RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Important Questions and Answers.

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths in Hindi Medium & English Medium are part of RBSE Solutions for Class 11. Students can also read RBSE Class 11 Maths Important Questions for exam preparation. Students can also go through RBSE Class 11 Maths Notes to understand and remember the concepts easily.

RBSE Class 11 Maths Chapter 5 Important Questions सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

अतिलघूतरात्मक प्रश्न- 

प्रश्न 1.
i457 का मान लिखिए।
हल:
i457 = i456 . i = (i4)114, i = 1, i = i

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 2.
किस प्रतिबन्ध के अधीन दो सम्मिश्र संख्याओं x1 + iy1 और x2 + iy2 का योग एक शुद्ध काल्पनिक संख्या होगी?
हल्:
एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है यदि x1 + x2 = 0

प्रश्न 3.
किस प्रतिबन्ध के अधीन दो सम्मिश्र संख्याओं x1 + iy1 और x2 + iy2 का योग एक शुद्ध वास्तविक संख्या होगी?
हल:
योगफल वास्तविक है यदि y1 + y2 = 0

प्रश्न 4.
यदि z1 = 2 + 3i तथा z2 = 1 + 2i हो, तो \(\frac{z_1}{z_2}\) का मान लिखिए।
हल:
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 1

प्रश्न 5.
सम्मिश्र संख्या \(\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}\) को a + ib के रूप में लिखिए।
हल:
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 2

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 6.
व्यंजक \(\frac{3-\sqrt{-16}}{1-\sqrt{-9}}\) को a + ib के रूप में लिखिए।
हल:
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 3

प्रश्न 7.
समीकरण (3x - 7) + 2iy = - 5y + (5 + x)i में x व y के मान बताइए।
हल:
x = - 1 तथा y = 2

प्रश्न 8.
सम्मिश्र संख्या 3 - 2i को इसके संयुग्मी से गुणा करने पर प्राप्त संख्या लिखिए।
हल:
9 + 4 = 13

प्रश्न 9.
(1 + i) को r(cos θ + i sin θ) के रूप में लिखिए।
हल:
1 + i = √2 \(\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)\)

प्रश्न 10.
(1 + i tan α) को r(cos θ + i sin θ) के रूप में लिखिए।
हल:
1 + i tan α = sec α (cos α + i sin α)

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 11.
यदि z ∈ C आर्गेण्ड समतल में |z - (3 - 4i)| = 7 का बिन्दु पथ लिखिए।
हल:
|z - (3 - 4i)| = 7
|x + iy - 3 + 4i| = 7
\(\sqrt{(x-3)^2+(y+4)^2}\) = 7
∴ (x - 3)2 + ( y + 4)2 = 7

प्रश्न 12.
1 + i2 + i4 + ............ + i2n का मान लिखिए।
हल:
1 + i2 + i4 + ............ + i2n
= 1 - 1 + 1 - 1 + ................ + (- 1)n
स्पष्टतः यह n पर निर्भर है अतः मान ज्ञात नहीं कर सकते जब तक कि n ज्ञात न हो।

प्रश्न 13.
यदि z1, z2 तथा z3 ∈ C तो \(\overline{z_1+z_2}\) का मान किसके बराबर होगा?
हल:
\(\overline{z_1+z_2}\) = \(\overline{z_1}+\overline{z_2}\)

लघत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रत्येक सम्मिश्र संख्याओं के संयुग्मी लिखिए-
2i, 3i - 5,7 + 11i, 12i + 9.
हल
2i का संयुग्मी = - 2i
31 - 5 का संयुग्मी = - 3i - 5
7 + 11i का संयुग्मी = 7 - 11i
12i + 9 का संयुग्मी = - 12i + 9.

