RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 8 द्विपद प्रमेय

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Important Questions and Answers.

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RBSE Class 11 Maths Chapter 8 Important Questions द्विपद प्रमेय

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
(2x - 3y)4 के प्रसार में प्रथम 4 पद लिखिए ।
हल
(2x - 3y)4 = (2x)4 - 4C1 (2x)3 . (3y) + 4C2 (2x)2 (3y)2 - 4C3 (2x) (3y)3
= 16x4 - 96x3y + 216x2y2 - 216xy3

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प्रश्न 2.
के प्रसार में मध्य पद लिखिए ।
हल:
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प्रश्न 3.
का 7वाँ पद लिखिए।
हल.
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प्रश्न 4.
(x - a)n के प्रसार का व्यापक पद लिखिए।
हल:
Tr+1 = (-1)r . nCr . xn - r . ar

प्रश्न 5.
(1 - x)n के प्रसार में (r + 1) वें पद का गुणांक लिखिए।
हल:
(- 1)r nCr

प्रश्न 6.
के प्रसार का मध्य पद लिखिए।
हल:
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प्रश्न 7.
सरलीकरण के पश्चात् (x + a)200 + (x - a)200 के प्रसार में पदों की संख्या लिखिए ।
हल:
101

प्रश्न 8.
30C1 + 30C2 + 30C3 + .................... 30C30 का मान लिखिए।
हल:
हम जानते हैं-
nC1 + nC2 + nC3 + nC4 + ............. nCn = 2n - 1
30C1 + 30C2 + 30C3 + ..................... + 30C3 = 230 - 1

प्रश्न 9.
के प्रसार में कौनसा मध्य पद होगा?
हल:
यहाँ n = 2n + 1, जो कि विषम है। मध्य पद वाँ पद एवं वाँ पद अर्थात् (n + 1) वाँ पद एवं (n + 2) वाँ पद अर्थात् Tn+1 एवं Tn+2 है।

10.
(x + y)n के प्रसार में प्रारम्भ तथा अन्त से समान दूरी के पदों के द्विपद गुणांकों के मान .......................... होते हैं।
हल:
समान, अर्थात् nCr = nCn - r

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. द्विपद प्रमेय द्वारा (1 + √3)4 + (1 - √3)4 को सरल कीजिए।
हल:
द्विपद प्रमेय से-
(1 + √3)4 = 1 + 4Cı (√3)1 + 4C2 (√3)2 + 4C3 (√3)3 + 4C4 (√3)4 ......... (1)
तथा (1 - √3)4 = 1 - 4C1 (√3)1 + 4C2 (√3)2 - 4C3 (√3)3 + 4C4 (√3)4 ............... (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
(1 + √3)4 + (1 - √3)4 = 2[1 + 4c2(√3)2 + 4C4 (√3)4]
= 2 [1 + 6.3 + 1.9]
= 2 (1 + 18 + 9) = 2 × 28
= 56

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प्रश्न 2.
के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रसार में पदों की कुल संख्या = 9 + 1 = 10 (सम)
∴ दो मध्य पद क्रमश: वाँ पद तथा वाँ पद अर्थात् 5वाँ पद तथा 6ठा पद होंगे।
∴5वाँ पद = (4 + 1)वाँ पद = 9C4 . (2x)9 - 4 .
= . 25 x5 .
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प्रश्न 3.
के प्रसार में x से स्वतन्त्र पद ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रसार का (r + 1)वाँ पद x से स्वतन्त्र है।
प्रसार का (x + 1)वाँ पद (Tr + 1) = 11Cr . (2x4)11 - r .
=
= .......................... (1)
∵ उपर्युक्त पद x से स्वतन्त्र है, अतः x की घात = 0
अर्थात् 44 - 11r = 0 या 11r = 44 ∴ r = 4
∴ समीकरण (1) में r = 4 रखने पर, x से स्वतन्त्र पद
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प्रश्न 4.
(1 + x)2n के विस्तार में (p + 1) वें पद का गुणांक (p + 3) वें पद के गुणांक के बराबर हो, तो दिखाइए कि p = n - 1.
हल:
(1 + x)2n के विस्तार में, (p + 1)वाँ पद = 2nCp . xp
तथा (p + 3)वाँ पद = {(p + 2) + 1}वाँ पद = 2nCp + 2 . xp + 2

प्रश्नानुसार,
(p + 1) वें पद का गुणांक = (p + 2)वें पद का गुणांक
2nCp = 2nCp + 2 ⇒ p + (p + 2) = 2n [∵ nCr = nCn - r]
⇒ 2p = 2n - 2
⇒ p = n - 1

