ......(1)
और S_n = 400
या \(\frac{n}{2}\) [a + a_n] = 400
या \(\frac{n}{2}\) [5 + 45] = 400
या 25n = 400
या n = 16
n का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
(16 - 1)d = 40
या 15d = 40
या d = \(\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\)
अतः, n = 16 और d = \(\frac{8}{3}\)

प्रश्न 6.
किसी A.P. के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अन्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
हल-
दिया है कि
प्रथम पद = a = 17;
अन्तिम पद = l = a_n = 350
और सार्व अन्तर = d = 9
∵ l = a_n = 350
a + (n - 1)d = 350
या 17 + (n - 1)9 = 350
या 9(n - 1) = 350 - 17 = 333
या n - 1 = 37
या n = 37 + 1 = 38
अब, S₃₈ = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= \(\frac{n}{2}\)[17 + 350]
= 19 × 367
= 6973
अतः दी गई A.P के 38 पदों का योग 6973 है।

प्रश्न 7.
उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल-
दिया है कि d = 7, a₂₂ = 149 और n = 22
∵ a₂₂ = 149
a + (n - 1)d = 149
या a + (22 - 1)7 = 149
या a + 147 = 149
या a = 149 - 147 = 2
अब, S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a₂₂]
= \(\frac{22}{2}\) [2 + 149]
= 11 × 151
= 1661
अतः, दी गई A.P. के प्रथम 22 पदों का योग 1661 है।

प्रश्न 8.
उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमश: 14 और 18 हैं।
हल-
माना कि 'a' और 'd' प्रथम पद और सार्व अन्तर है।
दिया गया है कि a₂ = 14; a₃ = 18 और n = 51
∵ a₂ = 14
a + (2 - 1)d = 14
a + d = 14
a = 14 - d .......(1)
और a₃ = 18 (दिया है)
a + (3 - 1)d = 18
या a + 2d = 18
या 14 - d + 2d = 18
या d = 18 - 14 = 4
या d = 4
d का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 14 - 4 = 10
अब, S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d]
S_n = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 - 1)4]
= \(\frac{51}{2}\) [20 + 200]
= \(\frac{51}{2}\) × 220
= 51 × 110
= 5610
अतः, दी गई A.P. के प्रथम 51 पदों का योग 5610 है।

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि 'a' और 'd' दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर है।
पहली शर्त के अनुसार,
S₇ = 49
या \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d] = S_n
या \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 - 1) d] = S₇
या \(\frac{7}{2}\) [2a + 6d] = 49
या a + 3d = 7
या a = 7 - 3d ......(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
S₁₇ = 289
\(\frac{17}{2}\) [2a + (17 - 1)d] = 289
a + 8d = 17
a का मान (1) से प्रतिस्थापित करने पर,
7 - 3d + 8d = 17
5d = 17 - 7 = 10
d = 2
d का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 7 - 3 × 2
= 7 - 6
= 1
अब, S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d]
= \(\frac{n}{2}\) [2 × 1 + (n - 1) × 2]
= \(\frac{n}{2}\) [2 + 2n - 2]
= \(\frac{n}{2}\) × 2n
= n
अतः, दी गई A.P. की प्रथम n पदों का योग n2 है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि a₁, a₂, ....., a_n, ..... से एक A.P. बनती है, यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :
(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 - 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल-
(i) दिया है कि a_n = 3 + 4n ......(1)
n के विभिन्न मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
a₁ = 3 + 4(1) = 7;
a₂ = 3 + 4(2) = 11;
a₃ = 3 + 4(3) = 15, .....
अब a₂ - a₁, a₃ - a₂, का मान ज्ञात करेंगे
∵ a₂ - a₁ = 11 - 7 = 4
और a₃ - a₂ = 4 = d (मान लीजिए)
∴ दिया गया अनुक्रम A.P. का ही रूप है।
यहाँ a = 7, d = 4 और n = 15
∴ S₁₅ = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d]
= \(\frac{15}{2}\) [2(7) + (15 - 1)4]
= \(\frac{15}{2}\) [14 + 56]
= \(\frac{15}{2}\) × 70
= 15 × 35
= 525

(ii) दिया है कि a_n = 9 - 5n ......(1)
n के विभिन्न मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
a₁ = 9 - 5(1) = 4;
a₂ = 9 - 5(2) = -1;
a₃ = 9 - 5(3) = -6
अब, a₂ - a₁ = -1 - 4 = -5
और a₃ - a₂ = -6 + 1 = -5
∵ a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = -5 = d (मान लीजिए)
∴ दिया गया अनुक्रम A.P. का ही रूप है।
यहाँ a = 4, d = -5 और n = 15
∴ S₁₅ = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d]
= \(\frac{15}{2}\) [2(4) + (15 - 1)(-5)]
= \(\frac{15}{2}\) [8 - 70]
= \(\frac{15}{2}\) (-62)
= 15 × (-31)
= -465
अतः अनुक्रम = -4, -1, -6, ........ तथा योगफल = -465