प्रश्न 2.
निम्नलिखित के सरलतम मान ज्ञात कीजिए-
(a) i9
हल:
i9 = i8 . i = (i2)4 . i = (- 1)4 . i = i

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

(b) i51
हल:
i51 = i50 . i = (i2)25 . i = (- 1)25 . i = - i

(c) i-63
हल:
i-63 = \(\frac{1}{i^{63}} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{i^{64}}=\frac{i}{\left(i^4\right)^{16}}\) = i [∵ i4 = 1]

(d) i342
हल:
i342 = (i4)85 . i2 = (1)85 . i2 = 1 . i2 = 1. - 1 = - 1

प्रश्न 3.
सम्मिश्र संख्या (-2 + 3i) का गुणन प्रतिलोम ज्ञात कीजिए ।
हल:
दिया है- z = - 2 + 3i
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 4

प्रश्न 4.
समीकरण \(\frac{x-1}{3+i}+\frac{y-1}{3-i}\) = i को हल करके x व y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 5

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 5.
समीकरण (1 + i)y2 + (6 + i) = (2 + i )x के लिए x व y के वास्तविक मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(1 + i) y2 + (6 + i) = (2 + i)x
⇒ (y2 + 6) + i (y2 + 1) = 2x + ix
वास्तविक व सम्मिश्र भागों की तुलना करने पर
y2 + 6 = 2x ............... (1)
तथा y2 + 1 = x ..................... (2)
(1) व (2) को घटाने पर x = 5
x का मान समीकरण (1) में रखने पर y2 + 6 = 10
y2 = 10 - 6
y2 = 4 ⇒ y = ± 2
अतः x = 5 तथा y = ± 2

प्रश्न 6.
निम्न का मान ज्ञात कीजिए-
(1 + i)8 + (1 - i)8
हल:
(1 + i)8 + (1 - i)8 = [(1 + i)2]4 + [(1 - i)2]4
= [1 + 2i + i2]4 + [1 - 2i + i2]4
= [1 + 2i - 1]4 + [1 - 2i - 1]4
= [2i]4 + [- 2i]4 = 16i4 + 16i4
= 16 × 1 + 16 × 1 ∵ i4 = 1
= 16 + 16 = 32

प्रश्न 7.
वृत्त zz̄ - (2 + 3i) z - (2 - 3i)z̄ की त्रिज्या व केन्द्र ज्ञात कीजिए जहाँ
z = x + iy
हल:
माना z = x + iy
तब z̄ = x - iy
दिया गया वृत्त का समीकरण
⇒ zz̄ (2 + 3i) z - (2 - 3i) z̄ + 9 = 0
⇒ (x + iy) (x - iy) - (2 + 3i) (x + iy) - (2 - 3i) (x = iy) + 9 = 0
⇒ x2 - i2y2 - x (2 + 3i) - iy (2 + 3i) - x (2 - 3i) + iy (2 - 3i) + 9 = 0
⇒ x2 + y2 + x (- 2 - 3i - 2 + 3i) + iy (2 - 3i - 2 - 3i) + 9 = 0 [∵ i2 = - 1]
⇒ x2 + y2 + x (- 4) + iy (- 6i) + 9 = 0
⇒ x2 + y2 - 4x - 6yi2 + 9 = 0
⇒ x2 + y2 - 4x + 6y + 9 = 0 .........(1)
समीकरण (1) की तुलना वृत्त के व्यापक समीकरण से करने पर
x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0
अभीष्ट केन्द्र = (- g, -ƒ) = (2, - 3)
तथा अभीष्ट त्रिज्या = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\) = \(\sqrt{4+9-9}\)
= √4 = 2

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 8.
यदि (cos θ + i sin θ)2 = x + iy, सिद्ध कीजिए कि
x2 + y2 = 1
हल:
दिया है (cos θ + i sin θ)2 = x + iy
∴ cos θ + i sin θ = \(\sqrt{x+i y}\) .......... (1)
दोनों पक्षों में संयुग्मी लेने पर
cos θ - i sin θ = \(\sqrt{x-i y}\) ........(2)
समीकरण (1) तथा (2) का गुणा करने पर
(cos θ + i sin θ) (cos θ - i sin θ) = \(\sqrt{x+i y} \times \sqrt{x-i y}\)
(cos θ)2 - (i sin θ)2 = \(\sqrt{(x+i y)(x-i y)}\)
cos2 θ + sin2 θ = \(\sqrt{x^2+y^2}\)
⇒ 1 = \(\sqrt{x^2+y^2}\)
∴ x2 + y2 = 1

प्रश्न 9.
यदि 2 कोई सम्मिश्र संख्या हो और 7 इसका संयुग्मी हो तो सिद्ध कीजिए-
z-1 = \(\frac{\bar{z}}{|z|^2}\), जहाँ z ≠ 0
हल:
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 6

