RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण Important Questions and Answers.

RBSE Class 12 Maths Chapter 9 Important Questions अवकल समीकरण

प्रश्न 1.
समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\) का हल है-
(A) y = log (e^x + e^{- x}) + c
(B) y = log (e^x - e^{- x}) + c
(C) y = log (e^x + 1) + c
(D) y = log (1 - e^{- x}) + c
उत्तर:
(B) y = log (e^x - e^{- x}) + c

हल:

⇒ y = log (e^x - e^-x) + c
अतः सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 2.
समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + 2x = e^3x का हल है
(A) y + x² = \(\frac{1}{3}\)e^3x + c
(B) y - x² = \(\frac{1}{3}\)e^3x + c
(C) y + x² = e^3x + c
(D) y - x² = e^3x + c
उत्तर:
(A) y + x² = \(\frac{1}{3}\)e^3x + c

हल:

अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 3.
समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) = e^{x - y} का हल है
(A) e^x = e^-y + c
(B) e^y = e^-x + c
(C) e^y = e^x + c
(D) e^-x = e^-y + c
उत्तर:
(C) e^y = e^x + c

हल:
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{x - y} = e^x × e^y
⇒ \(\frac{d y}{e^{-y}}\) = e^x dx
⇒ e^y dy = e^x dx
इसलिए ∫e^y dy = ∫e^x dx
⇒ e^y = e^x + c
अतः सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 4.
समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + cos x . tan y = 0 का हल है
(A) log sin y + sin x = c
(B) log sin x sin y = c
(C) log y + log sin x = c
(D) sin x . sin y = c
उत्तर:
(A) log sin y + sin x = c

हल:

या cot y dy = cos x dx
इसलिए ∫cot y dy = -∫cos x dx
log sin y =- sin x + c
⇒ log sin y + sin x = c
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 5.
समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) = e^{x + y} + e^yx² का हल है
(A) e^{x + y} + e^y = \(\frac{x^3}{3}\) + c
(B) e^{x + y} + e^y + \(\frac{x^3}{3}\) = c
(C) e^{x + y} + e^y - \(\frac{x^3}{3}\) = c
(D) e^{x + y} + e^y + \(\frac{x^3}{3}\) = c
उत्तर:
(D) e^{x + y} + e^y + \(\frac{x^3}{3}\) = c

हल:

अतः सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 6.
समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = 4x का हल है
(A) y = 2x - 1 + c e^-2x
(B) y = 2x - 1 + c e^2x
(C) y = 2x + c e^2x
(D) y - 2x = 1 + c e^2x
उत्तर:
(A) y = 2x - 1 + c e^-2x

हल:

⇒ y.e^2x = 2xe^2x - e^2x + C
⇒ y = (2x - 1) + C e^-2x
अतः सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 7.
समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) = cos² y का हल है
(A) x + tan y = c
(B) tan y = x + c
(C) sin y + x = C
(D) sin y - x = c
उत्तर:
(B) tan y = x + c

हल:
\(\frac{d y}{d x}\) = cos² y
⇒ \(\frac{1}{\cos ^2 y}\) dy = dx ⇒ sec²y dy = dx
इसलिए ∫sec² y dy = ∫dx
tan y = x + c
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 8.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos 2 y}{1+\cos 2 y}\) का हल है
(A) x + tan y + y = c
(B) x + cot y - y = c
(C) x + tan y - y = c
(D) x + cot y + y = c
उत्तर:
(D) x + cot y + y = c

हल:
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos 2 y}{1+\cos 2 y}=\frac{2 \sin ^2 y}{2 \cos ^2 y}\) = tan²y
\(\frac{d y}{\tan ^2 y}\) = dx ⇒ cot² y dy = dx
∫cot² y dy = ∫dx
∫(cosec² y - 1) dy = ∫dx
- cot y - y = x + c
या x + cot y + y = - c जो कि एक नियतांक है।
या x + cot y + y = c
अतः सही विकल्प (D) है।

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न:

प्रश्न 1.
समीकरण \(\frac{d y}{d x}+\frac{1}{\sin x}\) y = e^x का समाकल गुणांक लिखिए।
हल:
I.F. = e^{∫p dx} = \(e^{\int \frac{1}{\sin x} d x}\)
I.F. = e^{∫cosec x dx} = e^{log tan\(\frac{x}{2}\)}
= tan\(\frac{x}{2}\)

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) - y tan x = e^x sec x किस रूप की है?
हल:
रैखिक समीकरण है चूँकि इस समीकरण का रूप \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q के रूप का है।

प्रश्न 3.
अवकल समीकरण cos (x + y) \(\frac{d y}{d x}\) = 1 किस रूप का है?
हल:
चरों को पृथक्-पृथक् में परिवर्तित करने वाली समीकरण|