प्रश्न 11.
यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n - n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है कि A.P. के n पदों का योग है
S_n = 4n - n² ......(1)
n = 1 का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
S₁ = 4(1) - (1)²
= 4 - 1
= 3
∴ a = a₁ = S₁ = 3
n = 2 का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
S₂ = 4(2) - (2)²
= 8 - 4
= 4
या a₁ + a₂ = 4
या 3 + a₂ = 4
या a₂ = 4 - 3 = 1
n = 3 का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
S₂ = 4(3) - (3)²
= 12 - 9
= 3
S₂ + a₃ = 3
या 4 + a₃ = 3
या a₃ = 3 - 4 = -1
अब, d = a₂ - a₁
= 1 - 3
= -2
∴ a₁₀ = a + (n - 1)d
= 3 + (10 - 1) (-2)
= 3 - 18
= -15
और a_n = a + (n - 1)d
= 3 + (n - 1) (-2)
= 3 - 2n + 2
a_n = 5 - 2n
अतः S₁ = 3
प्रथम दो पदों का योग S₂ = 4
दूसरा पद a₂ = 1
तीसरा पद a₃ = -1
10वाँ पद a₁₀ = -15
तथा nवाँ पद a_n = 5 - 2n

प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल-
6 से विभाज्य धन पूर्णांक हैं :
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ......
यहाँ a = a₁ = 6, a₂ = 12, a₃ = 18, a₄ = 24
a₂ - a₁ = 12 - 6 = 6
a₃ - a₂ = 18 - 12 = 6
a₄ - a₃ = 24 - 18 = 6
∵ a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃ = 6 = d (मान लीजिए)
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d] का प्रयोग करने पर,
S₄₀ = \(\frac{40}{2}\) [2(6) + (40 - 1)6]
= 20[12 + 234]
= 20(246)
= 4920
अतः, 6 से विभाज्य 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है।

प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल-
8 के गुणज हैं : 8, 16, 24, 32, 40, 48, .....
यहाँ a = a₁ = 8, a₂ = 16, a₃ = 24, a₄ = 32
a₂ - a₁ = 16 - 8 = 8
a₃ - a₂ = 24 - 16 = 8
∵ a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = 8 = d (मान लीजिए)
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d] का प्रयोग करने पर,
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\) [2(8) + (15 - 1)8]
= \(\frac{15}{2}\) [16 + 112]
= \(\frac{15}{2}\) × 128
= 960
अतः, 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग 960 है।

प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल-
0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ हैं :
1, 3, 5, 7, 9, ....., 49
यहाँ a = a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 5, a₄ = 7
और l = a_n = 49
a₂ - a₁ = 3 - 1 = 2
a₃ - a₂ = 5 - 3 = 2
∵ a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = 2 = d (मान लीजिए)
साथ ही l = a_n = 49
a + (n - 1)d = 49
या 1 + (n - 1)2 = 49
या 2(n - 1) = 49 - 1 = 48
या n - 1 = 24
या n = 24 + 1 = 25
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d] का प्रयोग करने पर,
S₂₅ = \(\frac{25}{2}\) [2(1) + (25 - 1)2]
= \(\frac{25}{2}\) [2 + 48]
= \(\frac{25}{2}\) × 50
= 625
अतः, 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग 625 है।

प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए 200 रु., दूसरे दिन के 250 रु., तीसरे दिन 1 के लिए 300 रु. इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु. अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है?
हल-
पहले, दूसरे और तीसरे दिन के विलम्ब के लिए जुर्माना है : 200 रु., 250 रु., 300 रु.
अब, जुर्माना अगले दिन 50 रु. के अन्तर से बढ़ता जाता है।
∴ अभीष्ट A.P. है : 200 रु., 250 रु., 300 रु., 350 रु......
यहाँ a = a₁ = 200; d = 50 और n = 30
30 दिन के पश्चात् दी जाने वाली जुर्माने की राशि = S₃₀
= \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d]
= \(\frac{30}{2}\) [2(200) + (30 - 1)50]
= 15[400 + 1450]
= 15(1850)
= 27750
अतः, यदि ठेकेदार कार्य में 30 दिन विलम्ब करता है, तो उसे जुर्माने के रूप में 27,750 रु. देने होंगे।

प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु. की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु. कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
मान लीजिए पहले विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि = x रु.
दूसरे विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि = (x - 20) रु.
तीसरे विद्यार्थी को दी गई पुरस्कार की राशि = [x - 20 - 20] रु. = (x - 40) रु.
∴ अभीष्ट अनुक्रम है : x रु., (x - 20) रु., (x - 40) रु. ...... 
जो कि एक A.P. बनाती है, जिसमें a = x रु., d = -20 और n = 7
सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d] का प्रयोग करने पर,
S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2(x) + (7 - 1) (-20)]
= \(\frac{7}{2}\) [2x - 120]
= 7(x - 60)
प्रश्न के अनुसार,
7(x - 60) = 700
x - 60 = 100
x = 100 + 60
x = 160
अतः 7 पुरस्कार हैं : 160 रु., 140 रु., 120 रु., 100 रु., 80 रु., 60 रु., 40 रु.।