प्रश्न 10.
यदि दो सम्मिश्र संख्याएँ z1, z2 इस प्रकार हों कि |z1| = |z2| तो क्या तब z1 = z2 आवश्यक है ?
हल:
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 7

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 11.
यदि x = - 5 + 2√–4 है, तो
x4 + 9x3 + 35x2 - x + 4 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ x = - 5 + 2√-4
⇒ x + 5 = 2√-4
वर्ग करने पर
x2 + 10x + 25 = - 16
⇒ x2 + 10x + 41 = 0
अब x4 + 9x3 + 35x2 - x + 4
= x2 (x2 + 10x + 41 ) - x (x2 + 10x + 41) + 4(x2 + 10x + 41) - 160
= (x2 + 10x + 41) (x2 - x + 4) - 160
= 0 (x2 - x + 4) = - 160

प्रश्न 12.
यदि एक चर सम्मिश्र संख्या कीजिए कि कोणांक 2
हल:
दिया है- z = x + iy
अतः z̄ = x - iy
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 8

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 13.
यदि z1, z2 ∈ c, तो सिद्ध कीजिए-
कोणांक (z1 . z̄2) = कोणांक ( z1) - कोणांक (z2)
हल:
माना कि z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1)
तथा z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2)
कोणांक z1 = θ1 तथा z2 = θ2
अब z̄2 = r2 (cos θ2 - i sin θ2)
∴ z1 = r1 (cos θ1 - i sin θ1) . r2 (cos θ2 - i sin θ2)
= r1r2 [(cos θ1 - i sin θ1) . (cos θ2 - i sin θ2)]
= r1r2 [cos θ1 . cos θ2 - i2 sin θ1 . sin θ2 + i sin θ1 . cos θ2 - i sin θ2 cos θ1]
= r1r2 [cos θ1 . cos θ2 + sin θ1 . sin θ2 + i (sin θ1 . cos θ2 - sin θ2 . cos θ1)]
= r1r2 [cos (θ1 - θ2) + i sin (θ1 - θ2)]
अतः कोणांक (z1 . z̄2) = (θ1 - θ2)
= कोणांक (z1) - कोणांक (z2)

प्रश्न 14.
समीकरण x2 - 7ix - 12 = 0 को हल कीजिए ।
हल:
प्रश्नानुसार x2 - 7ix - 12 = 0
यहाँ a = 1, b = - 7i, c = - 12
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 9

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 15.
यदि z = x +iy और ω = \(\frac{1-i z}{z-i}\) तब सम्मिश्र तल में |ω| = 1 क्या प्रदर्शित करता है?
हल:
ω = \(\frac{1-i z}{z-i}\)
तब \(\left|\frac{1-i z}{z-i}\right|\) = 1
⇒ |1 - iz| = |z - i|
⇒ |1 - i(x + iy)| = |x + iy - i|
⇒ |1 + y - ix| = |x + i(y - 1)|
\(\sqrt{(1+y)^2+(-x)^2}\) = \(\sqrt{x^2+(y-1)^2}\)
⇒ 1 + y2 + 2y + x2 = x2 + y2 + 1 - 2y
⇒ 4y = 0
⇒ y = 0
अत: z = x + iy = x, इसलिए z वास्तविक अक्ष पर स्थित है ।

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि |z1| = |z2| और कोणांक z1 + कोणांक z2 = 0 तो सिद्ध कीजिए कि z1 और z2 संयुग्मी सम्मिश्र संख्याएँ होंगी।
हल:
माना कि z1 = x1 + iy1
तथा z2 = x2 + iy2
तब |z1| = |z2| से
\(\sqrt{x_1^2+y_1^2}\) = \(\sqrt{x_2^2+y_2{ }^2}\)
⇒ x12 + y12 = x22 + y22 .............. (1)
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 10
⇒ y1x2 = - x1y2
⇒ (x1y2 + y1x2) = 0 ................... (2)
समीकरण (1) तथा (2) से
x1 = x2 तथा y1 = - y2
अर्थात् z1 = x1 + iy1
तथा z2 = x1 + iy2
= x1 - iy1
अर्थात् z1 तथा z2 संयुग्मी हैं।