प्रश्न 4.
अवकल समीकरण *y-4 y + 4y= 5 cos 3x की कोटि
और घात का मान क्या होगा?
हल:
कोटि = 4, घात = 1 है।

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण xy\(\frac{d y}{d x}\) = \(\left(\frac{1+y^2}{1+x^2}\right)\) (1 + x + x²) की कोटि और घात का मान क्या होगा?
हल:
कोटि = 1, घात = 1

प्रश्न 6.
वक्र y = Ae^x + Be^-x की अवकल समीकरण क्या होगी?
हल:
y = Ae^x + Be^-x

प्रश्न 7.
हल कीजिए- \(\frac{d y}{d x}\) = 5x + 7
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) = 5x + 7
∴ dy = (5x + 7) dx
समाकलन करने पर ∫dy = ∫(5x + 7) = \(\frac{5 x^2}{2}\) + 7x + C
∴ y = \(\frac{5}{2}\)x² + 7x + C,
जहाँ पर C समाकलन नियतांक है।

प्रश्न 8.
समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{1}{x}\)y = x का व्यापक हल लिखिए।
हल:
P = \(\frac{1}{x}\)
∴ IE = e^{∫P dx} = e^{∫\(\frac{1}{x}\)dx}
I.F = e^{log x} = x
y. IF = ∫(I.F.× Q) dx
y × x = ∫x × x dx = ∫x² dx
⇒ xy = \(\frac{x^3}{3}\) + c

प्रश्न 9.
निम्न अवकल समीकरण के लिये इसकी कोटि व घात का योगफल ज्ञात कीजिये:
y = x\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\) + \(\frac{d^2 y}{d x^2}\)
हल:
इस अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि अवकलन \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है। इसलिये इसकी कोटि 2 है। यह अवकल समीकरण \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) एवं \(\frac{d y}{d x}\) में बहुपद समीकरण है और \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) की अधिकतम घातांक 1 है। इसलिये इस अवकलन समीकरण की घात 1 है अतः कोटि व घात का योग = 2 + 1 = 3

प्रश्न 10.
निम्न अवकल समीकरण का हल ज्ञात कीजिये—
x\(\sqrt{1+y^2}\) dx + y\(\sqrt{1+x^2}\) dy = }
हल:

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
उन सरल रेखाओं की कुल के लिये अवकल समीकरणज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से गुजरती हैं।
हल:
मूल बिन्दु से गुजरने वाली सरल रेखाओं का समीकरण
y = mx ...... (1)
यहाँ पर m एक स्वेच्छ अचर है।
इसलिये समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = m.1 = m ......... (2)
समीकरण (2) से m का मान समीकरण (1) में रखने पर
y = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\).x
या \(\frac{x d y}{d x}\) - y = 0
जो कि अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 2.
हल कीजिए - cos (x + y)dy = dx
हल:
दी गई समीकरण को निम्न रूप में लिखने पर।
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\cos (x+y)}\) ......(1)
यहाँ पर स्पष्ट है कि समीकरण (1) में हम चर x तथा y को पृथक्पृथक् नहीं कर सकते हैं जब तक कि x + y = t को प्रतिस्थापित न कर दें।
अतः x + y = t लेने पर

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न अवकल समीकरण को हल कीजिये
\(\sqrt{1+x^2+y^2+x^2 y^2}\) + xy\(\frac{d y}{d x}\) = 0
हल:
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 2.
निम्न अवकल समीकरण को हल कीजिए
(x³ + x² + x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + x
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
(x³ + x² + x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + x ...... (1)
समीकरण (1) से चरों को पृथक्-पृथक् करने पर
∴ dy = \(\frac{2 x^2+x}{x^3+x^2+x+1}\) dx ....... (2)
समीकरण (2) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

या 2x² + x = A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1)
x = -1 रखने पर
2(-1)² + (-1) = A((-1)² + 1) + 0
⇒ 2 - 1 = A(1 + 1) = 2A
∴ A = \(\frac{1}{2}\)
x = 0 रखने पर
0 = A(0 + 1) + (B × 0 + C) (0 + 1)
0 = A + C ∴ C = - A = - \(\left(\frac{1}{2}\right)\)
C = \(\frac{-1}{2}\)
x² के गुणांक की तुलना दोनों तरफ करने पर
2 = A + B

प्रश्न 3.
निम्न अवकल समीकरण को हल कीजिए-
y - x\(\frac{d y}{d x}\) = x + y\(\frac{d y}{d x}\)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 4.
निम्न अवकल समीकरण को हल कीजिए
(x² + 1)\(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = \(\sqrt{x^2+y}\)
हल:
दी गई अवकल समीकरण

प्रश्न 5.
निम्न अवकल समीकरण को हल कीजिए
(x² - 1)\(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = \(\frac{1}{x^2-1}\)|x| ≠ 1
हल:
दी गयी अवकलन समीकरण से