निबन्धात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
(x + a)n के द्विपद प्रसार के दूसरे, तीसरे और चौथे पद क्रमश: 240, 720 और 1080 हैं। x, a तथा n ज्ञात कीजिए ।
हल:
हमें ज्ञात है कि दूसरा पद T2 = 240
परन्तु T2 = nC1 xn - 1 . a
इसलिए nC1 xn - 1 . a = 240 ...................... (1)
इसी प्रकार nC2 xn - 2 a2 = 720 .......................... (2)
और nC3 xn - 3 a3 = 1080 ........................... (3)
(2) को (1) से भाग करने पर हमें प्राप्त होता है,
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इन समीकरणों को हल करने से हम x = 2 और a = 3 प्राप्त करते हैं।

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प्रश्न 2.
यदि के प्रसार में x7 का गुणांक तथा x-7 का गुणांक बराबर हैं तब सिद्ध कीजिए ab - 1 = 0
हल:
के प्रसार का व्यापक पद
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दोनों के गुणांक समान हैं इसलिए-

⇒ a7b7 = 1
⇒ (ab)7 = 1
अत: ab = 1
ab - 1 = 0

प्रश्न 3.
(1 + y)n के विस्तार में यदि 5वें, 6ठे तथा 7वें पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी में हों, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ (1 + y)n के प्रसार में Tr + 1 = nCr yr
∴ (r + 1) वें पद का गुणांक = nCr
∴ 5 वें पद का गुणांक = nC4
6ठे पद का गुणांक = nC5
7वें पद का गुणांक = nC6
nC4, nC5, nC6 समान्तर श्रेणी में हों, तब
2nC5 = nC4 + nC6
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⇒ (17 - n) (n - 4) (n - 5) = 30 (n - 5)
⇒ (17 - n) (n - 4) = 30
⇒ 21n - 68 - n2 = 30
⇒ n2 - 21n + 98 = 0
⇒ (n - 14) (n - 7) = 0
⇒ n = 7 या 14
∴ n = 7 या 14

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प्रश्न 4.
यदि (1 + x - 2x2)6 का पूर्ण प्रसार 1 + a1x + a2x2 + a3x3 + ......................... + a12x12 द्वारा निरूपित हो, तब सिद्ध कीजिए कि a2 + a4 + a6 + .................. + a12 = 31.
हल:
दिये गये प्रसार में x = 1 और x = - 1 रखने पर
(1 + 1 - 2 × 12)6 = 1 + a1 + a2 + a3 + a4 + ...................... + a12
0 = 1 + a1 + a2 + a3 + a4 + ................. + a12 ................ (1)
(1 - 1 - 2 × 1)6 = 1 - a1 + a2 - a3 + a4 - ............................ + a12 ........... (2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
0 + 64 = 2 + 2a2 + 2a4 + 2a6 + 2a8 + 2a10 + 2a12
64 = 2 (1 + a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12)
= 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12
⇒ 32 = 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12
⇒ 32 = a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि ( 1 + x)n + 1 के विस्तार में (r + 1) वें पद का गुणांक, (1 + x)n के प्रसार में rवें तथा (r + 1) वें पद के गुणांकों के योग के बराबर होता है।
हल:
(1 + x)n + 1 के विस्तार में
(x + 1)वाँ पद = n + 1Cr . xr
(r + 1) वें पद का गुणांक = n + 1Cr
पुन: (1 + x)n के प्रसार में, वें पद का गुणांक = nCr - 1
तथा (r + 1)वें पद का गुणांक = nCr
∴ (1 + x)n के प्रसार में वें तथा (r + 1) वें पदों के गुणांक का योग
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= (1 + x)n + 1 के प्रसार में (r + 1) वें पद का गुणांक

प्रश्न 6.
सिद्ध करो कि के प्रसार में xp का गुणांक निम्नलिखित है-

हल:
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प्रश्न 7.
यदि (1 - x + x2)4 = 1 + p1x + p2x2 + ............... + p8x8 हो, तो सिद्ध कीजिए कि-
P2 + p4 + P6 + P8 = 40
हल:
दिया है। :
(1 - x + x2)4 = 1 + p1x + p2x2 + p3x2 ............... + p8x8 .................... (1)
(1 - 1 + 1)4 = 1 + p1 + p2 + p3 + p4 + .................. + p8
या 1 = 1 + p1 + p2 + P3 + P4 -- ........ + P8 ....................... (2)
पुन: समीकरण (1) में x = - 1 रखने पर
[1-(-1) + (-1)2]4 = 1 + p1 (-1) + P2 (-1)2 + P3 (- 1)3
+ P4 (- 1)4 + .............. + p8 (- 1)8
या 34 = 1 - P1 + P2 - P3 + P4 - ................ + P8
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर
1 + 34 = 2 (1 + P2 + P4 + P6 + P8)
या 1 + P2 + P4 + P6 + P8 = = 41
या p2 + P4 + P6 + P8 = 40