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 2.
यदि |z| = 1, तो सिद्ध करो कि \(\frac{z-1}{z+1}\), (z ≠ −1) एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है। यदि z = 1, तो इससे आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं?
हल:
माना z = x + iy
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 11
अतः \(\frac{z-1}{z+1}\) पूर्णतया एक काल्पनिक संख्या है जब |z| = 1, (z ≠ -1).
पुन: यदि z = 1 तब \(\frac{z-1}{z+1}=\frac{0}{1+1}\) = 0 जो कि एक वास्तविक संख्या है।

प्रश्न 3.
यदि z1, z2, z ∈ C हो तो सिद्ध कीजिए-
(i) |z1 - z2| ≤ | z1 | + | z2 |
हल:
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 12

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

(ii) |z1 + z2| ≥ |z1| - |z2|
हल:
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 13

प्रश्न 4.
यदि x + iy = \(\frac{\mathrm{C}+i}{\mathrm{C}-i}\), जहाँ C एक वास्तविक संख्या है तो सिद्ध कीजिए-
x2 + y2 = 1 और \(\frac{y}{x}=\frac{2 C}{C^2-1}\)
हल:
दिया है
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 14

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 5.
यदि |Z1 + Z2| = |Z1 - z2| तो सिद्ध कीजिए कि कोणांक z1 - कोणांक z2 = ± \(\frac{\pi}{2}\) या ± \(\frac{3 \pi}{2}\)
हल:
माना Z1 = x1 + iy1
Z2 = x2 + iy2 x1, y1, x2, y2 ∈ R
तब कोणांक (z1) = tan-1 \(\left(\frac{y_1}{x_1}\right)\) ................. (1)
तथा कोणांक (z2) = tan-1 \(\left(\frac{y_2}{x_2}\right)\) ................. (2)
तथा (Z1 + Z2) = (X1 + iy1) + (x2 + iy2)
= (x1 + x2) + i (Y1 + Y2) .................... (3)
तथा (Z1 - Z2) = (X1 + iy1) + (x2 + iy2)
= (x1 - x2) + i (Y1 + Y2) .................... (4)
दिया है- |z1 + z2| = |z1 - z2|
\(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2+\left(y_1+y_2\right)^2}=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\)
दोनों तरफ का वर्ग करने पर
(x1 + x2)2 + (y1 + y2)2 = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2
⇒(x1 + x2)2 - (x1 - x2)2 = (y1 - y2)2 - (y1 + y2)2
⇒(x1 + x2 + x1 - x2) (x1 + x2 - x1 + x2) = (y1 - y2 + y1 + y2) × (y1 - y2 - y1 - y2)
⇒ 2x1 × 2x2 = 2y1 × (- 2y2)
⇒ x1x2 + y1y2 = 0 ....................... (5)
पुन: कोणांक (z1) - कोणांक (z2)
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 15

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 6.
यदि z = x + iy तथा arg\(\left(\frac{z-2}{z+2}\right)=\frac{\pi}{6}\) तब बिन्दु का बिन्दु पथ ज्ञात कीजिए|
हल:
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 16

बहुचयनात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
\(\frac{1+i}{1-i}\) का कोणांक है -
(A) \(\frac{\pi}{4}\)
(B) \(\frac{\pi}{2}\)
(C) \(\frac{3 \pi}{4}\)
(D) 0
हल:
(B) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 2.
यदि z1, z2 ∈ C तो कौनसा कथन सत्य है-
(A) |z1 - z2| = |z1| + |Z2|
(B) |z1 - z2| > |z1| + |z2|
(C) |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
(D) |z1 + z2| = |z1 - z2|
हल:
(C) |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

प्रश्न 3.
यदि z = x + iy तथा \(\frac{z-5 i}{z+5 i}\) = 1 तो 2 स्थित है-
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) y = 5 रेखा पर
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
(A) x-अक्ष पर

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 4.
\(\frac{5(-8+16 i)}{(1+i)^2}\) के वास्तविक तथा काल्पनिक भाग हैं-
(A) 40, 20
(B) - 40,- 20
(C) 20, 40
(D) - 20,- 40
हल:
(A) 40, 20

प्रश्न 5.
यदि 2 + (2a + 5ib) = 8 + 10i, तब-
(A) a = 2, b = 3
(B) a = 3, b = 2
(C) a = 2, b = 2
(D) a = 3, b = 3
हल:
(B) a = 3, b = 2