प्रश्न 6.
निम्न अवकल समीकरण को हल कीजिए
हल:
दी गयी अवकल समीकरण से

समीकरण (1) की तुलना रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से करने पर
यहाँ पर P = - \(\frac{1}{x}\), और Q = 3x
∴ समाकलन गुणक

जो कि दी गई अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

प्रश्न 7.
निम्न अवकल समीकरण कोहल कीजिए
x dy + (y - x³) dx = 0
हल:
दी गई अवकल समीकरण
x dy + (y - x³) dx = 0

समीकरण (1) की तुलना रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से करने पर
यहाँ पर P = \(\frac{1}{x}\) और Q = x²
समाकलन गुणक I.E = e^{∫P dx} = e^{∫\(\frac{1}{x}\) dx} = e^{log x} = x
इसलिये अवकल समीकरण का अभीष्ट हल होगा।
y × I.F. = ∫((I.F)Q dx + C
⇒ y × x = ∫(x) . x² dx +C
⇒ yx = ∫x³ dx + C
= \(\frac{x^4}{4}\) + C
⇒ y = \(\frac{1}{4}\)x³ + \(\frac{\mathrm{C}}{x}\)
यह दिये हुये अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

प्रश्न 8.
अवकल समीकरण (1 + x²)dy + 2xy dx = cot x dx का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = \(\frac{\pi}{2}\)हल:
दिया गया अवकल समीकरण
(1 + x²) dy + 2xy dx = cot x dx
⇒ (1 + x²) dy = (cot x - 2xy) dx
⇒ (1 + x²)\(\frac{d y}{d x}\) = - 2xy + cot x

अतः समीकरण का हल होगा।
y. (I.F.) = ∫Q.(I. F.)dx
⇒ y (1 + x²) = ∫\(\frac{\cot x}{\left(1+x^2\right)}\) . (1 + x²) dx
⇒ y (1 + x²) = ∫cot x dx
∴ y (1 + x²) = log | sin x | + c
दिया हुआ है कि y = 0, यदि x = \(\frac{\pi}{2}\)
0. (1 + \(\frac{\pi^2}{2}\)) = log |sin \(\frac{\pi}{2}\)| + c
0 = 0 + c
∴ c = 0
अतः दिये गये अवकल समीकरण
(1 + x²) dy + 2xy dx = cot x dx
का एक विशिष्ट हल है।
y (1 + x²) = log |sin x + 0
⇒ y (1 + x²) = log |sin x|

प्रश्न 9.
वक्रों के कुल (x - h) + (y - k) = r का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिये, जहाँ h तथा k स्वेच्छ अचर है।
हल:
दिया है.....
(x - h)² + (y - k)² = r² ...... (1)
जहाँ पर h तथा k स्वेच्छ अचर है।
समीकरण (1) का अवकलन x के सापेक्ष करने पर
2(x - h) + 2(y - k) = \(\frac{d y}{d x}\) = 0
⇒ (x - h) + (y - k) \(\frac{d y}{d x}\) = 0 ..... (2)
पुनः समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

जहाँ पर P = \(\frac{d y}{d x}\)
इसलिये यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 10.
अवकलन समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + 2y cot x = 4x cosec x (x ≠ 0) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिये, दिया हुआ है कि y = 0, जब x = \(\frac{\pi}{2}\)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y cot x = 4x cosec x, (x ≠ 0)
उपरोक्त अवकल समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण है । अतः दिये गये समीकरण की \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से तुलना करने पर
P = 2 cot x तथा Q = 4x cosec x
इसलिये ∫p dx = ∫2 cot dx = 2∫cot x dx
∫P dx = 2 log sin x = log sin²x
अतः I.F. = ∫Pdx = e^{log sin2x} = sin²x
अतः दी गई अवकल समीकरण का हल
y × I.F. = ∫Q × I.F. dx + C
⇒ y × sin²x = ∫4 × cosec xxsin' x dx + C
⇒ y sin²x = 4∫x sin x dx + C
⇒ y sin²x = 4[- x cos x + ∫1.cos x dx] + C
⇒ y sin²x = - 4x cos x + 4 sin x + C
दिया हुआ है कि y = 0, जब x = \(\frac{\pi}{2}\)
0 = 0 + 4 sin \(\frac{\pi}{2}\) + C
O = 0 + 4 + C
∴ C = - 4
अतः दिये गये अवकल समीकरण का विशिष्ट हल
⇒ y sin²x = - 4x cos x + 4 sin x - 4
⇒ y = \(\frac{-4 x \cos x}{\sin ^2 x}+\frac{4 \sin x}{\sin ^2 x}-\frac{4}{\sin ^2 x}\)
⇒ y = - 4x cot x . cosec x + 4 cosec x - 4 cosec² x