प्रश्न 8.
यदि (1 + x)2n + 2 के प्रसार के मध्य पद का गुणांक p तथा (1 + x)2n + 1 के प्रसार के मध्य पदों के गुणांक q तथा हों, तब सिद्ध कीजिए कि-
q + r = p
हल:
(1 + x)2n + 2 के प्रसार में कुल पद 2n + 3 होंगे। अतः मध्य पद
= = (n + 2) वाँ पद होगा।
∴ Tn + 2 = T(n + 1) + 1 = 2n + 2Cn + 1 xn + 1
अतः मध्य पद अर्थात् (x + 2) वें पद का गुणांक
p = 2n + 2Cn + 1 ........................ (1)
अब (1 + x)2n + 1 के प्रसार में कुल पद 2n + 1 + 1 = (2n + 2) पद होंगे।
जिनके मध्यपद (n + 1) वाँ तथा (n + 2) वाँ होंगे।
अत: (1 + x)2n + 1 के प्रसार में (n + 1) वें पद का गुणांक
q = 2n + 1Cn ........................ (2)
तथा (n + 2) वें पद का गुणांक r = 2n + 1Cn + 1
∴ q + r = 2n + 1Cn + 2n + 1Cn + 1
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प्रश्न 9.
यदि (1 + x)n के प्रसार में a1, a2, a3 तथा a4 पदों के गुणांक हैं, तो सिद्ध कीजिये कि-

हल:
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प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि यदि ॥ सम हो, तब (1 + x)n के प्रसार में मध्ये पद का गुणांक 2n होगा यदि n विषम हो, तो दोनों मध्य पदों का गुणांक 2n होगा।
हल:
(i) n के सम होने पर माना n = 2k
∴ (1 + x)2k के प्रसार में (2k + 1) पद होंगे, जिनका मध्य
पद
= (k + 1)वाँ पद होगा ।
∴ Tk + 1 = 2kCk xk
∴ मध्य पद का गुणांक = 2kCk
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(ii) यदि n विषम है तो माना n = 2k + 1, अत: (1 + x)2k + 1 के विस्तार में (2k + 1) + 1 अर्थात् (2k + 2) पद होंगे।
इसलिए मध्य पद = k + 1 वाँ पद—
तथा वाँ पद = k + 2वाँ पद होगा।
∴ Tk + 1 = 2k + 1Ckxk
तथा Tk + 2 = 2k + 1Ck + 1xk + 1
= 2k+1C(2k+1) - (k+1) xk+1 [∵ nCr = nCn - r]
= 2k+1Ckxk+1
⇒ Tk + 1 तथा Tk + 2 का गुणांक एक ही है तथा यह है
= 2k+1Ck
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प्रश्न 11.
यदि Co, C1, C2, .............. Cn, (1 + x)n के प्रसार में द्विपद गुणांक हैं, तो सिद्ध कीजिए कि-

हल:
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प्रश्न 12.
यदि Co, C1, C2, .......... Cn, (1 + x)n के प्रसार में द्विपद गुणांक हैं, तो सिद्ध कीजिए कि-

हल:
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बहुचयनात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
के विस्तार में कुल पदों की संख्या है-
(A) 11
(B) 13
(C) 10
(D) 14
हल:
(B) 13

प्रश्न 2.
के विस्तार में 7वाँ पद है-
(A) 8C7 (a)7
(B) 8C7 (a)
(C) 8C6 (a)6
(D) 8C6 (a)2
हल:
(C) 8C6 (a)6

प्रश्न 3.
(a - x)8 के प्रसार में मध्य पद है-
(A) 56a3x5
(B) - 56a3x5
(C) 70a4x4
(D) - 70a4x4
हल:
(C) 70a4x4

प्रश्न 4.
के प्रसार में अचर पद है-
(A) पाँचवाँ
(B) चौथा
(C) छठवाँ
(D) सातवाँ
हल:
(B) चौथा

प्रश्न 5.
(x + a)n के प्रसार में व्यापक पद है-
(A) nCr xn - r . ar
(B) nCr xr . ar
(C) nCn-r xn - r . ar
(D) nCn-r xr . an-r
हल:
(A) nCr xn - r . ar

प्रश्न 6.
के विस्तार में x रहित पद का मान है-
(A) 264
(B) - 264
(C) 7920
(D) - 7920
हल:
(C) 7920

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प्रश्न 7.
के विस्तार में x-17 रहित पद का मान है-
(A) 1365
(B) - 1365
(C) 3003
(D) - 3003
हल:
(B) - 1365