प्रश्न 6.
\(\frac{3+2 i}{5-3 i}\) का संयुग्मी है-
(A) \(\frac{1}{34}\) (19i - 9)
(B) \(\frac{1}{34}\) (9 - 19i)
(C) \(\frac{-1}{34}\) (9 + 19i)
(D) \(\frac{1}{34}\) (9 + 19i)
हल:
(B) \(\frac{1}{34}\) (9 - 19i)

प्रश्न 7.
एक पूर्णतः वास्तविक सम्मिश्र संख्या स्थित है
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) किसी भी अक्ष पर
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
(A) x-अक्ष पर

प्रश्न 8.
यदि \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n\) = 1 हो तो पूर्णांक n का न्यूनतम मान है-
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
हल:
(B) 4

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 9.
\(\frac{(1-i)}{(1+i)}\) का वास्तविक भाग है-
(A) 1
(B) - 1
(C) 0
(D) 2
हल:
(C) 0

प्रश्न 10.
यदि (x + iy) (2 - 3i) = 4 + i तो x + iy बराबर है-
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 17
हल:
(B) \(\frac{5}{13}+i \frac{14}{13}\)

प्रश्न 11.
\(\frac{i^{4 R+1}-i^{4 R-1}}{2}\) (R ∈ N) बराबर है-
(A) 2
(B) - i
(C) - 1
(D) i
हल:
(D) i

प्रश्न 12.
यदि (x - iy) (1 - i) = 1 + 5i तो
(A) x = 2, y = 3
(B) x = 2, y = - 3
(C) x = - 2, y = - 3
(D) x = 2, y = 3
हल:
(C) x = - 2, y = - 3

प्रश्न 13.
यदि z = \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\), तो z-1 बराबर है-
RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण 18
हल:
\(\left(\frac{2}{5},-\frac{4}{5}\right)\)

प्रश्न 14.
माना z एक सम्मिश्र संख्या है, तब z + z̅ है-
(A) पूर्णतः वास्तविक
(B) पूर्णतः काल्पनिक
(C) कुछ नहीं कहा जा सकता
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
(A) पूर्णतः वास्तविक

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 15.
सम्मिश्र संख्याएँ sin x + i cos 2x और cos x - i sin 2x संयुग्मी होंगी जबकि
(A) x = nπ
(B) x = (n + \(\frac{1}{2}\)
(C) x = 0
(D) x का कोई मान नहीं
हल:
(D) x का कोई मान नहीं

प्रश्न 16.
किसी सम्मिश्र संख्या 2 के लिए 2 + 2 और 22 होते हैं-
(A) दोनों वास्तविक
(B) दोनों काल्पनिक
(C) केवल एक वास्तविक
(D) उपर्युक्त में से कोई नहीं
हल:
(A) दोनों वास्तविक

प्रश्न 17.
यदि (3, 4), (2, 5) और ( -9, 16 ) तीन सम्मिश्र संख्याएँ हैं तो-
(A) ये समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं
(B) समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं
(C) ये समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं
(D) यह संरेख है
हल:
(D) यह संरेख है

प्रश्न 18.
एक सम्मिश्र संख्या पूर्णतः काल्पनिक है यदि-
(A) इसका काल्पनिक भाग शून्य है
(B) इसके दोनों काल्पनिक तथा वास्तविक भाग शून्य हैं 1
(C) वास्तविक भाग शून्य है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
(C) वास्तविक भाग शून्य है।

प्रश्न 19.
\(\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^8+\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^8\) बराबर है-
(A) 2i
(B) - 2i
(C) 2
(D) - 2
हल:
(C) 2

प्रश्न 20.
समीकरण x2 + 2 = 0 का हल होगा-
(A) ± √31
(B) ± √5 i
(C) ± √2 i
(D) 0
हल:
(C) ± √2 i

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

प्रश्न 21.
कथन (a + ib) < (c + id) निम्न में से किसके लिए सत्य है-
(A) a2 + b2 = 0
(B) a2 + c2 = 0
(C) a2 + c2 = 0
(D) b2 + d2 = 0
हल:
(D) b2 + d2 = 0

प्रश्न 22.
यदि \(\left[\frac{1-i}{1+i}\right]^{100}\) = a + ib, तो-
(A) a = 2, b = - 1
(B) a = 1, b = 0
(C) a = 0, b = 1
(D) a = - 1 , b = 2
हल:
(C) a = 0, b = 1