प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुलं पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल-
कक्षा के तीन अनुभागों द्वारा लगाये गये पेड़ों की संख्या = 3 × 1 = 3
कक्षा II के तीन अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 × 2 = 6
कक्षा III के तीन भागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 × 3 = 9
........................................
........................................
कक्षा XII के तीन अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 × 12 = 36
∴ अभीष्ट A.P. है : 3, 6, 9, ....., 36
यहाँ, a = a₁ = 3; a₂ = 6; a₃ = 9
और l = a_n = 36; n = 12
d = a₂ - a₁
= 6 - 3
= 3
विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की कुल संख्या = S₁₂
विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= \(\frac{12}{2}\) [3 + 36]
= 6 × 39
= 234
अतः, वायु प्रदूषण को रोकने के लिए विद्यार्थियों द्वारा 234 पेड़ लगाए जाएंगे।

प्रश्न 18.
केन्द्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, ..... वाले उत्तरोत्तर अर्धवत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है? (लीजिए π = \(\frac {22}{7}\))
[संकेत : क्रमशः केन्द्रों A, B, A, B, ..... वाले अर्धवृत्तों की लम्बाइयाँ l₁, l₂, l₃, l₄, हैं।]

हल-
मान लीजिए l₁ = प्रथम अर्धवृत्त की लम्बाई
= πr₁
= π(0.5)
= \(\frac{\pi}{2}\)
l₂ = दूसरे अर्धवृत्त की लम्बाई
= πr₂
= π(1)
= π
l₃ = तीसरे अर्धवृत्त की लम्बाई
= πr₃
= π(1.5)
= \(\frac{3 \pi}{2}\)
और l₄ = चौथे अर्धवृत्त की लम्बाई
= πr₄
= π(2)
= 2π इसी तरह आगे भी
∵ प्रत्येक उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों की लम्बाई एक A.P. बनाती है।

अतः, तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की कुल लम्बाई 143 cm है।

प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लढे, उससे अगली पंक्ति में 18 लढे, इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लढे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लढे हैं?

हल-
सबसे नीचे वाली पहली पंक्ति में (लट्ठों की संख्या) = 20
दूसरी पंक्ति में लट्ठों की संख्टा = 19
तीसरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 18
इसी प्रकार आगे भी
∴ प्रत्येक पंक्ति में रखे गए लट्ठों की संख्या एक A.P. बनाती है।
यहाँ a = a₁ = 20; a₂ = 19; a₃ = 18, .....
d = a₂ - a₁
= 19 - 20
= -1
मान लीजिए S_n लट्ठों की कुल संख्या को व्यक्त करता है।
सूत्र का प्रयोग करने पर,
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1) d]
= \(\frac{n}{2}\) [2(20) + (n - 1) (-1)]
= \(\frac{n}{2}\) [40 - n + 1]
= \(\frac{n}{2}\) [41 - n]
प्रश्नानुसार
\(\frac{n}{2}\) [41 - n] = 200
या 41n - n² = 400
या n² - 41n + 400 = 0 ⇒ S = -41
या n² - 16n - 25n + 400 = 0 ⇒ P = 400
या n(n - 16) - 25(n - 16) = 0
या (n - 16) (n - 25) = 0
अर्थात् n - 16 = 0 या n - 25 = 0
अथवा n = 16 या n = 25
∴ n = 16, 25
स्थिति I. जब n = 25
a₂₅ = a + (n - 1)d
= 20 + (25 - 1) (-1)
= 20 - 24
= -4; जो कि असम्भव है
∴ n = 25 छोड़ देते हैं
स्थिति II. जब n = 16
a₁₆ = a + (n - 1)d
= 20 + (16 - 1)(-1)
= 20 - 15
= 5
अतः, कुल 16 पंक्तियाँ हैं और सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लढे हैं।

प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति)।

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
[संकेत : पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2 × 5 + 2 × (5 + 3) है।]
हल-
पहला आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2(5) m = 10 m
उत्तरोत्तर आलुओं के बीच की दूरी = 3 m
∴ दूसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2(5 + 3) m = 16 m
तीसरा आलू उठाने के लिए तय की गई दूरी = 2(5 + 3 + 3) m = 22 m
और यह प्रतिक्रिया चलती रहती है। इससे स्पष्ट है कि यह स्थिति एक A.P. बन जाती है।
10 m, 16 m, 22 m, 22, 28 m, .....
यहाँ a = a₁ = 10; a₂ = 16; a₃ = 22, .....
d = a₂ - a₁
= 16 - 10
= 6
और n = 10
∴ प्रतियोगी को कुल जितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी = S₁₀
= \(\frac{n}{2}\) [2a + (n - 1)d]
= \(\frac{10}{2}\) [2(10) + (10 - 1)6]
= 5[20 + 54]
= 5 × 74
= 370
अतः, प्रतियोगी को कुल 370 मी. की दूरी दौड़नी पड़ेगी।