प्रश्न 8.
यदि (1 + x)18 के प्रसार में (r - 2) वें तथा (r - 2) वें पदों के गुणांक बराबर हों, तब r का मान. है-
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
हल:
(B) 6

प्रश्न 9.
यदि (a + b)n तथा (a + b)n + 3 के प्रसार में क्रमश: दूसरे एवं तीसरे तथा तीसरे एवं चौथे पदों का अनुपात बराबर हो, तो n का मान है-
(A) 5
(B) 6
(C) 3
(D) 4
हल:
(A) 5

प्रश्न 10.
यदि के प्रसार में x7 तथा x8 के गुणांक समान हैं, तो x का मान होगा-
(A) 15
(B) 45
(C) 55
(D) 56
हल:
(C) 55

प्रश्न 11.
के प्रसार में मध्य पद है--
(A) 250
(B) 252
(C) 251
(D) 253
हल:
(B) 252

प्रश्न 12.
यदि (1 + x)n के प्रसार में C0, C1, C2 ................... Cn विभिन्न पदों के गुणांक हों, तब C0 + C2 + C4 + ..................... बराबर होगा -
(A) 2n
(B) 2n - 1
(C) 2n- 1
(D) 2n + 1
हल:
(C) 2n- 1

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प्रश्न 13.
यदि (x + a)n के प्रसार में विषम एवं सम पदों का योग क्रमशः
A और B हो, तब (x + a)2n - (x - a)2n बराबर होगा -
(A) 4 (A + B)
(B) AB
(C) 4 (A - B)
(D) 4AB
हल:
(D) 4AB

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

प्रश्न 1.
द्विपद प्रमेय में आने वाले गुणांक nCr ............................ को कहते हैं।
हल:
द्विपद गुणांक

प्रश्न 2.
(a + b)n के प्रसार में पदों की संख्या .................................. है जबकि n कोई धन पूर्णांक है।
हल:
(n + 1)

प्रश्न 3.
(a + b)n के प्रसार में व्यापक पद Tr + 1 = ...........................
हल:
nCr an - r br

प्रश्न 4.
(a + b)n के प्रसार में यदि n सम धन पूर्णांक है तो मध्य पद .............................. वाँ पद है।
हल:
+ 1

प्रश्न 5.
(2x - 3y)9 में पदों की संख्या ................................... है।
हल:
10

प्रश्न 6.
(a + b + c)n के प्रसार में पदों की संख्या ......................................... होती है जबकि n धन पूर्णांक है।
हल:

प्रश्न 7.
(x + a)n - (x - a)n के प्रसार में कुल ................................ पद होते हैं यदि n सम धनात्मक संख्या है।
हल:

प्रश्न 8.
(x2 - y)6 के प्रसार में व्यापक पद .................................... है|
हल:
(- 1)r 6Cr x12 - 12r yr

प्रश्न 9.
के प्रसार में 11वाँ पद ..................................... है।
हल:
-25C15 ×

प्रश्न 10.
यदि (2 + a)50 के प्रसार में 17 व 18वाँ पद समान है तो a का मान ................................ है।
हल:
1

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निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य / असत्य लिखिए-

प्रश्न 1.
के प्रसार में मध्य पद है।
हल:
सत्य

प्रश्न 2.
(x + 2y)9 के प्रसार में x6 y3 का गुणांक 627 है।
हल:
असत्य

प्रश्न 3.
के प्रसार में x रहित पद 595 है।
हल:
असत्य

प्रश्न 4.
के प्रसार में x-17 का गुणांक - 1365 है।
हल:
सत्य

प्रश्न 5.
के प्रसार में मध्य पद 252 है।
हल:
सत्य

प्रश्न 6.
के प्रसार में x रहित पद T5 है।
हल:
असत्य

प्रश्न 7.
यदि के प्रसार में x का गुणांक 270 है तब λ = 3
हल:
सत्य

प्रश्न 8.
(x + a)100 + (x - a)100 के प्रसार में पदों की कुल संख्या 50 है।
हल:
असत्य

प्रश्न 9.
(1 + x)n (1 + )n के प्रसार में का गुणांक है।
हल:
सत्य

प्रश्न 10.
के प्रसार में x-3 का गुणांक 330 m7 है।
हल:
असत्य

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सही मिलान कीजिए-

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हल:
1. (h) 
2. (t) 
3. (j) 
4. (1) 
5 (c)
6. (d) 
7. (a) 
8. (g) 
9. (e) 
10. (b)

Bhagya
Last Updated on Feb. 16, 2023, 3:51 p.m.
Published Feb. 15, 2023