प्रश्न 23.
0 का कोणांक है-
(A) 0
(B) \(\frac{\pi}{2}\)
(C) π
(D) None
हल:
(C) π

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

प्रश्न 1.
सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए a, ...................... भाग तथा b, .............................. भाग कहलाता है।
हल:
वास्तविक, काल्पनिक

प्रश्न 2.
सम्मिश्र संख्या z = a + ib का गुणात्मक प्रतिलोम ................................... है।
हल:
\(\frac{a}{a^2+b^2}+i \frac{-b}{a^2+b^2}\)

प्रश्न 3.
किसी पूर्णांक n के लिए (i)4n + 2 = ............................
हल:
- 1

प्रश्न 4.
सम्मिश्र संख्या Z = - i का संयुग्मी z̄ = ...............................
हल:
+i

प्रश्न 5.
n घात वाले बहुपद समीकरण के ............................ मूल होते हैं।
हल:
n

प्रश्न 6.
z = r(cos θ+ i sin θ), सम्मिश्र संख्या का ............................ रूप कहलाता है।
हल:
ध्रुवीय

प्रश्न 7.
सम्मिश्र संख्या का योगात्मक तत्समक .................................. है।
हल:
z = 0 + i0

प्रश्न 8.
√-4 × \(\sqrt{\frac{-9}{4}}\) = .............................
हल:
- 3

प्रश्न 9.
1 + i10 + i20 + i30 एक .............................. संख्या है।
हल:
वास्तविक

प्रश्न 10.
(1 + i)6 + (1 - i)3 = .............................. .
हल:
-2 - 10i

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य / असत्य लिखिए-

प्रश्न 1.
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z1 व z2 के लिए z1 + z2 = z2 + z1
हल:
सत्य

प्रश्न 2.
z = 3 - 2i का गुणन प्रतिलोम \(\frac{3}{13}-\frac{2}{13}\)i है।
हल:
असत्य

प्रश्न 3.
|z1z2| = |z1| |z2|
हल:
सत्य

प्रश्न 4.
|z1 + z1| = |z1|2 + |z2|2 + 2 Re (z12)
हल:
सत्य

प्रश्न 5.
i का वर्गमूल ± \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (1 + i ) होता है।
हल:
सत्य

प्रश्न 6.
z = \(\frac{1-\sqrt{3 i}}{1+\sqrt{3} i}\) का कोणांक 260° है।
हल:
असत्य

प्रश्न 7.
यदि z = \(\frac{1+i}{1-i}\), तब z4 का मान - 2 है।
हल:
असत्य

प्रश्न 8.
यदि a व b, समीकरण x2 + x + 1 = 0 के मूल हैं, तब a2 + b2 = - 1 है।
हल:
सत्य

प्रश्न 9.
यदि α व β समीकरण 4x2 + 3x + 7 = 0 के मूल हैं तब \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) का मान \(\frac{3}{7}\) है।
हल:
असत्य

प्रश्न 10.
k का न्यूनतम मान जबकि समीकरण x2 + 5x + k = 0 के मूल काल्पनिक हों, 7 होगा।
हल:
सत्य

RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण width=

सही मिलान कीजिए-

भाग (A)

भांग (B)

1. समीकरण x2 - 5ix - 6 = 0 के मूल

(a) 0

2. समीकरण x2 - 4x + 13 = 0 के मूल

(b) π/4

3. (1 + i) (1 + i2)(1 + i3)(1 + i4) का मान

(c) π

4. a = 1+ i तब a 2 का मान

(d) - i

5. \(\frac{1}{1+i}\) का कोणांक

(e) 2

6. - 4 का कोणांक

(f) 2 + 3i, 2 – 3i

7.-  i का वर्गमूल

(g) 2i

8. i135

(h) ± \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (1 – i)

9. i-999

(i) 3i, 2i

10. \(\left|\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}\right|\)

(j) i

हल:
1. (i)
2. (f)
3. (a)
4. (g)
5. (b)
6. (c)
7. (h)
8. (d)
9. (j)
10. (e)

Bhagya
Last Updated on Feb. 15, 2023, 11:16 a.m.
Published Feb. 14, 2023